抚养权诉讼开庭后出判决书的时间取决于宣判的类型，当庭宣判的，应当在十日内发送判决书；定期宣判的，宣判后立即发给判决书。
法律依据：《中华人民共和国民事诉讼法》第一百四十九条规定：人民法院适用普通程序审理的案件，应当在立案之日起六个月内审结。有特殊情况需要延长的，由本院院长批准，可以延长六个月;还需要延长的，报请上级人民法院批准。
《中华人民共和国民事诉讼法》第一百六十一条规定：人民法院适用简易程序审理案件，应当在立案之日起三个月内审结。
《中华人民共和国民事诉讼法》第一百四十八条规定：人民法院对公开审理或者不公开审理的案件，一律公开宣告判决。
当庭宣判的，应当在十日内发送判决书；定期宣判的，宣判后立即发给判决书。
宣告判决时，必须告知当事人上诉权利、上诉期限和上诉的法院。
宣告离婚判决，必须告知当事人在判决发生法律效力前不得另行结婚。