高中数学排列组合10.1教案新人教版必修1

10.1.1学习目标

掌握排列、组合问题的解题策略 10.1.2重点

（1），特殊元素优先安排的策略： （2），合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略。 10.1.3难点

综合运用解题策略解决问题。 10.1.4学习过程: (1)知识梳理

1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法。

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ．．．．．．4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素

m中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.

m1m2mn种不同的方法。

m5．排列数公式：An(n1)(nm1)n!(mn,n,mN)

(nm)!特别提醒：

（1）规定0! = 1 （2）含有可重元素的排列问题. ．．．．．．

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于nn!.

n1!n2!...nk!3!3!3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数n1.

3!1!2!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n6．组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

m7．组合数公式： CmAnn(n1)(nm1)nmAmm!Cmnn!

m!(nm)!nmm1mm8．两个公式：①_CmnCn; ②CnCnCn1

特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. (2)典型例题 考点一:排列问题

例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端. 考点二:组合问题

例2, 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员. 考点三:综合问题

例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ （3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 10.1.5当堂测试

1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ） A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种

2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种

3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ） A,48 B, 12 C，180 D，162

4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

A，150种 B，180种 C，300种 D，345种

5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ） A，6 B，12 C 30 D36

6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A．324 B，328 C，360 D，648

7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 （ ） A，85 B，56 C，49 D，28

8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）

A，18 B，24 C，30 D，30

9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）

A，360 B，288 C，216 D，96 10.1.6 参考答案

例1,解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置

15上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A4·A5=480（种）.

2方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A5种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步乘2法计数原理，共有站法：A5·A44=480（种）.

5方法三 若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A5种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站 5法：A66-2A5=480（种）.

2（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A2=240（种）站法.

1方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A5种方法，最后让甲、412乙全排列，有A22种方法，共有A4·A5·A2=240（种）.

（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种站法；第二步再将甲、

22乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A5种站法，故共有站法为A44·A5=480（种）.

52也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A5·A2=240种站法，所以不相邻的站法有52A66-A5·A2=720-240=480（种）.

24（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A4（3A24种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A2种，故共有A4·2）=144

（种）站法.

方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”

2232元素与余下2人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A2种方法，故共有A4·A3·A2=144（种）站法. 4（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A4种，根据分步乘法计

4数原理，共有A22·A4=48（种）站法.

4方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A4种站法，由4分步乘法计数原理共有A22·A4=48（种）站法.

54（6）方法一 甲在左端的站法有A5乙在右端的站法有A5且甲在左端而乙在右端的站法有A4共有A64种，5种，5种，6-2A5+A4=504

（种）站法.

114方法二 以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A4·A4·A4 种，故114共有A55+A4·A4·A4=504（种）站法.

2例2, 解 （1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法. 第二步：选2名女运动员，有C4种选法. 2共有C3 6·C4=120种选法.

3分

（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为

4233241C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=246种.

6分

5方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有C10种选法，其中全是男运55动员的选法有C56种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为C10-C6=246种.

6分

44（3）方法一 可分类求解： “只有男队长”的选法为C8； “只有女队长”的选法为C8；“男、女队长都入选”的选法为343C8；所以共有2C8+C8=196种选法.

9分

55方法二 间接法： 从10人中任选5人有C10种选法. 其中不选队长的方法有C8种.所以“至少1名队长”的选法为55C10-C8=196种. 9分

44（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C8种选法.其中不含女运动员的选法有444444C5种，所以不选女队长时的选法共有C8-C5种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有 C9+C8-C5=191种.

例3,解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个

212盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C4C3×A2=144种.

（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法. （3）确定2个空盒有C24种方法.

124个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C3第二类有序均匀分组有4C1A2种方法；

2C24C2A22·A22种方法. 故共有当堂检测答案

C24( C342C11A2+

2C24C2A22·A22）=84种.

1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ） A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种 解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有C5解题策略：合理分类与准确分步的策略。

2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种

解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有C2C2A3种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有

22种方法。 A3A21132112=70种， C4C5C4共有24+12=36种选法。

解题策略：：1，特殊元素优先安排的策略。2，合理分类与准确分步的策略。3，排列、组合混合问题先选后排的策略。 3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ） A,48 B, 12 C，180 D，162

解析：分为两大类：（1）含有0，分步1，从另外两个偶数中选一个，C2种方法，2，从3个奇数中选两个，有C3种方法；3，给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有C3种方法；4，其他的3个数字进行全排列，有A3种排法，根据乘法原理共

121324种方法。（2）不含0，分步，偶数必然是2，4 ；奇数有C3种不同的选法，然后把4个元素全排列，共A4种C2C3C3A31312排法，不含0 的排法有C324241213种。根据加法原理把两部分加一块得C2C3C3A3+C3A4=180. A4解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。2，合理分类与准确分步的策略。3，排列、组合混合问题先选后排的策略。

4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

A，150种 B，180种 C，300种 D，345种

解析：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有

112211C5C3C6C5C6C2 种选法。解题策略：合理分类与准确分步的策略。

5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ） A，6 B，12 C 30 D36 解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有C4222种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让C4222种方法，所以至少有一门不C2甲选两门有C4 种选法，然后乙从剩余的两门选，有C2种不同的选法，全不相同的选法是C4相同的选法为C42222—C4C2=30种不同的选法。 C4解题策略：正难则反，等价转化的策略。

7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 （ ） A，85 B，56 C，49 D，28 解析：合理分类，甲乙全被选中，有C2种不同的选法。

解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略，（2）合理分类与准确分步的策略.

8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）

A，18 B，24 C，30 D，30

将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有C4种不同的分法，然后三组进行全排列共

33233种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共A3种不同的排法。所以总的排法为C4A3—A3=30种不同的A3221122112 种 选 法，甲乙有一个被选中，有C2C7种不同的选法，共C2C7+C2C7=49C7排法。

注意: 这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。

解题策略：1正难则反、等价转化的策略2相邻问题捆绑处理的策略3排列、组合混合问题先选后排的策略；

9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）

A，360 B，288 C，216 D，96

解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有C3种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有同的排法，

然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有A4种不同的排法，共有A2的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。

甲可能站左端，也可能是右端，有C2种不同的方法，然后其他两个男生排列有有

12种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，A22232种不同C32A3A422种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有A3中不A2221223222122----A2C3C2A2A3=288种不同的A32种不同的排法。共A2C32C2A2A32种不同的排法， 故总的排法为A2C32A3A4方法。

本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略。 解排列组合的应用题要注意以下几点：

（1） 仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步。 （2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。

（3）对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。

（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解。看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复。