新城区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新城区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________

一、选择题

1． 函数y=|a|x﹣

（a≠0且a≠1）的图象可能是（

）

姓名__________ 分数__________

A．B．C．D．

2． 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ A.ye 3． 三角函数f(x)sin(A．3,x）

C.ylnx

D.yxB.yx

362x)cos2x的振幅和最小正周期分别是（ ）

C．2,2B．3,2D．2,4． 已知双曲线和离心率为sin4的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，若

1，则双曲线的离心率等于（ ）25A． B．

2cosF1PF2C．

6 2D．）

725． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（

A.8 3C.163

B．4D．203

）

6． 已知等比数

4

列{an}的第5项是二项式（x+）展开式的常数项，则a3•a7（

第 1 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

A．5B．18C．24D．36

7． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ A．2日和5日

B．5日和6日

C．6日和11日

D．2日和11日

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

8． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ A．　9． A．2

B．4

C．π

）B．

=（ D．2π

）C．

D．

）

）

C．

D．

）

10．双曲线A．

的渐近线方程是（ B．

11．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ A．

B．y=x2C．y=﹣x|x|

D．y=x﹣2

12．定义：数列{an}前n项的乘积Tn=a1•a2•…•an，数列an=29﹣n，则下面的等式中正确的是（ A．T1=T19　

B．T3=T17

C．T5=T12

D．T8=T11

）

二、填空题

13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－最小值4，则m＝________．

14．若数列{an}满足a1a2a3ann3n2，则数列{an}的通项公式为 2m （m∈R）在区间[1，e]上取得x.15．某城市近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是　　　　　　亿元．16．若

与

共线，则y=　　　　　　．17．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为　　km．

第 2 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

2+y2=10018．0）已知一个动圆与圆C：（x+4）相内切，且过点A（4，，则动圆圆心的轨迹方程　　　　　　　．三、解答题

19．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房am2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少 am2；已知旧住房总面积为32am2，每年拆除的数量相同．

（Ⅰ）若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2？（Ⅱ），求前n（1≤n≤10且n∈N）年新建住房总面积Sn

20．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆

内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．

21．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？

第 3 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）k

0.152.072

0.102.706

0.053.841

0.0255.024

0.0106.635

0.0057.879

0.00110.828

（参考公式：K2=

，其中n=a+b+c+d）

22．本小题满分12分已知椭圆C的离心率为6，长轴端点与短轴端点间的距离为2．3Ⅰ求椭圆C的长轴长；

Ⅱ过椭圆C中心O的直线与椭圆C交于A、B两点A、B不是椭圆C的顶点，点M在长轴所在直线上，且

2OMOAOM,直线BM与椭圆交于点D，求证：ADAB。2第 4 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

23．（本题满分15分）

x2y2x22设点P是椭圆C1:过点P作椭圆的切线，与椭圆C2:221(t1)交于A，y1上任意一点，

44ttB两点．

（1）求证：PAPB；

（2）OAB的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

24．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作

用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．（1）求矩阵M；

（2）求矩阵N及矩阵（MN）﹣1．

第 5 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

第 6 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

新城区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣故选：D．　

2． 【答案】B 【解析】

试题分析：对于A，ye为增函数，yx为减函数，故ye为减函数，对于B，y'3x0，故yx在0,上单调递增，故选B. 3． 【答案】B【解析】f(x)sinxx23），因为0＜1﹣），因为1﹣

＜1，故排除A，B

＜0，故排除C．

为增函数，对于C，函数定义域为x0，不为R，对于D，函数yx为偶函数，在,0上单调递减，考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.

6cos2xcos6sin2xcos2x3331cos2xsin2x3(cos2xsin2x)22223cos(2x)，故选B．

64． 【答案】C【解析】

试题分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，PF1m，PF2n，且不妨设

1，由余弦定理可知：2213a123a22222224cmnmn，4ca13a2，24，解4，设双曲线的离心率为，则

cc22e（）26得e.故答案选C．

2mn，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2，又cosF1PF2考点：椭圆的简单性质．

【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P为公共点，可把焦半径

PF1、PF2的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴a1,a2来表示，接着用余弦定理表示

第 7 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

cosF1PF25． 【答案】

12，成为一个关于a1,a2以及的齐次式，等式两边同时除以c，即可求得离心率.圆锥曲线问题2在选择填空中以考查定义和几何性质为主.

【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V＝23－1×2×2×1＝20，故选D.

33

6． 【答案】D

【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为Tr+1=令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，∴a3a7=a52=36，故选：D．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　

7． 【答案】C

【解析】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，

根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，

据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．

【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．　

8． 【答案】D【解析】解：双曲线

（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x

•x4﹣2r，

联立方程组，解得A（，），B（，﹣），

设直线x=与x轴交于点D

∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）

∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA

第 8 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

∴c﹣＜

，b＜a，c2﹣a2＜a2∴c2＜2a2，e2＜2，e＜又∵e＞1

∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．　

9． 【答案】A

【解析】解：∵（﹣cosx﹣sinx）′=sinx﹣cosx，∴

故选A．　

10．【答案】B

【解析】解：∵双曲线标准方程为其渐近线方程是整理得y=±x．故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．　

11．【答案】D【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；=0，

，

=

=2．

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．　

12．【答案】C【解析】解：∵an=29﹣n，∴Tn=a1•a2•…•an=28+7+…+9﹣n=

第 9 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确T3=221，T17=20，故B不正确T5=230，T12=230，故C正确T8=236，T11=233，故D不正确故选C　

二、填空题

13．【答案】－3e【解析】f′（x）＝减，

当x>－m时，f′（x）>0，f（x）单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f（x）min＝f（1）＝－m≤1，不可能等于4；

若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f（x）＝ln（－m）＋1，令ln（－m）＋1＝4，得m＝－e3（－min＝f（－m）e，－

1）；若－m>e，即m<－e时，f（x）min＝f（e）＝1－m＝－3e.

1mxm

＋＝，令f′（x）＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′（x）<0，f（x）单调递xx2x2

mm，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，ee6,n114．【答案】ann2,n2,nNn

【解析】【解析】a1a2a3ann1n2n1:a16；

n2:a1a2a3an1ann1n2 a1a2a3an1 nn1故n2:ann2n15．【答案】　18.2　

【解析】解：∵某城市近10年居民的年收入x和支出y之间的关系大致是=0.9x+0.2，∵x=20，

∴y=0.9×20+0.2=18.2（亿元）．

第 10 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

故答案为：18.2．

【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．　

16．【答案】　﹣6　．

【解析】解：若解得y=﹣6故答案为：﹣6

【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．　

17．【答案】　　

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为故答案为

．

海里．

=

海里，

与

共线，则2y﹣3×（﹣4）=0

18．【答案】

【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，∵圆B经过点A（4，0），

∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，

+

=1　．

第 11 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

∵|AC|=8＜10，

∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，设方程为

（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，

+

=1．

∴a=5，b2=a2﹣c2=9，得该椭圆的方程为故答案为：

+

=1．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（I）10年后新建住房总面积为a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a．设每年拆除的旧住房为xm2，则42a+（32a﹣10x）=2×32a，解得x=a，即每年拆除的旧住房面积是am2（Ⅱ）设第n年新建住房面积为a，则an=所以当1≤n≤4时，Sn=（2n﹣1）a；

当5≤n≤10时，Sn=a+2a+4a+8a+7a+6a+（12﹣n）a=

故

【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．　

20．【答案】

第 12 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：∵直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点∴

≤1⇒a2≥1，即a≥1或a≤﹣1，

命题p为真命题时，a≥1或a≤﹣1；∵点（a，1）在椭圆∴

命题q为真命题时，﹣2＜a＜2，

由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题即p真q假，则

⇒a≥2或a≤﹣2．内部，

，

故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．　

21．【答案】 　

【解析】

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

=

┉┉┉┉┉┉

则随机变量ξ的分布列为ξ0P

数学期望Eξ=0×

+1×

+2×

12

=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

（Ⅲ）2×2列联表为

甲班

乙班

合计

第 13 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

优秀不优秀合计┉┉┉┉┉K2=

31720

101020

132740

≈5.584＞5.024

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】Ⅰ由已知

c6,a2b24，又a2b2c2，解得a23,b21，a3所以椭圆C的长轴长23Ⅱ以O为坐标原点长轴所在直线为x轴建立如图平面直角坐标系xOy，

x2不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则由1可知椭圆C的方程为y21；

3设A(x1,y1)，D(x2,y2),则A(x1,y1)2OM∵OAOM ∴M(2x1,0)2根据题意，BM满足题意的直线斜率存在，设l:yk(x2x1)，

x22y122222联立3，消去y得(13k)x12kx1x12kx130，

yk(x2x)1(12k2x1)24(13k2)(12k2x123)12(4k2x1213k2)0，

12k2x112k2x123x1x2,x1x2,13k213k2yyk(x22x1)k(x12x1)k(x25x1)4kx11kAD21k12k2x1x2x1x2x1x2x13k13k2yk(x12x1)kAB13kx1x1kADkAB1

∴ADAB

23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

第 14 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

∴点P为线段AB中点，PAPB；…………7分

（2）若直线AB斜率不存在，则AB:x2，与椭圆C2方程联立可得，A(2,t1)，

2B(2,t21)，故SOAB2t21，…………9分

若直线AB斜率存在，由（1）可得

4m24t21k2t218km2，x1x2，AB1kx1x24，…………11分x1x22224k14k14k1m4k21点O到直线AB的距离d，…………13分221k1k122∴SOABABd2t1，综上，OAB的面积为定值2t1．…………15分

224．【答案】

【解析】解：（1）根据题意，可得故

，解得

；

，

，

所以矩阵M=

（2）矩阵N所对应的变换为

第 15 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

故N=，

MN=

∵det（MN）=∴

，

．

=．

【点评】本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想．　

第 16 页，共 16 页