一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. −2的相反数是( )
1
A. −2
1
B. 2
1
C. −2 D. 2
2. 如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A. 2个
3. 单项式
𝜋𝑟22
B. 3个
的系数是( )
C. 4个 D. 5个
A. 2
1
B. 𝜋 C. 2
D. 2
𝜋
4. 在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4 𝑐𝑚，b与c的距离为
1 𝑐𝑚，则a与c的距离为( )
A. 1 𝑐𝑚 B. 3 𝑐𝑚 C. 5 𝑐𝑚或3 𝑐𝑚 D. 1 𝑐𝑚或3 𝑐𝑚
5. 一组数据：7，9，9，8，10，它们的众数和中位数分别是( )
A. 9和9 B. 9和8 C. 9和9.5 D. 9和8.5
6. 下列命题为真命题的是( )
A. 有公共顶点的两个角是对顶角
B. 多项式𝑥2−4𝑥因式分解的结果是𝑥(𝑥2−4) C. 𝑎+𝑎=𝑎2
D. 一元二次方程𝑥2−𝑥+2=0无实数根
7. 我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今
凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为
A. 7−9=1
𝑥𝑥
B. 7+9=1
𝑘
𝑥𝑥
C. 7𝑥+9𝑥=1 D. 9𝑥−7𝑥=1
8. 如图，在同一直角坐标系中，函数𝑦=𝑥与𝑦=𝑘𝑥+𝑘2的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，已知∠𝐴𝑂𝐵=30°，P是∠𝐴𝑂𝐵平分线上一点，𝐶𝑃//𝑂𝐵，交OA于
点C，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵，垂足为点D，且𝑃𝐶=4，则PD等( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
𝐴𝐵=6，10. 如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且𝐶𝐸=2𝐷𝐸.将△𝐴𝐷𝐸
𝐶𝐹.下列结论：沿AE对折至△𝐴𝐹𝐸，延长EF交边BC于点G，连结AG、①△𝐴𝐵𝐺≌△𝐴𝐹𝐺；②𝐵𝐺=𝐺𝐶；③𝐸𝐺=𝐷𝐸+𝐵𝐺；④𝐴𝐺//𝐶𝐹；⑤𝑆△𝐹𝐺𝐶=3.6.其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 化简|2−𝜋|=______．
12. 将450000这个数用科学记数法表示为______ ． 13. 方程2𝑥−5=1−5−2𝑥的解是_____________． 14. 函数𝑦=√𝑥+2中，自变量x的取值范围是______．
15. 矩形纸片ABCD中，𝐴𝐷=4𝑐𝑚，𝐴𝐵=10𝑐𝑚，按如图方式折叠，
使点B与点D重合，折痕为EF，则𝐷𝐸=______cm．
𝑥−1𝑥
5
16. 如图，A、B、C三点均在⊙𝑂上，若∠𝑂𝐴𝐶=12°，∠𝐴𝐶𝐵=32°，则
∠𝐶𝐴𝐵=______°.
17. 为全面推进“新两基”(基本普及15年教育及县城内义务教育基本均衡)
工作，某县对辖区内的80所中小学上半年工作情况进行了专项督导考核，成绩分别记为A，B，C，D四等，绘制了扇形统计图(如图)，则该县被考核的学校中得A等成绩的有______ 所．
18. 如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要____个铜币．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. (1)计算：6𝑐𝑜𝑠45°+(3)−1+(√3−1.73)0+|5−3√2|
(2)先化简，再求值： (𝑎+1−𝑎+1)÷
四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
20. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，O为BC的中点，点E、D
分别为边AB、AC上的点，且满足𝑂𝐸⊥𝑂𝐷，求证：𝑂𝐸=𝑂𝐷．
3
𝑎2−4𝑎+4𝑎+1
1
+𝑎−2−𝑎，并从−1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
4
2，3，4四个数字，21. 在四个完全相同的小球上分别写上1，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从
口袋内任取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求点𝑃(𝑥,𝑦)落在直线𝑦=𝑥上的概率是多少？
22. 关于三角函数有如下的公式：
sin(𝛼+𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽① cos(𝛼+𝛽)=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽② tan(𝛼+𝛽)=
𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽
③
1−tan𝛼⋅tan𝛽
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
𝑡𝑎𝑛105°=tan(45°+60°)=
𝑡𝑎𝑛45°+𝑡𝑎𝑛60°1+√3(1+√3)(1+√3)
==
1−𝑡𝑎𝑛45∘⋅𝑡𝑎𝑛60∘1−1⋅√3(1−√3)(1+√3)=−(2+√3).
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角𝛼=60°，底端C点的俯角𝛽=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
23. 2016年3月国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为
10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量𝑦(个)与售价𝑥(元)之间的函数关系(12≤𝑥≤30)； (2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，王大伯获得利润W最大，最大利润是多少？
24. 如图，AB为⊙𝑂的直径，AC、DC为弦，∠𝐴𝐶𝐷=60°，P为AB延长线上的点，∠𝐴𝑃𝐷=30°．
(1)求证：DP是⊙𝑂的切线；
(2)若⊙𝑂的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
25. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1(𝑎≠0)经过𝐴(−1,0)，𝐵(2,0)两点，与y轴交于点
C．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P在抛物线的对称轴上，当△𝐴𝐶𝐹的周长最小时，求出点P的坐标；
(3)点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的𝑅𝑡△𝐷𝑁𝑀与𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：−2的相反数是2， 故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
1
1
2.答案：A
解析：解：中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 中国工商银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
3.答案：D
解析：
此题主要考查了单项式的定义，正确把握单项式系数的定义是解题关键．直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案． 解：单项式故选D．
𝜋𝑟22
的系数是：2．
𝜋
4.答案：C
解析：
本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．
解：当直线c在a、b之间时，∵𝑎、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴𝑎与c的距离=4−1=3(𝑐𝑚)；
b之间时，b、c是三条平行直线，b与c的距离为1cm， ∵𝑎、当直线c不在a、而a与b的距离为4cm，∴𝑎与c的距离=4+1=5(𝑐𝑚)， 综上所述，a与c的距离为5cm或3cm． 故选C．
5.答案：A
解析：解：这组数据的众数为9，中位数为9， 故选：A．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的概念．
6.答案：D
解析：解：A、有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故此选项错误； B、多项式𝑥2−4𝑥因式分解的结果是𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)，故此选项错误； C、𝑎+𝑎=2𝑎，故此选项错误；
D、一元二次方程𝑥2−𝑥+2=0，𝑏2−4𝑎𝑐=−7<0，故此方程无实数根，正确． 故选：D．
分别利用对顶角的定义以及分解因式、合并同类项法则、根的判别式分析得出答案． 此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．
7.答案：B
解析：
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程有关知识，直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相遇进而得出等式． 解：设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇， 可列方程为：7+9=1． 故选B．
𝑥
𝑥
8.答案：C
解析：
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质的有关知识．
根据反比例函数𝑦=𝑥与一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑘2中系数k的符号进行分类讨论即可． 解：∵函数𝑦=𝑥与𝑦=𝑘𝑥+𝑘2的系数k相同，𝑘2>0，
∴当𝑘>0时，直线经过一二三象限，双曲线分布在一三象限，与各选项不符； 当𝑘<0时，直线经过一二四象限，双曲线分布在二四象限，与C选项符合， 故选C．
𝑘
𝑘
9.答案：B
解析：
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离．
作𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于E，如图，先利用平行线的性质得∠𝐸𝐶𝑃=∠𝐴𝑂𝐵=30°，则𝑃𝐸=2𝑃𝐶=2，然后根据角平分线的性质得到PD的长． 解：作𝑃𝐸⊥𝑂𝐴于E，如图，
1
∵𝐶𝑃//𝑂𝐵，
∴∠𝐸𝐶𝑃=∠𝐴𝑂𝐵=30°，
在𝑅𝑡△𝐸𝑃𝐶中，𝑃𝐸=2𝑃𝐶=2×4=2，
∵𝑃是∠𝐴𝑂𝐵平分线上一点，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵， ∴𝑃𝐷=𝑃𝐸=2． 故选B．
1
1
10.答案：D
解析：解：∵正方形ABCD的边长为6，𝐶𝐸=2𝐷𝐸， ∴𝐷𝐸=2，𝐸𝐶=4，
∵把△𝐴𝐷𝐸沿AE折叠使△𝐴𝐷𝐸落在△𝐴𝐹𝐸的位置，
∴𝐴𝐹=𝐴𝐷=6，𝐸𝐹=𝐸𝐷=2，∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷=90°，∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺和𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺中 𝐴𝐵=𝐴𝐹{， 𝐴𝐺=𝐴𝐺
∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺≌𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺(𝐻𝐿)， ∴𝐺𝐵=𝐺𝐹，∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐹𝐴𝐺，
∴∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐸+∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐷=45°，所以①正确；
21
设𝐵𝐺=𝑥，则𝐺𝐹=𝑥，𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝐺=6−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐶𝐺𝐸中，𝐺𝐸=𝑥+2，𝐸𝐶=4，𝐶𝐺=6−𝑥， ∵𝐶𝐺2+𝐶𝐸2=𝐺𝐸2，
∴(6−𝑥)2+42=(𝑥+2)2，解得𝑥=3， ∴𝐵𝐺=3，𝐶𝐺=6−3=3 ∴𝐵𝐺=𝐶𝐺，所以②正确； ∵𝐸𝐹=𝐸𝐷，𝐺𝐵=𝐺𝐹，
∴𝐺𝐸=𝐺𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐺+𝐷𝐸，所以③正确；
∵𝐺𝐹=𝐺𝐶， ∴∠𝐺𝐹𝐶=∠𝐺𝐶𝐹， 又∵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺≌𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺， ∴∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐴𝐺𝐹， 而∠𝐵𝐺𝐹=∠𝐺𝐹𝐶+∠𝐺𝐶𝐹， ∴∠𝐴𝐺𝐵+∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐺𝐹𝐶+∠𝐺𝐶𝐹， ∴∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐺𝐶𝐹， ∴𝐶𝐹//𝐴𝐺，所以④正确； 过F作𝐹𝐻⊥𝐷𝐶 ∵𝐵𝐶⊥𝐷𝐻， ∴𝐹𝐻//𝐺𝐶， ∴△𝐸𝐹𝐻∽△𝐸𝐺𝐶， ∴
𝐸𝐻𝐺𝐶
=𝐸𝐺，
𝐸𝐹
𝐸𝐹=𝐷𝐸=2，𝐺𝐹=3， ∴𝐸𝐺=5， ∴△𝐸𝐹𝐻∽△𝐸𝐺𝐶， ∴相似比为：𝐺𝐶=𝐸𝐺=5，
∴𝑆△𝐹𝐺𝐶=𝑆△𝐺𝐶𝐸−𝑆△𝐹𝐸𝐶=×3×4−×4×(×3)=
2
2
5
1
1
2
185
𝐸𝐻
𝐸𝐹
2
=3.6，所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤， 故选：D．
先计算出𝐷𝐸=2，𝐸𝐶=4，再根据折叠的性质𝐴𝐹=𝐴𝐷=6，𝐸𝐹=𝐸𝐷=2，∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷=90°，∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，然后根据“HL”可证明𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺≌𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺，则𝐺𝐵=𝐺𝐹，∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐹𝐴𝐺，所以∠𝐺𝐴𝐸=2∠𝐵𝐴𝐷=45°；𝐺𝐸=𝐺𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐺+𝐷𝐸；𝐶𝐺=𝐵𝐶−𝐵𝐺=6−𝑥，设𝐵𝐺=𝑥，则𝐺𝐹=𝑥，在𝑅𝑡△𝐶𝐺𝐸中，根据勾股定理得(6−𝑥)2+42=(𝑥+2)2，解得𝑥=3，则𝐵𝐺=𝐶𝐺=3，则点G为BC的中点；同时得到𝐺𝐹=𝐺𝐶，根据等腰三角形的性质得∠𝐺𝐹𝐶=∠𝐺𝐶𝐹，再由𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺≌𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺得到∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐴𝐺𝐹，然后根据三角形外角性质得∠𝐵𝐺𝐹=∠𝐺𝐹𝐶+∠𝐺𝐶𝐹，易得∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐺𝐶𝐹，根据平行线的判定方法得到𝐶𝐹//𝐴𝐺；过F作𝐹𝐻⊥𝐷𝐶，则△𝐸𝐹𝐻∽△𝐸𝐺𝐶，△𝐸𝐹𝐻∽△𝐸𝐺𝐶，由相似比为5，可计算𝑆△𝐹𝐺𝐶．
2
1
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．
11.答案：𝜋−2
解析：解：|2−𝜋|=𝜋−2． 故答案为：𝜋−2．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．
12.答案：4.5×105
解析：
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为𝑎×10𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，据此解答，确定a与n的值是解题的关键． 解：450000=4.5×105． 故答案为：4.5×105．
13.答案：𝑥=0
解析：
本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤，先化为整式方程，求得解后，经检验，𝑥=0是原分式方程的解． 解：原方程可化为 𝑥=2𝑥−5+5， 解得：𝑥=0，
经检验，𝑥=0是原分式方程的解． 故答案为𝑥=0．
14.答案：𝑥>−2
解析：解：根据题意得：被开方数𝑥+2≥0，解得𝑥≥−2， 根据分式有意义的条件，𝑥+2≠0，解得𝑥≠−2， 故𝑥>−2．
故答案为𝑥>−2．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解． 本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
15.答案：5.8
解析：解：由翻折不变性可知，𝐸𝐵=𝐸𝐷； 设DE为xcm，则𝐸𝐵=𝑥𝑐𝑚， ∵𝐴𝐵=10，
∴𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝑥=10−𝑥， 又∵𝐴𝐷=4𝑐𝑚， ∴在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中， 𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=𝐷𝐸2， ∴42+(10−𝑥)2=𝑥2， ∴16+100+𝑥2−20𝑥=𝑥2， 解得𝑥=5.8 故答案为5.8．
根据翻折不变性可知，𝐸𝐵=𝐸𝐷.设DE为x，则得到EB为x，于是可知𝐴𝐸=10−𝑥；在△𝐴𝐸𝐷中，利用勾股定理即可求出DE的长．
此题考查了翻折不变性，找到图中的不变量，将未知量转化到直角三角形中，利用勾股定理是解题的关键．
16.答案：46
解析：
此题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
连接OB，利用圆周角定理求出∠𝐴𝑂𝐵的度数，再由𝑂𝐴=𝑂𝐵，利用等边对等角及内角和定理求出∠𝑂𝐴𝐵的度数，由∠𝑂𝐴𝐵−∠𝑂𝐴𝐶即可求出∠𝐶𝐴𝐵的度数． 解：连接OB，
⏜，∠𝐴𝐶𝐵=32°， ∵∠𝐴𝑂𝐵与∠𝐴𝐶𝐵都对𝐴𝐵∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐴𝐶𝐵=64°， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵， ∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐵𝐴=
180°−64°
2
=58°，
则∠𝐶𝐴𝐵=∠𝑂𝐴𝐵−∠𝑂𝐴𝐶=46°， 故答案为46．
17.答案：56
解析：
本题主要考查了扇形统计图，解题的关键是从扇形统计图得出正确的数据，用总学校数×𝐴等的百分比即可．．
解：80×(1−25%−3%−2%)=56(所)； 故答案为56．
18.答案：2𝑛(𝑛+1)+1．
解析：
本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
找出相邻两个图形铜币的数目的差，从而可发现其中的规律，于是可求得问题的答案． 解：𝑛=1时，铜币个数=1+1=2； 当𝑛=2时，铜币个数=1+1+2=4； 当𝑛=3时，铜币个数=1+1+2+3=7；
1
当𝑛=4时，铜币个数=1+1+2+3+4=11；
…
第n个图案，铜币个数=1+1+2+3+4+⋯+𝑛=2𝑛(𝑛+1)+1．
1
19.答案：解：(1)6𝑐𝑜𝑠45°+(3)−1+(√3−1.73)0+|5−3√2|
=6×
√2
+3+1+5−3√2 2
1
=3√2+3+1+5−3√2
=9；
3𝑎2−4𝑎+44(2)(−𝑎+1)÷+−𝑎
𝑎+1𝑎+1𝑎−23−(𝑎−1)(𝑎+1)𝑎+14=⋅+−𝑎
𝑎+1(𝑎−2)2𝑎−24−𝑎24
=+−𝑎 (𝑎−2)2𝑎−2(2+𝑎)(2−𝑎)4=−−𝑎
(𝑎−2)22−𝑎==
=−1−𝑎，
当𝑎=0时，原式=−1−0=−1．
2+𝑎4−−𝑎 2−𝑎2−𝑎𝑎−2
−𝑎 2−𝑎
解析：本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
(1)根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值可以解答本题；
(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再从−1，0，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
20.答案：证明：如图，连接AO，
∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，O为BC的中点，
∴𝐴𝑂=𝐵𝑂，∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐵=45°， ∵𝐴𝑂⊥𝐵𝑂，𝑂𝐸⊥𝑂𝐷，
∴∠𝐴𝑂𝐸+∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐴𝑂𝐸+∠𝐴𝑂𝐷=90°， ∴∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐸， 在△𝐴𝑂𝐷和△𝐵𝑂𝐸中 ∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐵{𝐴𝑂=𝐵𝑂， ∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐸∴△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐸， ∴𝑂𝐸=𝑂𝐷．
解析：本题主要考查全等三角形的判定和性质．
根据等腰直角三角形的中线特性，做辅助线是解题的关键，然后证明△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐸即可．
21.答案：解：列表得： 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ∵以上共有16个结果，(2,2)，(3,3)，(4,4)每种结果出现的可能性都相同，其中满足条件的点有(1,1)，落在直线𝑦=𝑥上；
∴点𝑃(𝑥,𝑦)落在直线𝑦=𝑥上的概率是16=4．
4
1
解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一次函数的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足𝑦=𝑥的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
22.答案：解：由于𝛼=60°，𝛽=75°，𝐵𝐶=42，
则𝐴𝐵=𝐵𝐶⋅𝑡𝑎𝑛𝛽=42𝑡𝑎𝑛75°=42⋅1−𝑡𝑎𝑛45∘⋅𝑡𝑎𝑛30∘=42⋅A、D垂直距离为𝐵𝐶⋅𝑡𝑎𝑛𝛼=42√3， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐵−42√3=84(米)． 答：建筑物CD的高为84米．
𝑡𝑎𝑛45°+𝑡𝑎𝑛30°
√33√31−3
1+
=42(√3+2)，
解析：先由俯角𝛽的正切值及BC求得AB，再由俯角𝛼的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD的长由二者相减即可求得．
本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
23.答案：解：
(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：𝑦=180−10(𝑥−12)=−10𝑥+300(12≤𝑥≤30). (2)设王大伯获得的利润为W，则𝑊=(𝑥−10)𝑦=−10𝑥2+400𝑥−3000， 令𝑊=840，则−10𝑥2+400𝑥−3000=840， 解得：𝑥1=16，𝑥2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元． (3)∵𝑊=−10𝑥2+400𝑥−3000=−10(𝑥−20)2+1000， ∵𝑎=−10<0，
∴当𝑥=20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
解析：(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
(2)设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入𝑊=840求出x的值，由此即可得出结论；
(3)利用配方法将W关于x的函数关系式变形为𝑊=−10(𝑥−20)2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系找出y关于x的函数关系式；(2)根据数量关系找出W关于x的函数关系式；(3)利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．
24.答案：(1)证明：连接OD，
∵∠𝐴𝐶𝐷=60°， ∴∠𝐴𝑂𝐷=120°， ∴∠𝐵𝑂𝐷=60°， ∵∠𝐴𝑃𝐷=30°， ∴∠𝑂𝐷𝑃=90°， 即𝑃𝐷⊥𝑂𝐷， ∴𝑃𝐷是⊙𝑂的切线；
(2)解：∵在𝑅𝑡△𝑃𝑂𝐷中，𝑂𝐷=3𝑐𝑚，∠𝐴𝑃𝐷=30°， ∴𝑃𝐷=3√3， ∴图中阴影部分的面积
．
解析：此题主要考查了切线的性质与判定以及扇形面积求法，正确掌握切线的性质与判定方法是解题关键．
(1)直接利用已知得出∠𝑂𝐷𝑃=90°，进而得出答案；
(2)直接利用△𝑂𝐷𝑃的面积减去扇形DOB的面积进而得出答案．
25.答案：解：(1)∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1(𝑎≠0)经过𝐴(−1,0)，𝐵(2,0)两点，
𝑎−𝑏−1=0∴{ 4𝑎+2𝑏−1=0
∴{𝑎=
121，
2
𝑏=−2
∴抛物线解析式为𝑦=1𝑥2−1𝑥−1=1(𝑥−1)−9，
2
2
2
2
8
∴抛物线的顶点坐标为(2,−8)， (2)如图1，
19
连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P，连接AC，AP， ∵点A，B关于抛物线对称轴对称， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐵， ∵𝐵(2,0)，𝐶(0,−1)，
∴直线BC解析式为𝑦=2𝑥−1， ∵点P在抛物线对称轴上， ∴点P的横坐标为2， ∴点P的纵坐标为−4， ∴𝑃(,−)，
24(3)如图2，
1
3
31
1
过点作𝑁𝐹⊥𝐷𝑀， ∵𝐵(2,0)，𝐶(0,−1)， ∴𝑂𝐵=2，𝑂𝐶=1，
∴tan∠𝑂𝐵𝐶=𝑂𝐵=2，tan∠𝑂𝐶𝐵=𝑂𝐶=2， 设点𝑁(𝑚,2𝑚2−2𝑚−1)，
1
1𝑂𝐶
1
𝑂𝐵
∴𝐹𝑁=|𝑚−|，𝐹𝐷=|𝑚2−𝑚−1+|=|𝑚2−𝑚+|，
2228228∵𝑅𝑡△𝐷𝑁𝑀与𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶相似，
∴∠𝑀𝐷𝑁=∠𝑂𝐵𝐶，或∠𝑀𝐷𝑁=∠𝑂𝐶𝐵， ①当∠𝑀𝐷𝑁=∠𝑂𝐵𝐶时， ∴tan∠𝑀𝐷𝑁=∴
|𝑚−|11|𝑚2−𝑚+1|221
2
1119111
𝐹𝑁𝐹𝐷12
=， 2
1
= 9
7
∴𝑚=(舍)或𝑚=或𝑚=−，
222∴𝑁(,)或(−,)， 2828②当∠𝑀𝐷𝑁=∠𝑂𝐶𝐵时， ∴tan∠𝑀𝐷𝑁=∴
|𝑚−||𝑚2−𝑚+|
1
121218121
955755
𝐹𝑁𝐹𝐷
=2，
=2，
3
1
∴𝑚=2(舍)或𝑚=2或𝑚=−2， ∴𝑁(2,−8)或(−2,−8)；
∴符合条件的点N的坐标(2,8)或(−2,8)或(2,−8)或(−2,−8).
955
755
3
55
1
5
3
5
1
5
解析：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，三角函数，三角形周长的计算，绝对值方程，过点N作抛物线对称轴的垂线是解本题的关键也是难点． (1)利用待定系数法求出抛物线解析式；
(2)确定出当△𝐴𝐶𝑃的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可． (3)作出辅助线，利用tan∠𝑀𝐷𝑁=2或2，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．
1
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