【百强校】山西省大同市第一中学2020届高三下学期模拟(六)数学(理)试题(PDF版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.2

1.设全集Qx|2x5x0,xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是（）A.3B.4C.7B.1

C.i

D.8D.i

5i

的虚部为（）A.112i3.已知a，b都是实数，那么“lgalgb”是“ab”的（2..已知i是虚数单位，复数）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.抚州市正在创建全国文明城市，某校办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（）A.960B.1080C.1560D.3024n15．数列(252n)2的最大项所在的项数为（）A.10B.11C.12D.96.函数fx

12

xlnx1的大致图象为（2）A.B.C.D.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC的顶点A4,0，B0,2，且ACBC，则ABC的欧拉线方程为（A.x2y30

B.2xy30

C.x2y30

）D.2xy30

x2y28.已知双曲线21b0的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支4b于A、B两点，若ABF1是等腰三角形，且A120．则ABF1的周长为（A.16383）B.4

21

C.4383D.2

32

9.已知x

是函数fxsinx（03，0）的一个零点，将fx4个单位长度，所得图象关于y轴对称，则函数fx的单调递增区间是1254k4k

,B.，kZ34312

4k34k,D.，kZ31234

（）的图象向右平移（）3

2k,2k，kZA.

124

5

2k,2k，kZC.

412

10.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是A.B.C.D.11．已知球O的半径为2，A、B是球面上的两点，且AB23，若点P是球面上任意一

点，则PAPB的取值范围是（）A．1,3B．2,6C．0,1D．0,32

12.己知fxaxlnx1xlnx1与gxx的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（12）A.2,2

2

B.2,1



C.,1

2

1



D.1,2二、填空题（每题5分，满分20分）

3x2y60

13.设x，y满足约束条件xy20，则zx2y的最小值是________x4y80

14.已知等腰直角ABC的斜边BC2，沿斜边的高线AD将ADC折起，使二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．315．我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足a2n1a2n1，所有的偶数项满足a2na2n2；BADC的大小为②任意相邻的两项a2n1，a2n满足a2n1a2n.根据上面的信息完成下面的问题：3,4,5,6__________“有趣数列”（i）数列1,2,（填“是”或者“不是”）；n

（ii）若ann(1)，则数列an__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.2

n

16.已知函数fxsinx，若存在x1,x2,,xn满足0x1x2xn6，且fx1fx2fx2fx3fxn1fxn12（n2，nN），则n的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，A90，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求BDE花卉种植面积S的取值范围．18.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，B1A底面ABCD，BB1BC2AB，ABC60.（1）求证：ABA1D；（2）求二面角AA1DC的余弦值.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）销量y（万盒）213162102.5133.5153.51845216.

（1）求y与x的相关系数r精确到0.01，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：r0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A的三类不同剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格概率分别为432141

，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格概率分别为，，．两次检测252355过程相互独立，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格种类数为X，求X的数学期望附：（1）相关系数rxynxyi1ii

n22n22xnxiyinyi1i1n

22（2）xiyi347，xi1308，yi93，178542.25．8

88i1

i1i1x2y220.给定椭圆C:221(ab0)，称圆心在原点O，半径为a2b2的圆是椭圆C

ab的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.①当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1,l2的方程并证明l1l2；②求证：线段MN的长为定值.21.已知函数fx

（1）求a的取值范围；（2）证明：fx

xlnxa1

，在区间1,2有极值．xasinx1x．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线C的极坐标方程是24cos6sin12，以极点为原点，极轴为x轴1x2t2

的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数）.y13t2

（1）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换围.23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．x'x,1

得到曲线E，设曲线E上任一点为Mx,y，求3xy的取值范2y'2y,

2020届高三年级数学（理）模拟试卷六答案

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D52【解析】Qx|2x5x0,xNx|0x,xN0,1,2，所以满足PQ的集合2P有238个，故选D.2.【答案】B【解析】因为3.【答案】B【详解】a,b都是实数，由“lgalgb”有ab成立，反之不成立，例如a2,b0.所以“lgalgb”是“ab”的充分不必要条件.故选：B4.【答案】B【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为A5120，只有一盆菊花的摆法种数为134C4C5A4960，则至多有一盆菊花的摆法种数为1209601080，故选：B.4

5i12i5i12i5i5i

2i，所以复数的虚部为1，故选B.12i12i12i512i5．【答案】Bn1

【解析】令an(252n)2，anan1(252n)2n1(272n)2n2,2123

n当n2时，设an为最大项，则即解得.n1n

22anan1(252n)2(232n)2,

而nN*，所以n11,又n1时，有a123a242，所以数列(252n)26.【答案】C【解析】由fxfx得到fx为偶函数，所以当x0时，fx求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.n1

的最大项所在的项数为11.故答案为B12

xlnx1，2

12

xlnx1fx，2

12

所以fx为偶函数,则当x0时，fxxlnx1.2

1x21

此时f(x)x，当x1时，f(x)0当0x1时，f(x)0.xx【详解】因为fx

所以fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.在x0上，当x1时函数fx有最小值f(1)由fx为偶函数，根据选项的图像C符合.11

11..227.【答案】D【解析】由于ACBC，可得：ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出ABC的欧拉线的方程．【详解】因为ACBC，可得：ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上A4,0，B0,2，则A,B的中点为(2,1),kAB

201

,042所以AB的垂直平分线的方程为：y12(x2)，即y2x3.故选：D8.【答案】A【详解】双曲线的焦点在x轴上，则a2,2a4；设|AF2|m，由双曲线的定义可知：|AF1||AF2|2a4m，由题意可得：|AF1||AB||AF2||BF2|m|BF2|，据此可得：|BF2|4，又有:，∴|BF1|2a|BF2|8，ABF1由正弦定理|BF1||AF1|8312

,即|BF1|3|AF1|所以83(4m)，解得：m，sin120sin303

所以ABF1的周长为：|AF1||BF1||AB|=2(4m)816283128163故选：A339.【答案】D【解析】：由已知f



sin0k，kZ，，得

444

77

，即0k，kZ，444又03，0，0



k1，①；又fxsinxsinx，1212412

所得图象关于y轴对称，sin



1，12



k，kZ，将①代入消去得k，kZ，122124253353

f(x)sinx，3k,03，时，，，k0

82282



令

35344

2kx2k，kZ，kxk，kZ，228243123故选：D.10.【答案】D【解析】试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D和它们表示的不是同一个三棱锥.考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力.11．【答案】B【解析】作出图形，取线段AB的中点M，连接OP、OA、OB、OM、PM，可知22，由勾股定理可得，且有OMABOMOAAM1MBMA，

由向量的加法法则可得PAPMMA，PBPMMBPMMA，22222

PAPBPMMAPMMAPMMAPMMAPM3.

POOMPMPOOM，PMPOOM，由向量的三角不等式可得2

1PM3，所以，PAPBPM32,6.因此，PAPB的取值范围是2,6.故选：B.

12.【答案】Clnx1lnx1lnx1

【解析】依题意，方程a，11有三个不相等的实根，令t(x)

xxx

利用导数研究函数t(x)的单调性及最值情况，再分类讨论得解.2

【详解】解：方程f(x)g(x)即为axlnx1xlnx1x，lnx1lnx1

则方程a11有三个不相等的实根，xx

令t(x)

lnx1lnx得t2(a1)ta10①，且t(x)2，xx∴函数t(x)在(0,1)上单增，在(1,)上单减，故t(x)maxt(1)1，且t时，t(x)0，t0时，t(x)∴方程①的两个根t1,t2的情况是：（i）若t1,t2(0,1),t1t2，则f(x)与g(x)的图象有四个不同的公共点，不合题意；（ii）若t1(0,1)且t21或t20，则f(x)与g(x)的图象有三个不同的公共点，令t1，则1(a1)a10，a

13

，此时另一根为(0,1)，舍去；22

令t0，则a10，\\a=1，此时另一根为2(0,1)，舍去；（iii）若t1(0,1)且t20，则f(x)与g(x)的图象有三个不同的公共点，令h(x)t2(a1)ta1，则

1h(0)0

，解得

h(1)02a1.故选：C.二、填空题（每题5分，满分20分）

13.【答案】4

【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：1z1zx，可知z的最小值即为yx在y轴截距最大时z的22221z取值，由图像平移可知，当yx过点A时，截距最大22将zx2y化为：yxy20

由得A0,2x4y80

14．【答案】zmin0224

73【解析】等腰直角ABC翻折后ADCD,ADBDAD面BDCCDB是二面113

角BADC的平面角，即CDB，因此BDC外接圆半径为23，四面体sin337ABCD的外接球半径等于R(3)2(1)27，外接球的表面积为4R2.

32123

15．【答案】是是3,4,5,6，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，【解析】若数列为1,2,

3,4,5,6为“有趣数列”.故1,2,

若ann(1)

n2n

，则a2n12n1

22

,a2n12n1，2n12n122

,a2n22n2.2n2n2224

a2n1a2n12220，故a2n1a2n1.2n12n14n1a2n2na2na2n22

故a2na2n2.a2n1a2n2n1

411

220,2n2n2nn122222

2n10，故a2n12n12n2n12na2n.综上，an为“有趣数列”.故答案为：是，是.16．【答案】8【解析】因为fxsinx，所以fxmfxnf(x)maxf(x)min2，因此要使得满足条件fx1fx2fx2fx3fxn1fxn12的n最小，须取x10,x2

2,x3

357911,x4,x5,x6,x7,x86,即n=822222三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．12,1【答案】42

3，由正弦定理得sin【解析】在△BDE中，∠BED=4

BE



13sin，4

∴BE

sin3,DFC，3，在△DCF中，FDCsin4

4

CF13sin

3sin，∴由正弦定理得4，sinCF

sin4

11SBDESDCFBEBDsinCFCDsin

2424

2BFCF4

3sin2sin443sinsin433

sincoscossin2sin44334sinsincoscossin44



22sincossin42sincossin



242sin21sin22sincossin2412sin2cos222sincos2sin21



11sin2cos221

1

2sin2cos212sin2cos21

121

S

22sin22，4

SABCSBDESDCF3

22sin22

4

2,1，2



sin2,AEDF为四边形区域，,，2，4444421212,1，花卉种植面积S取值范围是．S14242

18.【答案】(1)见解析；（2）10.5

【解析】(1)连接A1C1，C1D，AC，以为原几何体是平行六面体，故得到AA1CC1AC11CA是平行四边形，进而得到A1C1∥AC，因为BC2AB且ABC60，在三角形ABC中由余弦定理得到边ACABBC2ABBC

2

2

2

1

BC2AB2，2

AB2AC2BC2ABAC，进而得到ABA1C1，又因为B1A底面ABCD，B1AAB,B1AC1DABC1D

A1C1C1DC1AB面AC11D.ABA1D.(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设BB1BC2AB2，AB1

3，B1,0,0,A0,0,0，B10,0,3,C0,3,0

根据A1B1ABA11,0,3，设面AA1D的法向量为nx,y,z

AA11,0,3,ADBC1,3,0x3z0

n

x3y0

3,1,1

设面A1CD的法向量为mx,y,zx0

m0,1,1CA1,3,3ABDC1,0,0，1，

x3y3z0nm10.则两个半平面的夹角余弦值为：cos

5|n||m|

65236102113151811，【详解】解：（1）由题意可知x81122.563.53.54.5y3，819.【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）由公式r

3478113830.98，3402121785r0.980.75，∴y与x的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为412322142

PA1，PA2，PA3，535255525

262

XB由题意，3,，EX355.5

x2

yx2，20.【答案】（1）y21,x2y24,（2）（ⅰ）yx2，（ⅱ）详见解析.3【解析】解析：（1）c2，a3，b1，2

x椭圆方程为y21，准圆方程为x2y24．32)，（2）（ⅰ）因为准圆x2y24与y轴正半轴的交点为P(0，2)且与椭圆相切的直线为ykx2，设过点P(0，

ykx2，所以由{x23y21，得(13k2)x212kx90.因为直线ykx2与椭圆相切，所以144k249(13k2)0，解得k1，yx2．kl1kl21，l1l2．l2方程为yx2，所以l1，

l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，（ⅱ）①当直线l1，

则l1：x3，当l1：x3时，与准圆交于点(3，1)，(3，1)，l2垂直；此时l2为y1（或y1），显然直线l1，l2垂直同理可证当l1：x3时，直线l1，

22

l2斜率存在时，设点P(x0,y0)，其中x0y04.②当l1，

y0)与椭圆相切的直线为yt(xx0)y0，设经过点P(x0，

所以由{x2yt(xx0)y0，3

2y21，

22得(13t)x6t(y0tx0)x3(y0tx0)30.由0化简整理得2

2

，222因为x0y04，所以有(3x0)t2x0y0t(x03)0.l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆相切，设l1，

t2满足上述方程(3x0)t2x0y0t(x03)0，所以t1，

222l2垂直．所以t1t21，即l1，

N，且l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其准圆于点M，l2垂直.综合①②知：因为l1，

所以线段MN为准圆x2y24的直径，MN＝4，所以线段MN的长为定值．21.【答案】（1）0a1（2）见解析【解析】解：（1）由fxlnx

a11a1xa1得fx2x0，2xxxx

当a11即a0时，fx0，所以fx在[1,2]上单调递增，无极值；当a12即a1时，fx0，所以fx在[1,2]上单调递减，无极值；当1a12即0a1，由fx0得xa1；由fx0得xa1，所以fx在1,a1上单调递减，在a1,2上单调递增，符合题意，0a1；（2）要证xfxasinx1成立，只需证xlnxa1asinxa成立，即证xlnxasinx1，先证：xlnxax1.设gxxlnxax1，则gx1lnxalnx1a，所以fx在0,e

a1

上单调递减，在e

a1a1

,上单调递增，所以gxge

a1e

a1aea111ea1，因为0a1，所以1ea10，则gx0，即xlnxax1①，再证：ax1asinx1.设hxxsinx，则hx1cosx0.所以hx在0,上单调递增，则hxh00，即xsinx.因为0a1，所以ax1asinx1②，由①②可xlnxasinx1，所以xfxasinx1.22.【答案】(1)(2)[2,2].3xy2310；(x2)2(y3)21；直线l和曲线C相切.【解析】（I）直线l的一般方程为3xy2310，曲线C的直角坐标方程为x2y31.22233231因为3211，所以直线l和曲线C相切.（II）曲线D为x2y21.曲线D经过伸缩变换{

x'x,

y'2y,

2y2得到曲线E的方程为x1，4

则点M的参数方程为{

xcos,

（为参数），y2sin所以3x所以3x

1

y3cossin2sin，231

y的取值范围为2,2.223.【答案】(1){x|x≥4或x≤1}；(2)[－3，0].2x5,x2

【解析】（1）当a＝－3时，f（x）＝{1,2x3

2x5,x3

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．