排列组合常用技巧

2．相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[A．1440B．3600C．4820D．4800]分析 除甲、乙外，其余5个排列数为P55种，再用甲、乙去插6个空位有P62种，不同排法种数是P55P62＝3600种，故选B．

3．定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[A．24种]B．60种C．90种D．120种分析B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是1

5个元素全排列数的一半，即P55＝60种，故选B．

24．标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[A．6种分析B．9种]C．11种D．23种先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B．5．有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[A．1260种B．2025种分析]C．2520种D．5040种先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三111步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有C10C8C7＝2520种，故选C．

6．多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．【例6】由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[]A．210个分析B．300个C．464个D．600个按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，11311311313分别有P55个，P4P3P3个、P3P3P3个、P2P3P3个、P3P3个，合并总计得300

个，故选B．

【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？分析被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A，则A＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除的数的集合A{1，2，…99，100}共有86个元素．由此可知，从A中任

2取两数的取法，共有C14种；从A中任取一个数又从A中任取一个数的取1211法，共有C114C86种，两种情形共得符合要求的取法有C14C14C861295

【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？分析将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A＝｛4，8，…，100｝；被4除余1的数集B＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B、D中各取一个数的取法也符合要求；从C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都112不符合要求．由此即可得符合要求的取法共有C225+C25C25+C25(种)．

7．交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)【例9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64P53P53P42＝252(种)．

8．定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．1分析 老师在中间三个位置上选一个位置，有P3种；然后4名同学14在其余4个位置上有P44种，共P3P4＝72种．9．多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[A．360分析B．120C．720D．1440．]前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排，共P66＝720种，故选C．

【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？分析 看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有P421种；某1个元素在后半段四个位置中选一个，有P4种；其余5个元素任125排在剩余的5个位置上有P55种，故共有P4P4P5＝5760种排法．

10．“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[A．140种分析]C．70种D．35种B．80种逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取33另一种型号的电视机，故不同取法共有C39C4C5＝70种．故选C．

11．选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种分析 先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有C243种；再排：在四个盒中每次排三个有P43种，故共有C24C4＝144种．【例15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？22分析 先取男、女运动员各二名，有C5C4种；这四名运动员混双练222习有P22种排法，故共有C5C4P2种分组法．12．部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[A．70个B．64个C．58个D．52个]4但6个分析 正方体8个顶点，从中每次取四点，理论上可构成C8个四面体，表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所4以四面体实际共有C8－12＝58个，故选 C．

【例17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．分析 7个点中取三点的取法有C37种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形C37－3＝32个．