高中数学中恒成立问题的探究

高中数学中恒成立问题的探究

作者：吴丹丹

来源：《中学教学参考·理科版》2014年第06期

高中数学中的恒成立问题，涉及诸多数学知识和思想方法，如与函数、方程、导数不等式等进行综合，涉及换元、化归、数形结合、函数与方程的思想方法，此类问题有利于提升学生的综合解题能力，对培养学生思维的灵活性和深刻性有显著作用.因此，历年来是高考命题的热点.如何更好地解决这类问题？以下归纳几种常用方法. 一、数形结合法

把所求问题，进行合理变形后，在同一坐标系中画出函数图像，利用图像的位置关系，直观得出结论，这种“以形助数”的方法，有时很有效.

【典型例1】已知函数f（x）=x（lnx+32），g（x）=a3x3+x（a∈R），若g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围.

评点：在表达式较为复杂的情况下，可以考虑通过构造函数，然后根据这个函数在指定区间上的性质（单调性、极值、最值、区间端点值）得到关于参数的一个不等式或等式，再求解. 评点：利用导数研究恒成立问题，将函数、不等式结合起来，能提高学生解决问题的能力，是一类重要的题型.在解题过程中大致可分为三种类型：一是转化为二次函数恒成立；二是转化为常见函数的性质；三是分离变量.纵观每年高考题中的恒成立问题，往往提问方式多样，考生在审题时会出现“当局者迷”的现象，若能用上述几种方法考虑，就能起到事半功倍效果.

评点：数列与不等式综合的恒成立问题，能有效锻炼学生的逻辑思维能力和灵活应用数学知识分析、解决问题的能力，体现了转化思想和分类讨论的思想.

以上求解方法并不是孤立的，它们相互联系，相互渗透，求解这类问题的核心是转化与化归的数学思想，即将问题情境化为解不等式问题，应用时要依据条件，进行综合，灵活选用. （责任编辑 黄春香）