4.中考数学专题四 几何图形综合题含答案

专题四 第14题几何图形综合题

1

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，P为矩形ABCD内一动点，且满足S△PAB＝S矩形ABCD，则

3点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为________．

第1题图

2. 如图，边长为23的菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且点E是BC的中点，连接BD，交AE于点F，点M是AD上的一个动点，连接MF、MC，则MF＋MC的最小值为________．

第2题图

1

3. 如图，正方形ABCD的边长是4，点M是AB的中点，CN＝CD，P是直线AC上的一点，则|PM－

4PN|的最大值为________．

第3题图

4.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．

第4题图

5. (2019西工大附中模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE、CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD、PE，则PD＋PE的最小值为________．

— 1 —

第5题图

6. 如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD.若AB＝AD＝BD，AC＝27，∠BCD＝30°，则BC2＋CD2

＝________．

第6题图

7. (2018陕师大附中模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个1

动点，则PD－PC的最大值为________．

2

第7题图

8. 如图，点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10 cm2，S△BQC＝20 cm2，则阴影部分的面积为________cm2.

第8题图

8. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点(不与A、D重合)，点F是CD上一动点，且AE＋CF＝4，则△DEF面积的最大值为________．

第9题图

10. 如图，O为矩形ABCD的对称中心，M为BC边上任一点，ON⊥OM且与CD边交于点N.若AB＝6，AD＝4，则四边形OMCN面积的最大值为________．

第10题图

11. 如图，在正方形ABCD中，M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，△MCN的周长为8，

— 2 —

则正方形ABCD的面积为________．

第11题图

12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB面积的最小值是________．

第12题图

13. 如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一点，且PA⊥PB，连接AC、PC，则△PAC面积的最大值为________．

第13题图

14. 如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝42，则四边形ABCD面积的最小值是________．

第14题图

参考答案

1112

1. 41 【解析】设△ABP中AB边上的高是h.∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB·h＝AB·AD，∴h＝AD＝2，

3233∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如解图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2＋2＝4，∴BE＝AB2＋AE2＝52＋42＝41，

— 3 —

即PA＋PB的最小值为41.

第1题解图

2. 27 【解析】如解图，作点F关于AD的对称点N，连接CN，交AD于点M，则CN的长度即为MF＋MC的最小值．∵AE⊥BC，点E是BC的中点，四边形ABCD为菱形，∴CE＝BE＝3，∴cos∠ABC＝

BE1

＝，∴∠ABC＝60°，∴AE＝3，∠EBF＝30°，∴EF＝1，∴AF＝2＝AN，∴EN＝5，在Rt△CEN中，AB2

CN＝CE2＋EN2＝27.

第2题解图

3. 13 【解析】如解图，作点M关于直线AC的对称点M′，连接M′N，并延长与直线AC交于点P′，连接P′M，任意在直线AC上取一点P，连接PM，PN，PM′，有PM＝PM′，则PM－PN＝PM′－PN≤P′M′－P′N＝M′N，故M′N为|PM－PN|的最大值．在正方形ABCD中，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AB＝AD＝DC＝1

BC＝4，∴△MAM′为等腰直角三角形，又AM＝BM＝AB＝2，则有AM′＝AM＝2，且M′D＝2，又CN＝1，

2则有DN＝3，在Rt△M′DN中，根据勾股定理得M′N＝M′D2＋DN2＝13，则|PM－PN|的最大值为13.

第3题解图

4. 10 【解析】如解图，作DM∥AC，连接MF，且DM＝EF＝1，连接BM.∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB≤BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短连接BD，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3.∵DM∥AC，且AC⊥BD，∴∠MDB＝90°.在Rt△BDM中，BM＝12＋32＝10，∴DE＋BF的最小值为10.

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第4题解图

5. 413－4 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动．如解图，设BC的中点为O，作半圆O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形ABGF，则点D的对应点是点F，连接FO交AB于点P，交半圆O于点E，则线段EF的长即为PD＋PE的最小值．∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，OE＝4，∴OG＝12，∴OF＝FG2＋OG2＝413，∴EF＝413－4, ∴PD＋PE的长度最小值为413－4.

第5题解图

6. 28 【解析】∵AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°.如解图，把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，连接CE，则△ACE是等边三角形，∴CE＝AC＝27，∵∠DAB＋∠BCD ＝60°＋30°＝90°，∴∠ADC＋∠ABC ＝360°－90°＝270°，∴∠ABE＋∠ABC＝270°，∴∠CBE＝90°，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2＝28，∵BE＝CD，∴BC2＋CD2＝BC2＋BE2＝28.

第6题解图

PB2BC4PB

7. 5 【解析】如解图，在BC上取一点G，使得BG＝1，则CG＝3，∵＝＝2，＝＝2，∴

BG1PB2BG＝

BCPGBG111

，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD－PC＝PD－PG＝DG，PBPCPB222

1

∴当点P在DG的延长线上时，PD－PC的值最大，最大值为DG＝42＋32＝5.

2

第7题解图

8. 30 【解析】如解图，连接EF，∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF＝S△DEF，∴S△ADF－S△DPF＝S△DEF

— 5 —

－S△DPF，即S△EPF＝S△APD＝10 cm2，同理可得S△EFQ＝S△BQC＝20 cm2，∴S阴影＝S△EPF＋S△EFQ＝30 cm2.

第8题解图

9. 3 【解析】如解图，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝180°－∠BAD＝120°，∴∠FDG＝180°－∠ADC＝60°.设AE＝x，∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－x，∴DE＝AD－AE＝4－x，DF＝CD－CF＝4－(4－x)＝x，在Rt△DFG中，FG＝DF·sin∠GDF＝

311333

x，∴S△DEF＝DE·FG＝(4－x)×x＝－x2＋3x＝－(x－2)2＋3，∴当x＝2时，222244△DEF面积的最大，最大值为3.

第9题解图

10.

23

【解析】如解图，过点O作OE⊥CD于点E，作OF⊥BC于点F，∵四边形ABCD为矩形，3

∴∠C＝90°，∵OF⊥BC，OE⊥CD，∴∠EOF＝90°，∴∠EON＋∠FON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠FOM＋NEOE

∠FON＝90°，∴∠EON＝∠FOM，∴Rt△OEN∽Rt△OFM，∴＝，∵O为矩形ABCD对角线的交点，

MFOF112

AB＝6，AD＝4，∴OE＝AD＝2，OF＝AB＝3，∴NE＝MF.设BM＝x，如解图①，当0≤x≤2时，MF

2232

＝2－x，NE＝(2－x)，S

3＋

四边形OMCN

＝S

矩形OECF

1125

＋S△OMF－S△ONE＝3×2＋×3×(2－x) －×2×(2－x)＝－x

2236

23523

，∵－＜0，∴S四边形OMCN随x的增大而减小，∴当x＝0时，S四边形OMCN的最大值为；如解图②，当36321122≤x≤4时，MF＝x－2，NE＝(x－2)，S四边形OMCN＝S矩形OECF－S△OMF＋S△ONE＝3×2－×3×(x－2) ＋×2×

32235235

(x－2)＝－x＋，∵－＜0，∴S四边形OMCN随x的增大而减小，∴当x＝2时，S四边形OMCN的最大值为6；综

63623

上所述，四边形OMCN面积的最大值为.

3

第10题解图

11. 16 【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ADN＝∠C＝90°.如解图，把△DAN绕点A

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顺时针旋转90°得到△BAG，∴BG＝DN，AG＝AN，∠GAN＝90°，∠ABG＝∠ADN＝90°，∴点G在CB的延长线上．∵∠MAN＝45°，∴∠MAG＝∠GAN－∠MAN＝45°，∴∠NAM＝∠MAG，在△MAG和△MANAM＝AM中，∠MAG＝∠NAM，∴△MAG≌△MAN，∴MG＝MN，而MG＝MB＋BG＝MB＋DN，∴MN＝MB＋DN，

AG＝AN∵△MCN的周长＝CN＋CM＋MN＝CN＋DN＋CM＋MB＝CD＋BC＝8，∴CD＝4，∴正方形ABCD的面积为16.

第11题解图

12. 1 【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.易知当点E到AB的距离最小时，△AEB的面积最小．如解图，过点C作CG⊥AB于点G，以点C为圆心，CD的长为半径作⊙CAC·BC121交CG于点F，此时△ABF的面积即为△AEB的面积的最小值．∵CG＝＝，CF＝CD＝AC＝2，

AB521221

∴FG＝CG－CF＝－2＝，∴△AEB面积的最小值为AB·FG＝1.

552

第12题解图

13. 2＋1 【解析】如解图，以AB为直径作⊙O交线段AC于点E，连接PE、OE、BE，由AC为正方形的对角线及⊙O的直径为AB，可得△AEB为等腰直角三角形，则点E为AC的中点，∴S△APC＝2S△APE，∴要使得△APC的面积最大，只需△APE面积最大即可．∵AE长度为定值，∴只需使△APE中AE边上的11

高最大即可，∵AE＝AC＝AB2＋BC2＝2，OA＝OB＝OE＝1，∴△AOE是等腰直角三角形，∴在Rt△AOE

22OA·OE1×122

中，利用等面积法求得AE边上的高为＝＝，∴△APE中AE边上的高的最大值为1＋，

AE222122121

∴△APE面积的最大值为×(1＋)×2＝＋，∴△PAC面积的最大值为2×(＋)＝2＋1.

222222

— 7 —

第13题解图

14. 83－8 【解析】∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形．如解图，过点B、D分别作AC边上的高BE、DF，当且仅当E、F两点重合时，BE＋DF取得最小值，此时BE＋DF＝BD.∵AC长度为定值，∴此时S四边形ABCD最小，作△BCD的外接圆⊙O，连接OB、OD，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，又∵OB＝OD，∴△BOD为等边三角形，∴AC＝AE＋OE＋OC＝11

22，∴S四边形ABCD＝AC·BD＝×42×(26－22)＝83－8.

22

33

BD＋BD＋BD＝42，∴BD＝26－22

第14题解图

— 8 —