维普资讯 http://www.cqvip.com 第１５卷第２期 纺织高校基础科学学报 Ｖｏ１．１５，Ｎｏ．２ ２ ０ ０２年６月 ＢＡＳＩＣ ＳＣＩＥＮＣＥＳ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＥＸＴＩＬＥ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＩＥＳ ２ｕｎ．，２００２ ＊研究简报＊ 完美幻方的最简构造法 孙群策 （西安市铁路５中，陕西西安７１００１５） 关键词：幻方；自然数；构造法 中图分类号：Ｏ １５７．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—８３４１（２００２）０２—０１７２—０４ 将１到ｎ 个连续自然数填入ｎ×ｎ个格子组成的 方阵中．当各行、各列、两对角线及其各互补对角线上 １ １ ４ ４ １５ 的ｎ个数之和均相等时，称其为ｎ阶完美幻方，幻和常 ８ １１ ５ １０ 数ｓ－一ｎ（ｎ ＋１）／２．当ｎ：＝＝４ｋ或ｎ为以３不能整除的 ｌ３ ２ １６ ３ 奇数阶时，作者从多种平衡关系中总结出容易掌握的 １２ ７ ９ ６ 构造方法． 图１ ４ｋ阶幻方 图２ ４阶完美幻方 １ 一４后（后∈Ｎ＋）时 （＆一ｎ（ｎ ＋１）／２） （４Ａ， ・一３４） 首先将４ 阶方阵每 行、 列以加重线分成４ １ ２ ５６ ５５ １３ １４ ６０ ５９ ×４的１６个数区，每个数区填 个数， 到 的数 ３ ４ ５４ ５３ １５ １６ ５８ ５７ 理平衡位置之一如４ｋＡ（图１）．从 起直到砖—— ２９ ３０ ４４ ４３ １７ １８ ４０ ３９ 上行左起右进将１起的连续自然数依序逐行、逐区 ３１ ３２ ４２ ４１ １９ ２０ ３８ ３７ 的填入前８个数区；从砖起直到 。——下行右起左 ， 进续前数依序逐行、逐区的填入后８个数区．４阶 ５２ ５１ ５ ６ ６４ ６３ ９ １０ （４Ａ）、８阶（８Ａ）、１２（１２Ａ）、１６阶（１６Ａ）及２４阶 ５０ ４９ ７ ８ ６２ ６１ １１ １２ （２４Ａ）完美幻方示于图２～６． ４８ ４７ ２５ ２６ ３６ ３５ ２１ ２２ ２ 为以３不能整除的奇数时 ４６ ４５ ２７ ２８ ３４ ３３ ２３ ２４ 图３ ８阶完美幻方（８Ａ，岛一２６０） （１）在 阶方阵第一行左起第一格填入ｎ ， 然后依次将前一格中的数减去（ｎ＋１）填入下一格，直到最后一格填入１；（２）将第一行右边的两个 数平移到左边同时将ｎ 减（ｎ一１）其余各数均加１后填入第二行；（３） 再依次将上一行右边的两个 数平移到左边同时将比前一格小１之数减（ｎ一１）其余各数均加１后填入下一行，直到ｎ行． 如果将 行右边的两个数平移到左边同时将比前一格小１之数减（ｎ一１）其余各数均加１后就会 还原为第一行，否则构造过程中必有错误．５阶（５Ａ）、７阶（７Ａ）、１１阶（１１Ａ）、１３阶（１３Ａ）、２５阶（２５Ａ） 完美幻方分别示于图７～ｌ１． ・收稿日期：２００１。１１－０６ 作者简介：孙群策（１９６１一），男，陕西省西安市人，西安市铁路５中一级教师． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 完美幻方的最简构造法 １７３ １ ２ ３ １２６ １２５ １２４ ２８ ２９ ３０ １３５ １３４ １３３ ４ ５ ６ １２３ １２２ １２１ ３１ ３２ ３３ １３２ １３１ １３０ ７ ８ ９ １２０ １１９ １１８ ３４ ３５ ３６ １２９ １２８ １２７ ６４ ６５ ６６ ９９ ９８ ９７ ３７ ３８ ３９ ９０ ８９ ８８ ６７ ６８ ６９ ９６ ９５ ９４ ４０ ４１ ４２ ８７ ８６ ８５ ７０ ７１ ７２ ９３ ９２ ９１ ４３ ４４ ４５ ８４ ８３ ８２ １１７ １１６ １１５ １０ ｌ１ １２ １４４ １４３ １４２ １９ ２０ ２１ １１４ １１３ １１２ １３ １４ １５ １４１ １４０ １３９ ２２ ２３ ２４ １１１ １１０ １０９ １６ １７ １８ １３８ １３７ １３６ ２５ ２６ ２７ １０８ １０７ １０６ ５５ ５６ ５７ ８１ ８０ ７９ ４６ ４７ ４８ １０５ １０４ １０３ ５８ ５９ ６０ ７８ ７７ ７６ ４９ ５０ ５１ １０２ １０１ １００ ６１ ６２ ６３ ７５ ７４ ７３ ５２ ５３ ５４ 图４ １２阶幻方（１２Ａ，＆＝８７０） １ ２ ３ ４ ２２４ ２２３ ２２２ ２２１ ４９ ５０ ５１ ５２ ２４０ ２３９ ２３８ ２３７ ５ ６ ７ ８ ２２０ ２１９ ２１８ ２１７ ５３ ５４ ５５ ５６ ２３６ ２３５ ２３４ ２３３ ９ １０ １１ １２ ２１６ ２１５ ２１４ ２１３ ５７ ５８ ５９ ６０ ２３２ ２３１ ２３０ ２２９ １３ １４ １５ １６ ２１２ ２１１ ２１０ ２０９ ６１ ６２ ６３ ６４ ２２８ ２２７ ２２６ ２２５ １１３ １１４ １１５ １１６ １７６ １７５ １７４ １７３ ６５ ６６ ６７ ６８ １６０ １５９ １５８ １５７ １１７ １１８ １１９ １２０ １７２ １７１ １７０ １６９ ６９ ７０ ７１ ７２ １５６ １５５ １５４ １５３ １２１ １２２ １２３ １２４ １６８ １６７ １６６ １６５ ７３ ７４ ７５ ７６ １５２ １５１ １５０ １４９ １２５ １２６ １２７ １２８ １６４ １６３ １６２ １６１ ７７ ７８ ７９ ８０ １４８ １４７ １４６ １４５ ２０８ ２０７ ２０６ ２０５ １７ １８ １９ ２０ ２５６ ２５５ ２５４ ２５３ ３３ ３４ ３５ ３６ ２０４ ２０３ ２０２ ２０１ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５２ ２５１ ２５０ ２４９ ３７ ３８ ３９ ４０ ２００ １９９ １９８ １９７ ２５ ２６ ２７ ２８ ２４８ ２４７ ２４６ ２４５ ４１ ４２ ４３ ４４ １９６ １９５ １９４ １９３ ２９ ３０ ３１ ３２ ２４４ ２４３ ２４２ ２４１ ４５ ４６ ４７ ４８ １９２ １９１ １９０ １８９ ９７ ９８ ９９ １００ １４４ １４３ １４２ １４１ ８１ ８２ ８３ ８４ １８８ １８７ １８６ １８５ １０１ １０２ １０３ １０４ １４０ １３９ １３８ １３７ ８５ ８６ ８７ ８８ １８４ １８３ １８２ １８１ １０５ １０６ １０７ １０８ １３６ １３５ １３４ １３３ ８９ ９０ ９１ ９２ １８０ １７９ １７８ １７７ １０９ １１０ １１１ １１２ １３２ １３１ １３０ １２９ ９３ ９４ ９５ ９６ 图５ １６阶幻方（１６Ａ， ｌ６—２０５６） ２５ １９ １３ ７ １ ４９ ４１ ３３ ２５ １７ ９ １ ８ ２ ２１ ２０ １４ １０ ２ ４３ ４２ ３４ ２６ １８ １６ １５ ９ ３ ２２ ２７ １９ １１ ３ ４４ ３６ ３５ ４ ２３ １７ １１ １０ ３７ ２９ ２８ ２０ １２ ４ ４５ １２ ６ ５ ２４ １８ ５ ４６ ３８ ３０ ２２ ２１ １３ １５ １４ ６ ４７ ３９ ３１ ２３ ３２ ２４ １６ ８ ７ ４８ ４０ 图７ ５阶完美幻方（５Ａ， ５＝６５） 图８ ７阶完美幻方（７Ａ， ７—１２５） 维普资讯 http://www.cqvip.com １７４ 纺织高校基础科学学报 第ｌ５卷 １２１ １０９ ９７ ８５ ７３ ６１ ４９ ３７ ２５ １３ ｌ １６９ １５５ １４１ １２７ １１３ ９９ ８５ ７１ ５７ ４３ ２９ １５ ｌ １４ ２ １１１ １１０ ９８ ８６ ７，１ ６２ ５０ ３８ ２６ １６ ２ １５７ １５６ １４２ １２８ １１４ １００ ８６ ７２ ５８ ４４ ３０ ３９ ２７ １５ ３ １１２ １００ ９９ ８７ ７５ ６３ ５１ ４５ ３１ １７ ３ １５８ １４４ １４３ １２９ ｌ１５ ｌ０１ ８７ ７３ ５９ ６，１ ５２ ４０ ２８ １６ ４ １１３ １０１ ８９ ８８ ７６ ７，ｔ ６０ ４６ ３２ １８ ４ １５９ １４５ １３１ １３０ １１６ １０２ ８ ７８ ７７ ６５ ５３ ４１ ２９ １７ ５ １１４ １０２ ９０ １０３ ８９ ７５ ６１ ４７ ３３ １９ ５ １６０ １４６ １３２ １１８ ｌｌ １０３ ９１ ７９ ６７ ６６ ５，１ ４２ ３０ １８ ６ １１５ １１９ １０５ １０４ ９０ ７６ ６２ ４８ ３４ ２０ ６ １６１ １４７ ｌ ３３ ７ １１６ １０４ ９２ ８０ ６８ ５６ ５５ ４３ ３１ １９ １４８ １３４ １２Ｏ １Ｏ６ ９２ ９１ ７７ ６３ ４９ ３５ ２１ ７ ｌ６２ ３２ ２０ ８ １１７ １０５ ９３ ８１ ６９ ５７ ４５ ４４ ８ １６３ １４９ １３５ １２１ １０７ ９３ ７９ ７８ ６４ ５０ ３６ ２２ ４６ ３４ ３３ ２１ ９ １１８ １Ｏ６ ９４ ８２ ７Ｏ ５８ ３７ ２３ ９ １６４ １５０ １３６ １２２ １０８ ９４ ８０ ６６ ６５ ５１ ７１ ５９ ４７ ３５ ２３ ２２ １０ １１９ １０７ ９５ ８３ ５３ ５２ ３８ ２４ １０ １６５ １５１ １３７ １２３ １０９ ９５ ８１ ６７ ９６ ８，１ ７２ ６０ ４８ ３６ ２４ １２ １１ １２０ １０８ ８２ ６８ ５４ ４０ ３９ ２５ １１ １６６ １５２ １３８ １２４ １１Ｏ ９６ １１１ ９７ ８３ ６９ ５５ ４１ ２７ ２６ １２ １６７ １５３ １３９ １２５ １４０ １２６ １１２ ９８ ８，ｔ ７０ ５６ ，ｔ２ ２８ １４ １３ １６８ １５４ 图９ １１阶完美幻方（１１Ａ， １１—６７１） 图１０ １３阶完美幻方（１３Ａ， １３—１１０５） ｌ ２ ３ ４ ５ ６ ５０４ ５０３ ５０２ ５０１ ５００ ４９９ １Ｏ９ １１０ １１１ １１２ １１３ １１４ ５４０ ５３９ ５３８ ５３７ ５３６ ５３５ ７ ８ ９ １０ １１ １２ ４９８ ４９７ ４９６ ４９５ ４９４ ４９３ １１５ １１６ １１７ １１８ １１９ １２０ ５３４ ５３３ ５３２ ５３１ ５３０ ５２９ １３ １４ １５ １６ １７ １８ ４９２ ４９１ ４９０ ４８９ ４８８ ４８７ １２１ １２２ １２３ １２４ １２５ １２６ ５２８ ５２７ ５２６ ５２５ ５２４ ５２３ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ４８６ ４８５ ４８４ ４８３ ４８２ ４８１ １２７ １２８ １２９ １３０ １３１ １３２ ５２２ ５２１ ５２０ ５１９ ５１８ ５１７ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ４８０ ４７９ ４７８ ４７７ ４７６ ４７５ １３３ １３４ １３５ １３６ １３７ １３８ ５１６ ５１５ ５１４ ５１３ ５ｌ２ ５１１ ３１ ３２ ３３ ３４ ３５ ３６ ４７４ ４７３ ４７２ ４７１ ４７０ ４６９ １３９ １４０ １４１ １４２ １４３ １４４ ５１０ ５０９ ５０８ ５０７ ５０６ ５０５ ２５３ ２５４ ２５５ ２５６ ２５７ ２５８ ３９６ ３９５ ３９４ ３９３ ３９２ ３９１ １４５ １４６ １４７ １４８ １４９ １５０ ３６０ ３５９ ３５８ ３５７ ３５６ ３５５ ２５９ ２６０ ２６１ ２６２ ２６３ ２６４ ３９０ ３８９ ３８８ ３８７ ３８６ ３８５ １５１ １５２ １５３ １５４ １５５ １５６ ３５４ ３５３ ３５２ ３５１ ３５０ ３４９ ２６５ ２６６ ２６７ ２６８ ２６９ ２７０ ３８４ ３８３ ３８２ ３８１ ３８０ ３７９ １５７ １５８ １５９ １６０ １６１ １６２ ３４８ ３４７ ３４６ ３４５ ３４４ ３４３ ２７１ ２７２ ２７３ ２７４ ２７５ ２７６ ３７８ ３７７ ３７６ ３７５ ３７４ ３７３ １６３ １６４ １６５ １６６ １６７ １６８ ３４２ ３４１ ３４０ ３３９ ３３８ ３３７ ２７７ ２７８ ２７９ ２８０ ２８１ ２８２ ３７２ ３７１ ３７０ ３６９ ３６８ ３６７ １６９ １７０ １７１ １７２ １７３ １７４ ３３６ ３３５ ３３４ ３３３ ３３２ ３３１ ２８３ ２８４ ２８５ ２８６ ２８７ ２８８ ３６６ ３６５ ３６４ ３６３ ３６２ ３６１ １７５ １７６ １７７ １７８ １７９ １８０ ３３０ ３２９ ３２８ ３２７ ３２６ ３２５ ４６８ ４６７ ４６６ ４６５ ４６４ ４６３ ３７ ３８ ３９ ４０ ４１ ４２ ５７６ ５７５ ５７４ ５７３ ５７２ ５７１ ７３ ７４ ７５ ７６ ７７ ７８ ４６２ ４６１ ４６０ ４５９ ４５８ ４５７ ４３ ４４ ４５ ４６ ４７ ４８ ５７０ ５６９ ５６８ ５６７ ５６６ ５６５ ７９ ８０ ８１ ８２ ８３ ８４ ４５６ ４５５ ４５４ ４５３ ４５２ ４５１ ４９ ５０ ５１ ５２ ５３ ５４ ５６４ ５６３ ５６２ ５６１ ５６０ ５５９ ８５ ８６ ８７ ８８ ８９ ９０ ４５０ ４４９ ４４８ ４４７ ４４６ ４４５ ５５ ５６ ５７ ５８ ５９ ６０ ５５８ ５５７ ５５６ ５５５ ５５４ ５５３ ９１ ９２ ９３ ９４ ９５ ９６ ４４４ ４４３ ４４２ ４４１ ４４０ ４３９ ６１ ６２ ６３ ６４ ６５ ６６ ５５２ ５５１ ５５０ ５４９ ５４８ ５４７ ９７ ９８ ９９ １００ １０１ １０２ ４３８ ４３７ ４３６ ４３５ ４３４ ４３３ ６７ ６８ ６９ ７０ ７１ ７２ ５４６ ５４５ ５４４ ５４３ ５４２ ５４１ １０３ １０４ １０５ １０６ １０７ １０８ ４３２ ４３１ ４３０ ４２９ ４２８ ４２７ ２１７ ２１８ ２１９ ２２０ ２２１ ２２２ ３２４ ３２３ ３２２ ３２１ ３２０ ３１９ １８１ １８２ １８３ １８４ １８５ １８６ ４２６ ４２５ ４２４ ４２３ ４２２ ４２１ ２２３ ２２４ ２２５ ２２６ ２２７ ２２８ ３１８ ３１７ ３１６ ３１５ ３１４ ３１３ １８７ １８８ １８９ １９０ １９１ １９２ ４２０ ４１９ ４１８ ４１７ ４１６ ４１５ ２２９ ２３０ ２３１ ２３２ ２３３ ２３４ ３１２ ３１１ ３１０ ３０９ ３０８ ３０７ １９３ １９４ １９５ １９６ １９７ １９８ ４１４ ４１３ ４１２ ４１１ ４１Ｏ ４０９ ２３５ ２３６ ２３７ ２３８ ２３９ ２４Ｏ ３０６ ３０５ ３０４ ３０３ ３０２ ３０１ １９９ ２００ ２０１ ２０２ ２０３ ２０４ ４０８ ４０７ ４０６ ４０５ ４０４ ４０３ ２４１ ２４２ ２４３ ２４４ ２４５ ２４６ ３００ ２９９ ２９８ ２９７ ２９６ ２９５ ２０５ ２０６ ２０７ ２０８ ２０９ ２１０ ４０２ ４０１ ４００ ３９９ ３９８ ３９７ ２４７ ２４８ ２４９ ２５０ ２５１ ２５２ ２９４ ２９３ ２９２ ２９１ ２９０ ２８９ ２１１ ２１２ ２１３ ２１４ ２１５ ２１６ 图６ ２４阶完美幻方（２４Ａ，Ｓ－－－６９２４） 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 完美幻方的最简构造法 １７５ ６２５ ５９９ ５７３ ５４７ ５２１ ４９５ ４６９ ４４３ ４１７ ３９１ ３６５ ３３９ ３１３ ２８７ ２６１ ２３５ ２０９ １８３ １５７ １３１ １０５ ７９ ５３ ２７ １ ２８ ２ ６０１ ６００ ５７４ ５４８ ５２２ ４９６ ４７０ ４４４ ４１８ ３９２ ３６６ ３４０ ３１ ４ ２８８ ２６２ ２３６ ２１０ １８４ １５８ １３２ １０６ ８０ ５４ ８１ ５５ ２９ ３ ６０２ ５７６ ５７５ ５４９ ５２３ ４９７ ４７１ ４４５ ４１９ ３９３ ３６７ ３４１ ３１５ ２８９ ２６３ ２３７ ２ｌ１ １８５ １５９ １３３ １０７ １３４ １０８ ８２ ５６ ３０ ４ ６０３ ５７７ ５５１ ５５０ ５２４ ４９８ ４７２ ４４６ ４２０ ３９４ ３６８ ３４２ ３１６ ２９０ ２６４ ２３８ ２１２ １８６ １６０ １８７ １６１ １３５ １０９ ８３ ５７ ３１ ５ ６０４ ５７８ ５５２ ５２６ ５２５ ４９９ ４７３ ４４７ ４２１ ３９５ ３６９ ３４３ ３１７ ２９１ ２６５ ２３９ ２１３ ２４０ ２１ ４ １８８ １６２ １３６ １１０ ８４ ５８ ３２ ６ ６０５ ５７９ ５５３ ５２７ ５０１ ５００ ４７４ ４４８ ４２２ ３９６ ３７０ ３４ ４ ３１８ ２９２ ２６６ ２９３ ２６７ ２４ｌ ２１ ５ １８９ １ ６３ １３７ ｌ１】 ８５ ５９ ３３ ７ ６０６ ５８０ ５５４ ５２８ ５０２ ４７６ ４７５ ４４９ ４２３ ３９７ ３７１ ３４５ ３１９ ３４６ ３２０ ２９４ ２６８ ２４２ ２１ ６ １９０ １６４ １３８ ｌ１２ ８６ ６０ ３４ ８ ６０７ ５８１ ５５５ ５２９ ５０３ ４７７ ４５１ ４５０ ４２４ ３９８ ３７２ ３９９ ３７３ ３４７ ３２１ ２９５ ２６９ ２４３ ２１７ １９１ １６５ １３９ ｌ１３ ８７ ６１ ３５ ９ ６０８ ５８２ ５５６ ５３０ ５０４ ４７８ ４５２ ４２６ ４２５ ４２７ ４０１ ４００ ３７４ ３４８ ３２２ ２９６ ２７０ ２４４ ２１８ １９２ １６６ １ ４０ １１ ４ ８８ ６２ ３６ １０ ６０９ ５８３ ５５７ ５３１ ５０５ ４７９ ４５３ ４８０ ４５４ ４２８ ４０２ ３７６ ３７５ ３４９ ３２３ ２９７ ２７１ ２４５ ２１９ １９３ １６７ １ ４１ ｌ１５ ８９ ６３ ３７ ｌ１ ６１０ ５８４ ５５８ ５３２ ５０６ ５３３ ５０７ ４８１ ４５５ ４２９ ４０３ ３７７ ３５１ ３５０ ３２４ ２９８ ２７２ ２４６ ２－２０ １９４ １ ６８ １ ４２ １１６ ９０ ６４ ３８ １２ ６１１ ５８５ ５５９ ５８６ ５６０ ５３４ ５０８ ４８２ ４５６ ４３０ ４０４ ３７８ ３５２ ３２６ ３２５ ２９９ ２７３ ２４７ ２２１ １９５ １ ６９ １ ４３ １１７ ９１ ６５ ３９ １ ３ ６１２ － １ ４ ６１３ ５８７ ５６１ ５３５ ５０９ ４８３ ４５７ ４３１ ４０５ ３７９ ３５３ ３２７ ３０１ ３００ ２７４ ２４８ ２２２ １９６ １７０ １ ４４ ｌ１ ８ ９２ ６６ ４０ ６７ ４１ １５ ６１ ４ ５８８ ５６２ ５３６ ５１０ ４８４ ４５８ ４３２ ４０６ ３８０ ３５４ ３２８ ３０２ ２７６ ２７５ ２４９ ２２３ １９７ １７１ １ ４５ １１９ ９３ １２０ ９４ ６８ ４２ １６ ６１５ ５８９ ５６３ ５３７ ５１１ ４８５ ４５９ ４３３ ４０７ ３８１ ３５５ ３２９ ３０３ ２７７ ２５１ ２５０ ２２４ １９８ １７２ １ ４６ １７３ １ ４７ １２１ ９５ ６９ ４３ １７ ６１６ ５９０ ５６４ ５３８ ５１２ ４８６ ４６０ ４３４ ４０８ ３８２ ３５６ ３３０ ３０４ ２７８ ２５２ ２２６ ２２５ １９９ ２０１ ２００ １７４ １ ４８ １２２ ９６ ７０ ４４ １８ ６１７ ５９１ ５６５ ５３９ ５１３ ４８７ ４６１ ４３５ ４０９ ３８３ ３５７ ３３１ ３０５ ２７９ ２５３ ２２７ ２５４ ２２８ 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