两角和与差的正弦

【学习目标】

1. 掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式实行简单的求值与证明. 2. 培养学生的推理水平，提升学生的数学素质.

【课前导学】

1. 两角和与差的余弦公式及推导过程.

2. 我们利用平面向量的知识推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式，不妨，将 π

cos （ －θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论?

2

【课堂活动】

一、建构数学 1. 推导公式

S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

二、应用数学（典型例题3-4个，例1和例2以课本例习题为主，30分钟左右，教师版要有解题思路、解答、解后反思及变题，有1~2个例题的变题即可；学生版只要有例题即可，题与题之间留空以便让学生学习）（如是新授课，典型例题可能只能有2-3个） 32π3π

例1已知sinα＝ ，α∈（ ，π），cosβ＝－，β∈（π， ），求sin()的值。

3225【思路分析】使用两角和的正弦公式，只要求cos,sin的值。 【解】

25由sin,(,),得cos.323334又由cos,(,),得sin.525

所以，sin()sincoscossin2354645()()().35351554,cosβ＝,,均为锐角，求sinα的值。 135【解后反思】熟练掌握公式及根据角的范围求相对应的值。 例2已知cos（α＋β）=

【思路分析】把角看成是角与的差，即()，再用两角差的正弦公式求解。

【解】

由，均为锐角，可知(0,),sin0,sin()0.

由cos()513,得sin()1213.由cos435,得sin5. 所以，sinsin[()]sin()coscos()sin121345333513565.【解后反思】三角变换是三角运算的核心与灵魂，其中角的变换是最基本的变换。 例3 求函数y12sinx32cosx的最大值。 【思路分析】转化为一个角的三角函数。 【解】ysinxcos3cosxsin3sin(x3).

当x322k,kZ,即x62k,kZ时，函数y取得最大值1.

【解后反思】本题还有其他解法吗？

【变题】ysinxcosx的范围。 2,2

三、理解数学（知识点，数学思想与方法，2~3个小题检测）

1. sin13cos17cos13sin17_____. 12 2. 2sin15cos15____. 12

3. 已知cos3,4335(2,),则sin(3)=_________. 10 【课后提升】

1. 化简：cos()sin(36)_______. cos 2.

3cosxsinx__________. 2sin(3x)

3. 设(0,2),(2,),cos13,sin()79,则sin______. 4. 当0x时，函数ysinxcosx的值域是________. 5. 已知sin()23,sin()15,则tantan________. 6. 已知，均为锐角，且cos25,sin310,求. 7. 已知：a(3,1),b(sinx,cosx),xR,f(x)a•b. 13 1,2137 4

(1)求f(x)的表达式；(2)求函数f(x)的周期，值域，单调区间.

f(x)3sinxcosx 2 2,2 22k,2k,kz

332k,2k,kz 33

25