2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
方差与频率分布
◆知识讲解 1．方差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，•叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2= 2．方差的计算 （1）基本公式 S2=
1 [（x1－x）2+（x2－x）2+…+（xn－x）2]． n1 [（x1－x）2+（x2－x）2+…+（xn－x）2] n11 [（x12+x22+…+xn2）－nx2]，也可写成S2=（x12+x22+…+xn2）－x2，此公式nn （2）简化计算公式（Ⅰ） S2=
的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（Ⅱ） S2=
1 [（x`12+x`22+…+x`n2）－nxx`2]． n 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组数据x`1=x1－a，x`2=x2－a，…x`n=xn－a，•那么S2=
11 [（x`12+x`22+…+x`n2）－nx`2]，也可写成S2=（x`12+x`22+…+x`n2）－x`2．记忆方nn法是：•方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． 3．标准差的定义和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即 S=S2=1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2 n 4．方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况． 方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小． 5．频率分布的意义
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前面学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：平均水平和波动大小．但是在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布． 6．研究频率分布的一般步骤及有关概念 （1）研究样本的频率分布的一般步骤：
①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频率分布直方图． （2）频率分布的有关概念： ①极差：最大值与最小值的差； ②频数：落在各个小组内的数据的个数；
③频率：每一小组的频数与数据总体（样本容量n•）的比值叫做这一小组的频率． （3）几个重要的结论：
①各小组的频数之和等于数据总数； ②各小组的频率之和等于1；
③频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等于1；
④各小长方形的高与该组频数成正比． ◆例题解析
例1 甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（•单位：分） 甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89 （1）分别计算这两组数据的平均数； （2）分别计算这两组数据的方差； （3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？
【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差． 【解答】（1）x甲=
（2）S甲2=
11（6+2+7+5）+80=85，x乙=（5+1+5+9）+80=85． 441 [（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S乙2 41= [（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8． 4 （3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定． 【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．
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例2 为了迎接全市体育中考，•某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：m，精确到0.01m）作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（•每组含最低值，不含最高值）．已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2：4：6：•5：3，其中1.80～2.00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量为______，2.40～2.60这一小组的频率为_____． （2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由； （3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？
（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上（包括2.00m）•的约有多少人？ 【分析】样本容量是样本数据，不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出，然后分析落在哪个小组．
【解答】（1）由于1.80～2.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20•分，故样本容量为：8÷4=40．2.40～2.60这个小组的频率为3÷20=0.15． 20 （2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20•人和第21人的成绩均在2.00～2.20这个小组，则中位数落在2.00～2.20这个小组．
（3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人，12人，10人，6人，•则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m． （4）初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有
25×500=350（人）． 40 【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解题的关键．
◆强化训练 一、填空题
1．（2005，荆门市）已知数据：1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为______．
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2．（2005，宜昌市）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示．根据表中数据，可以认为三台包装机中，______包装机包装的茶叶质量稳定．
甲包装机 乙包装机 丙包装机
7.96
16.32
方差/g2 31.96
3．2005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成表1；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后，制成表2，并作出部分频率分布直方图（如图）．
表1 被调查的消费者年收入情况
年收入/万元
1.2
1.8
3.0
5.0 10.0
30
被调查的消费者数/人 200 500 200 70
表2 被调查的消费者打算购买住房的面积的情况
分组/m2 40.5~60.5 60.5~80.5 80.5~100.5
频数 频率
0.04 0.12 0.36 0.20 0.04
100.5~120.5 120.5~140.5 140.5~160.5 合 计
注：住房面积取整数
请你根据以上信息，回答下列问题：
1000 1.00
（1）根据表1可得，被调查的消费者平均年收入为______万元；被调查的消费者年收入的中位数是______万元；在平均数，中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平；
（2）根据表2可得，打算购买100.5～120.5m2房子的人数是_____人；打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____；
（3）在下图中补全这个频率分布直方图．
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4．青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图．
分组 3.95~4.25 4.25~4.55 4.55~4.85 4.85~5.15 5.15~5.45 合计
请你根据给出的图表回答：
（1）填写频率分布表中未完成部分的数据．
（2）在这个问题中，总体是________，样本容量是________． （3）在频率分布直方图中，梯形ABCD的面积是______．
（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）：________．
频数 频率 2 6 25 2
0.04 0.12 0.04 1.00
5．甲，乙两种产品进行对比试验，•得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲，乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2，•则它们的方差的大小关系是_______． 6．已知：一组数据－1，x，1，2，0•的平均数是0，•这组数据的方差是_____．
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7．若样本数据1，2，3，2的平均数是a，中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的标准差是_______．
8．若已知一组数据：x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S2，那么另一组数据：3x1－2，•3x2－2，…，3xn－2的平均数为______，方差为______． 二、选择题
9．在一次射击练习中，甲，乙两人前5次射击的成绩分别为（单位：环）
甲：10 8 10 10 7 乙：7 10 9 9 10
则这次练习中，甲，乙两人方差的大小是（ ）
A．S甲2>S乙2 B．S甲2 A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大 C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲，乙两组数据的波动大小不能比较 11．（2005，宜昌市）衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ） A．平均数 B．众数 C．标准差 D．中位数 12．某少年军校准备从甲，乙，丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛，他们在选拔比赛中，射靶十次的平均环数是x甲=x乙=x丙=8.3，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.8，S丙2=3.2．那么，根据以上提供的信息，•你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 13．（2005，广州市）甲，乙两人在相同情况下，各射靶10次，•两人命中环数的平均数是x甲=x乙=7，方差S甲2=1.0，S乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定 14．为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了6次测试，成绩如表所示： 甲和乙两位同学6次测试成绩（每分钟输入汉字个数）及部分统计数据表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均数 方差 137 136 136 136 136 137 137 136 136 136 136 136 1.0 甲 134 乙 135 有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，•其中说法正确的是（ ） 12-6 清大学习吧www.eee114.com A．甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定 B．甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定 C．乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定 D．乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定 15．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S 甲 2 =172，S乙2=256．下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定； ③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数；•④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（• ） 分数 人 甲组 数 乙组 50 60 70 80 90 100 2 4 5 4 10 13 14 16 2 12 6 12 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 16．（2005，盐城市）如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数， 那么这组数据的（ ） A．平均数和方差都不变 B．平均数不变，方差改变 C．平均数改变，方差不变 D．平均和方差都改变 三、解答题 17．某校初三（1）班，三（2）班各有49名学生，两班一次数学测验中的成绩统计如下表： 班 级 初三（1）班 初三（2）班 平均分 众数 中位数 标准差 79 79 70 70 87 79 19.8 5.2 （1）请你对下面的一段话给予简要分析： 初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班上可算上游！” （2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，•并提出教学建议． 12-7 清大学习吧www.eee114.com 18．武汉市教育局在中学开展的“创新素质实践行”中，进行了小论文的评比．各校交论文的时间为5月1日至30日，•评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，•已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为18．请回答下列问题： （1）本次活动共有多少篇论文参加评比？ （2）哪组上交的论文数量最多？有多少篇？ （3）经过评比，第四组和第六组分别有20篇，4篇论文获奖，•问这两组哪组获奖率较高？ 19．（2008，金华）九（3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动，•老师将对学生的成绩按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数的分布直方图． 九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表 分数段/分 49.5~59.5 59.5~69.5 69.5~79.5 79.5~89.5 89.5~99.5 组中值/分 频数 频率 54.5 a 0.050 64.5 9 0.225 74.5 10 0.250 84.5 14 0.350 94.5 5 b （1）频数分布表中a=_____，b=___； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）学校设定成绩在69．5分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元．已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金． 12-8 清大学习吧www.eee114.com 九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图 20．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图6－28所示． （1）请填写下表： 甲 乙 平均数 方差 中位数 命中8环以上次数 7 1.2 5.4 1 （2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析． ①从平均数和方差相结合看； ②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）； ③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）． 21．在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、•乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分． 12-9 清大学习吧www.eee114.com （1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为_____分；乙商品的用户满意度分数的众数为_______分． （2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分．（精确到0.01） （3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由． 参考答案 1． 3 2．乙 2 3．（1）2.39；1.8；中位数 （2）240；52% （3）略 4．（1）第二列从上至下两空分别填15，50；第三列从上至下两空分别填0.5，0.3 •（2）500名学生的视力情况；50 （3）0.8 （4）该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人；或该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数 12-10 清大学习吧www.eee114.com 基本相等，各有20人左右 5．S乙2 （2）平均分，众数均相同，但三（1）班的成绩中位数高，表示三（1）班成绩比三（2）•班好，但三（2）班标准差比三（1）班小，表示三（2）班学生成绩较整齐． 18．（1）本次活动共有120篇文章参评 （2）第四组上交的论文数量最多，有36篇 （3）第六组获奖率最高． 19．（1）2 0.125 （2）图略 （3）由题中表得，有29名同学获得一等奖或二等奖． 设有x名同学获得一等奖，则有（29－x）名同学获得二等奖，根据题意得 15x+10（29－x）=335． 解得x=9． ∴50x+30（29－x）=1050， 所以他们得到的奖金是1050元． 20．（1）如下表： 甲 平均数 方差 中位数 命中8环以上次数 7 1.2 5.4 7 7.5 1 3 乙 7 （2）①∵平均数相同，S甲2 ③∵平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少． ∴乙的成绩比甲好些． ④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4•次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力． 21．（1）3 3 12-11 清大学习吧www.eee114.com （2）甲商场抽查用户数为： 500+1000+2000+1000=4500（户）， 乙商场抽查用户数为： 100+900+2200+1300=4500（户）． 所以甲商场满意度分数的平均值 = 5001100022000310004≈2.78（分）． 4500100190022200313004≈3.04（分） 4500 乙商场满意度分数的平均值 = 答：甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分． （3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以乙商场的用户满意度较多． 12-12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容