Excel在P_型分布频率计算中的应用研究

InternationalJournalHYDROELECTRICENERGYVol.20No.3

Step.2002

文章编号:1000-7709(2002)03-0041-03

Excel在P-Ⅲ型分布频率计算中的应用研究

耿鸿江

(云南省水利水电学校,云南昆明650202)

摘要:提出了用Excel求解P-Ⅲ型分布频率计算中的离均系数󰀁p值、参数估计、推求设计值,以及绘制机率格纸的新途径。实例表明:该途径准确、方便、快捷和规范,有较高的实用价值。关键词:P-Ⅲ型分布;参数估计;机率格纸;频率计算中图分类号:P338

文献标识码:A

　　在P-Ⅲ型频率曲线的应用过程中,求解离均系数󰀁p值的传统方法计算速度慢、精度低;参数

估计时或精度低,或计算繁琐,或随意性大;绘制频率曲线在CS=0的海森正态机率格纸进行,与水文变量大都是CS>0的状况又不相吻合。针对这些问题,本文探讨用Excel软件求解󰀁p值、统计参数估计值和设计值,其计算精度高、速度快、易于操作,且满足标准化和规范化的要求。

由式(8)和(6)可知,󰀁p值与CS和P有关,当CS一定时,󰀁p值仅是P的函数,福斯特于1924年用直接积分法或近似积分法算出了部分󰀁p值,之后一些学者进行了扩展和补充。

在Excel软件中,函数GAMMAINV为返回󰀁分布的累积函数的逆函数,即

、(10)GAMMAINV(P、󰀁󰀁)=x

式中,P为变量小于或等于x的频率;󰀁为分布参数,󰀁=4/C2S;此处,󰀁为分布参数,󰀁=xCVCS/2,当󰀁=1时,为标准󰀁分布。

函数GAMMAINV使用迭代法来计算。给定一个频率值,函数GAMMAINV开始迭代,直到

1　󰀁p值的计算

P-Ⅲ型频率密度曲线方程式如下:󰀁󰀁-1-󰀁(x-a)

0

(x-a0)e󰀁(󰀁)

式中,　　󰀁=4/C2S

y=

󰀁=2xCVCS

a0=x(1-2CV/CS)

水文计算中需要的是超过频率P,即:P=

󰀁󰀁(󰀁)

∞tp

󰀁

󰀁

(1)(2)(3)(4)

结果精确到3×10-7。如果经过100次迭代后,函数GAMMAINV仍未收敛,软件返回错误值#N/A,如果计算结果溢出,则返回错误值#NUM!。

对照式(6)、(8),有:

4,1)(11)tp=GAMMAINV(1-P,C2S

CS42󰀁p=2GAMMAINV(1-P,2,1)-CS(12)

CS

式中的P为超过频率,给定某一P和CS,用式(12)就可求得相应的󰀁p值。

(x-∫x

p

∞

a0)󰀁-1e-󰀁(x-a0)dx

(5)

令t=󰀁(x-a0),则:P=

1󰀁(󰀁)∫-1-t

t󰀁edt=1-

1󰀁(󰀁)t∫t0

p󰀁-1

e-tdt

(6)

式中,　　　　　tp=󰀁(xp-a0)

由式(3)、(4)、(7)可得离均系数:

xp-xCS2󰀁p==tp-2CSxCV

由式(8)有:xp=(1+CV󰀁p)x

收稿日期:2002-03-14

(7)

2　统计参数的优选

式(9)可写成下述形式:

xp=x+󰀁󰀂p

(13)

显然,式(13)为某一CS下以󰀁p为横坐标的

(8)(9)

作者简介:耿鸿江(1964-),男(汉族),黑龙江哈尔滨人,云南省水利水电学校副教授、勘测设计研究所所长。　　　　　　　　　　　　　　　　水　电　能　源　科　学　　　　　　　　　　　　　　　2002年・42・

直线方程,x为直线的截距,󰀁为直线的斜率。由于需要同时调整CS,相应就有三个待选参数CS、x和󰀁。优选参数的步骤如下:

步骤1　对水文变量xi由大到小排队,用频i×100%计算i的超过

xn+1

频率Pi,用矩法公式计算系列的CS作为优选的初值。

率的期望公式P=

步骤2　将Pi和CS代入式(12)计算󰀁pi值,用󰀁pi与相应的水文变量xi建立回归方程。

步骤3　调试CS,以离差平方和最小为判别准则,即以∑(xi-xpi)=min的CS、x和󰀁为最终结果。

2

4　算例及分析

为便于对比分析,对文献[1]第11号理想系列(n=19)和文献[2]的实测流量系列用本文的方法分别进行计算,其结果分别列于表1和表2。

表1　理想系列各种参数估计方法对比计算表方法理论值矩法极大似然法概率权重矩法单纯权函数法双权函数法本文方法

0.0.0.0.0.x19709709709709911

CV0.50.4330.4890.4600.4330.4780.5

CS1.50.9051.7341.3011.2041.4771.5

x1%2.6652.2152.6122.4052.2962.5612.665

x0.1%3.6172.8183.6033.1842.9983.4533.617

Excel软件中有三种途径可计算直线回归参数,它们是:󰀁直接用函数INTERCEPT、SLOPE和STEYX分别求回归直线的截距、斜率和标准差。󰀁用数据分析工具,选择“工具”→“数据分析”→“分析工具”→“回归”。󰀁多元线性回归和自回归函数LINEST。本文采用函数LINEST来优选统计参数,计算公式如下:

参数数组=LINEST(xi,󰀁pi,TRUE,TRUE)(14)式中,参数数组是函数LINEST的输出结果,包括截距x、斜率󰀁和离差平方和∑(xi-xp)2=

函数LINEST有四个参min等10个统计特征值。

数,它们分别为:倚变量系列xi、自变量系列󰀁pi、

逻辑值Const(如指定截距为0时,输入FALSE;否则为TRUE)和逻辑值Stats(如只给出截距和斜率两个参数时,输入FALSE;否则为TRUE)。

表2　实测流量系列各种参数估计方法对比计算表方法矩法极大似然法试错适线法三点法加求矩差法本文方法

888998x860860860020075967

CV0.420.450.420.450.450.45

CS0.731.221.261.020.970.99

∑(x-i

121014898

xpi)2831400541410614129864712193727754916

　　由表1、2可见,本文方法不只局限于调整CS,而是三个参数互动优选,符合各参数均有“求矩差”的实际,在计算过程中无随意性,概念清楚,精度较高,过去由于计算工作量大而限制了它的广泛使用。而应用Excel软件来优选上述参数,使计算过程变得非常简便。

5　讨论

5.1　󰀁p值的有效范围

用式(12)重新计算󰀁p表,当CS=0时,改用标准正态分布函数的逆函数NORMSINV计算。CS取值范围:0～10,P的取值范围:0.0001%～99.99%。具体计算结果如表3所示。

表3　用Excel软件计算󰀁p值的有效范围

3　设计值的推求

推求设计值的实质是由给定的设计频率P,在已经优选出的回归直线上查得水文变量值。Excel软件中有两个函数FORECAST和TREND,可以不用建立回归方程,直接用原始数据即可查读设计值。

在优选统计参数CS的基础上,给定某一设计频率P,如采用TREND函数,计算公式为:CS

xp=TREND(xi,󰀁pi,2GAMMAINV((1-4,1)-2,)(15)P),2CSTRUECS

式中,函数TREND有四个参数,它们分别为:倚变量系列xi、自变量系列󰀁pi、某一给定的自变量󰀁p(设计频率P相应的󰀁p)和逻辑值Const(如常数项强制为0,输入FALSE;否则取TRUE)。第20卷第3期耿鸿江:Excel在P-Ⅲ型分布频率计算中的应用研究

　　・43　　・

　　在表3的正常区内的󰀁p值与文献[2]、[3]、

[4]完全一致,事实上发散区的󰀁p值已不随P的变化而变化,均和正常区的最后一个值相同。由于水文计算中,CS基本都在0.1～7.3之内,P<0.005%的情况很少见,所以用Excel软件计算󰀁p值完全能够满足生产上的要求。从公式的完整性考虑,本文的方法在P<0.005%,07.4的范围尚需进一步的探讨。5.2　关于参数估计方法

本文提出的参数估计方法实质上是文献[2]中“最小二乘法”估计P-Ⅲ型分布参数在计算机上的具体实现。由于海森机率格纸是建立在正态分布的基础之上,在上面绘制P-Ⅲ型分布频率曲线无法呈直线状态(水文变量CS一般大于0),这就增加了适线和分析的难度。如果按本文提出的方法,把x—P域改成x—󰀁p域,能使水文频率计算中的参数估计、绘制频率分布、推求设计值、误差分析等均变得简洁明了。如理想样本系列还原统计参数一直作为评价参数估计方法优劣的标准,在给定统计参数的P-Ⅲ型分布频率曲线上读取的数据,再由这些数据组成的理想系列率定参数,这本身就是一个自我还原、自我验证的问题。由表1可见,在x—P域上各种传统参数估计方法均还原不出理想系列的“真值”,当改成x—󰀁p

域,“真值”立刻浮出水面。5.3　关于海森机率格纸

尽管本文提出的频率计算方法没有使用机率格纸,事实上Excel在绘制海森机率格纸以及在

其上标注频率点据和绘制频率曲线方面有其独到之处。取P0为坐标原点,用下式将频率P的直角坐标即可转换成海森机率格纸的横坐标D:

D=-NORMSINV(P0)+NORMSINV(P)(16)

用式(16)对频率P进行转换,能方便地把水文变量的经验频率点据和理论频率曲线绘制在海森机率格纸上,但由于Excel图表中刻度网格线只能是等间距的,如果绘制横向疏密不等的网格线,需要在图表“数据源”的“系列”中增加网格线系列,并用“文本框”加注相应的频率标识,此处不再赘述。参考文献:

[1]　刘光文.皮尔逊Ⅲ型分布参数估计[J].水文,1990,

(4):1-15

[2]　金光炎.水文统计原理与方法[M].北京:中国工业

出版社,1964.

[3]　谭维炎,张维然等.水文统计常用图表[M].北京:

水利出版社,1982.

[4]　耿鸿江.工程水文及水利计算[M].北京:水利水电

出版社,2001.

StudyandApplicationofExcelinP-ⅢDistribution

FrequencyCalculation

GENGHong-jiang

(YunnanWaterConservancy&HydroelectricPowerCollege,Kunming650202,China)

Abstract:AnewmethodusingExceltocalculatecoefficient󰀁p,makeparameterestimation,predictdesignvaluesanddrawprobabilitydiagraminP-Ⅲdistributionfrequencycalculation,ispresentedinthispaper.Practiceshowsthatthismethodisaccurate,convenientfastandmormalized,andhasbetterpracticalvalues.

Keywords:P-Ⅲprobabilitydistribution;parameterestimation;probabilitydiagram;frequencycalculation

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