行列式的特殊解法

【title】 Act3 Cramer's Rule 【Content Arrangement】:

1）Cramer's Rule

2）Some methods to compute determinant

Act3-1 Some methods to compute the determinant

（行列式的特殊解法）

【Content Arrangement】:

1、化为三角形 2、降阶法 3、 Vandermonde

4、递推法 *5、拆项法 *6、析因子法 *7、拉普拉斯定理的特例 1． 化为三角形（加边法） 例1：

2、降阶法

例： 解 ：

1

3165216.doc

请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时，D的值？(不要套公式) 3．Vandermonde 例: Vandermonde行列式

证明 用数学归纳法。

当 n=2时， 在

成立。 假设该结论对n-1阶成立，现证明 n阶也成立。

倍，n-1行减去 n-2行的

倍，依次类推，得

中，第n行减去n-1行的

4。递推法：

2

3165216.doc

例：

解：按第一列展开，得：

而： 5、拆项法：

。 故

例：计算行列式

解：

6、析因子法： 例：

解：很明显， 数为1。 且

=1，2，3，…， ,

,…,

都使得

=0,而

是

的,

次多项式，首项系,…,

|

为互质多项式，故

7．拉普拉斯定理的两个特例

3

3165216.doc

Act3-2 Cramer's Rule

Now we will discuss the system of n linear equations in n unknowns. Theorem1: The system of linear equations

（1）

The determinant

is called the coefficient determinant of the system..

If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas.

（2）

whereis the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,...,bn.

Proof： 首先证明（2）是方程组的解。为此把k个方程左端得，

（i=1，2，…，n）代入方程组的第

4

3165216.doc

由行列式性质7、8有，

下证解的唯一性： 设有另解 , 只须证

同理可得，证毕。 本定理适用条件：

1、n个未知数，n个方程得方程组； 2、系数行列式D不为零；

3、若D=0，方程组可能无解或有无穷解。

Definition： If b1=0,...,bn=0, we call the system homogeneous.

5

3165216.doc

trivial solution：

（

）

Corollary1: A homogeneous system of n linear equations in n unknowns with nonvanishing

determinant has only the trivial solution. Corollary2: If a homogeneous system of n linear equations in n unknowns has nontrivial solution,

then D= 0. Example1：Solve the following system of linear equations .

Solve:系数行列式为：

解的分子行列式为：

6

3165216.doc

所以解为：

Example2：Solve the following system

Solve: 系数行列式为：

所以方程组只有零解，即 x=0,y=0,z=0 【随堂练习】

1.方程组 Answer: 2.设多项式 零。

有非零解， 。

，证明：若有 个互异零点，则恒等于

Proof:设 的 个互异的零点为 ，则有 ，即 为未知量的

这可视为以

齐次线性方程组，其系数行列式为 n+1阶范德蒙行列式的转置，故

于是由Cramer法则上述方程组只有零解，即

【Homework】1-2 8（1）（3），9（2），10 1-3 1

也即

.

7