2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
学习目标 1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
知识点一 n次方根、n次根式
思考 若x2
＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？ 答案 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±3. 梳理 (1)a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
. (2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 na a∈R n为偶数 ±na [0，＋∞) (3)根式
式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二 根式的性质 (1)n0＝0(n∈N*
，且n>1)； (2)(na)n＝a(n∈N*
，且n>1)； (3)nan＝a(n为大于1的奇数)； (4)nan＝|a|＝
a，a≥0，
－(n为大于1的偶数)．
a，a<0，
1．当a≥0时，na表示一个数．( √ ) 2．实数a的n次方根有且只有一个．( × ) 3．当n为偶数，a≥0时，na≥0.( √ )
1
nnn4.a＝n.( × )
a
类型一 根式的意义 例1 求使等式
a－a2－＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．
考点 n次方根及根式概念 题点 根式化简中变量的取值范围 解
a－a2－
＝a－
2a＋
＝|a－3|a＋3，
要使|a－3|a＋3＝(3－a)a＋3成立，
a－3≤0，需a＋3≥0，
解得a∈[－3,3]．
反思与感悟 对于a，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要a有意义，a必不为负．
跟踪训练1 若a－2a＋1＝a－1，求a的取值范围． 考点 n次方根及根式概念 题点 根式化简中变量的取值范围 解 ∵a－2a＋1＝|a－1|＝a－1， ∴a－1≥0，∴a≥1.
类型二 利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1)(2)4
2
2
nnn－π
4
；
a－b2
2
(a>b)；
－a2
(3)(a－1)＋考点 根式的化简
＋
3
－a3
.
题点 根据根式的意义进行化简 解 (1)(2)4
－π
2
4＝|3－π|＝π－3.
a－b＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
nnnn反思与感悟 n为奇数时n＝a＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，n才有
aa
2
意义，且nan
＝a；
而a为任意实数nan均有意义，且nan＝|a|. 跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7
－
7；
(2)4
a－
4(a≤1)；
(3)3
a3
＋
4
－a4
.
考点 根式的化简
题点 根据根式的意义进行化简 解 (1)7
－
7
＝－2.
(2)4
a－
4
＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)3
a3
＋
4
－a4
＝a＋|1－a|＝
1，a≤1，2a－1，a>1.
类型三 有限制条件的根式的化简
例3 设－3 ＋6x＋9的值． 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 解 原式＝x－ 2 －x＋ 2 ＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3 －2x－2，－3 －4，1≤x<3. 引申探究 例3中，若将“－3 2＝|x－1|－|x＋3|. ∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0， ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. 反思与感悟 当n为偶数时，nan先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号． 3 4 6 跟踪训练3 已知x∈[1,2]，化简(x－1)4 ＋考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 1 解析 ∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0， ∴(4 x－1)4 ＋6 x2－4x＋ 3 ＝x－1＋ 6 x－6 ＝x－1－(x－2) ＝1. 1．已知x5 ＝6，则x等于( ) A.6B.5 6C．－5 6D．±5 6 考点 n次方根及根式概念 题点 n次方根及根式概念 答案 B 2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( A.4 m2B.3 mC.6 mD.5 －m 考点 n次方根及根式概念 题点 n次方根及根式概念 答案 C 3．(4 2)4 运算的结果是( ) A．2B．－2C．±2D．不确定 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 答案 A 4.3 －8的值是________． 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 答案 －2 x2－4x＋ 3 ＝________. ) 4 5.a－b2 ＋ 5 a－b5 的值是________． 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 答案 0或2(a－b) 解析 1．根式的概念：如果x＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N.n为奇数时，x＝a，n为偶数时，x＝±a(a>0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2．掌握两个公式：(1)(a)＝a；(2)n为奇数，a＝a，n为偶数，annnnnnn* a－b2 ＋5 a－b5 0，a≤b， ＝|a－b|＋(a－b)＝ a－b，a>b. nna，a≥0， ＝|a|＝ －a，a<0. 3．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况. 一、选择题 1．已知m＝2，则m等于( ) A.2B．－2C.2D．±2 考点 n次方根及根式概念 题点 n次方根及根式概念 答案 D 解析 ∵m＝2，∴m是2的10次方根． 又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m＝±2.故选D. 2．化简A．1－2x C．2x－1 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 C 解析 －2x2 10 10 10 10 10 10 10 －2x2 (2x>1)的结果是( ) B．0 D．(1－2x) 2 ＝|1－2x|， ∵2x>1，∴1－2x<0， 5 ∴|1－2x|＝－(1－2x)＝2x－1. 3 3．化简－8 125 的值是( ) A.25 B．－25 C．±25 D．－35 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 答案 B 3 3 解析 －8125 ＝－23 ＝－255. 4．化简 －1＋2－4等于( ) A．e－e－1 B．e－1 －e C．e＋e－1 D．0 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 答案 A 解析 －1 ＋ 2 －4＝e－2＋2e－1e＋e2 －4 ＝e－2 －2＋e2 ＝－1 － 2 ＝|e－1 －e|＝e－e－1 . 5．若2 D．－1 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 C 解析 ∵2 －a2 ＋ 4 －a4 ＝|2－a|＋|3－a| ＝a－2＋3－a＝1. 6．5－26的平方根是( ) ) 6 A.3＋2 B.3－2 C.2－3 D.3－2，2－3 考点 n次方根及根式概念 题点 n次方根及根式概念 答案 D 解析 ±5－26＝±3－26＋2＝±3－2 2 ＝±(3－2)． 7．化简－x3的值是( ) A．x－x B．－xx C．－x－x D．xx 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 答案 C 解析 要使－x3有意义，需－x3 ≥0，即x≤0. ∴－x3 ＝－xx2＝|x|－x＝－x－x. 8．已知二次函数f(x)＝ax2 ＋bx＋0.1的图象如图所示，则4 a－b4 的值为( A．a＋b B．－(a＋b) C．a－b D．b－a 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 D 解析 由图知f(－1)＝a－b＋0.1<0， ∴a－b<0. ∴ 4 a－b4 ＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a. 二、填空题 <0，则|x|－x2 ＋x29．若x|x| ＝________. 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 1 ) 7 解析 ∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋－x－x ＝－x＋x＋1＝1. 10.3－223＋22 ＝________. 考点 根式的化简 题点 二重根式的化简 答案 3－22 解析 方法一 3－22 2－2 2－1 3＋22 ＝2＋ 2 ＝2＋1 ＝ 2－2 2＋ 2－＝3－22. 3－2 方法二 22－223＋22 ＝＋22 －22 ＝3－22. 11．把a－1 a根号外的a移到根号内等于________． 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 答案 －－a 解析 要使－1 a有意义，需a<0. ∴a－1 a＝－|a| －1a ＝－|a|2 ·1－a ＝－－a. 12．化简3 －3 ＋4 5－ 4 ＋ 3 5－ 3 的值为______．考点 根式的化简 题点 二重根式的化简 答案 －6 解析 ∵ 3 － 3 ＝－6， 4 5－4 ＝|5－4|＝4－5， 3 5－ 3 ＝5－4， 8 ∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 三、解答题 1a＋13．设f(x)＝x－4，若0 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 1解 f a＋＝ a ＝ a＋12－4＝a a2＋2－2 a1 a－12＝a－1， aa a1因为0 故f a＋＝－a. a a四、探究与拓展 4 14．化简(1－a)·考点 根式的化简 1a－ 3 ＝________. 题点 根据根式的意义进行化简 答案 －a－1 解析 方法一 要使函数有意义需a－1>0. 44 (1－a) 1a－ 4 3＝－ －a4 ·1a－ 4 3 ＝－a－1. 1a－ 4 4 3 方法二 要使函数有意义需a－1>0，(1－a)＝(1－a) a－a－ 4 ＝ 1－aa－1 4 a－1 4 ＝－a－1. 15．计算： (1) 16－4－ 33 33 3＋0.125； 8 4 (2)3 ＋3－ 4 － 3 －3 3 ； 9 3 (3) 31 4 －43 ·(3＋1)＋(2015－2014)0. 考点 根式的化简 题点 根据根式的意义进行化简 解 (1)原式＝2533 1 4－278 ＋8 ＝53132－2＋2＝2 . (2)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋3 ＝－8. (3)原式＝ 31 4 －4 ·(3＋1)＋1 ＝1 2(3－1)·(3＋1)＋1 ＝1 2(3－1)＋1＝1＋1＝2. 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容