《线性代数B》模拟试卷六参考答案

一、选择题（每题4分，共24分）

x2x31x1211．设f(x)，则f(x)中x4的系数为（ D ）。

56x3011x6x (A) 12 ； (B) 2 ； (C) -2 ； (D) -12 。

x2x31x121解：先将f(x)化为各行各列只有一项含有x，然后再将这些

56x3011x6x含x的项移到主对角线上即可求出x4的系数；

x2x31x121r1r2f(x)56x3r4r3011x6x02x1x156551221r1r2x316x3x102x156552112x316x3所以x4的系数为：-12， 选（D）

2．关于矩阵的乘法，下列结论正确的是（ C ）。

(A) 若ABC且C有两列，则A有两列； (B) 若BCBD，则CD；

(C) 若A和B都是mn矩阵，则ABT和ATB都有意义； (D) 若AC0，则A0或C0。

提示：根据矩阵乘法的性质，选（C）

3．设A,B,C,D均为n阶方阵，则下列等式正确的是（ B ）。

(A) ABAB； (B) ABAB；

AAB(C)

CCDBD； (D) AA。

提示：根据方阵构成的行列式的性质，选（B）。

4．关于线性方程组，下列叙述正确的是（ A ）。

(A) 如果一个方程组有两个不同的解，则它必然有无穷多解；

(B) 如果增广矩阵A,b可以通过初等行变换变成行最简形，则方程组Axb有解；

第 1 页

(C) 含n个变量n个方程的线性方程组Axb至多只有n个不同的解； (D) 如果方程组Ax0有两个不同的解，则Axb(b0)也如此。

提示：根据线性方程组是否有解的判定，选（A）。

5．下列向量组中，（ C ）是线性无关的向量组。

1112(A) A:11,21,31,41；

1111142(B) B:12,25,31；

360111(C) C:10,21,31；

0010140(D) D:11,22,31,40。

5800 提示：利用向量组的线性相关性的判定，可知

选项（A）和选项（D）所含向量个数大于向量维数，故线性相关（也可求出其构成的矩阵的秩小于向量个数4）；

142选项（B），因为1，2，3251r12r2r3r1360205010，故选项（B）中的向量也线性0360相关。从而选（C）

6．设A为n阶矩阵，A*是其伴随方阵，则下列命题不正确的是（ B ）

(A) 若A可逆，则A*也可逆；

(B) 若A的秩为n1，则A*的秩为n1； (C) A*An1；

(D) 若A可逆，则(A1)*(A*)1。

R(A)nn 提示：因为当n2时，R(A*)1R(A)n1，故选（B）

0R(A)n1第 2 页

二、填空题（每空4分，共24分）

a7．设dgbehcghf5，则dagebhi2a2bifci - 10 ；

2ciar1r3f2dchecf2510 igh解：dagebh2a2bighr32fci2der2r32cabr2r1gh8．设(1,1,1)，(2,1,1)则(T)100 0 ；1解：因为T(2,1,1)(1,1,1)T(2,1,1)10， 100而(T)2(T)(T)T(T)0，所以(T)1000（或者000021009．设方阵A11000013，则A1 ； 00142100解：因为A110021120013为分快对角阵，而111211001411*31137141131314174341171， 141771001110021001200所以A113013004001477 01100770.50.5110．设A0.50.50，则矩阵A的秩为 3 ；111第 3 页

00）

01*11112

rr0.50.5112011110r22r1r2， 解法一：因为A0.50.50110011rr32111001001所以R(A)3

解法二：因为

0.50.51A0.50.50r1r30.51.500.50.5按c30.51.500.25(0.75)0.50 111111展开0.50.5所以矩阵A可逆，故R(A)3（可逆矩阵的秩等于其阶数）

11．设3阶方阵A有特征值1，则方阵A32A2A2E有特征值 0 ； 解：因为f(A)A32A2A2E，令f(x)x32x2x2，

因为A有特征值1，所以f(1)12(1)20是A32A2A2E的特征值。

12．设T(1,1,1),T(1,0,1)，则向量,的夹角为 。

解：因为[T,T]1010，所以与正交，故,的夹角为2。

三、计算下列各题（7小题，共52分）

111113．计算行列式D1111。（6分）

111111111111r2r111111111解：D1111r3r10202r3r20202 1111r4r1022000221111002200221111r4r30202002216

000442224214．设n阶行列式 Dn，Mij为aij的余子式，224第 4 页

计算 M11M12(1)1nM1n。(6分)

解：M11M12(1)1nM1n12A11A12A1n214212 41ri2r10i2,3,,n0120102n1 213515．已知 A121，求 A的逆矩阵。（6分）

244解法一：利用公式A11*A AAcEr11 (E,A)或者解法二：利用矩阵的初等变换：(A,E)EA13216273 答案：A111102101100103C，求未知矩阵X。16． 设A010，B010，C010，且AXB

001002101（6分）

101001100解：因为A0101，B0102，所以矩阵A、B均可逆，

002100101且A1010，B1010，

1001002第 5 页

101102100201100011010011010 010从而XA1CB10013010013010012212021 0121302x1x22x3x4017．解方程组 x12x24x3x40 （6分）

2x13x22x33x40解：原方程组的系数矩阵为：

112111211001r2r1r1r20120 A12410120r2rr5r313223230521008110011r3(8)010 r22r3410018x18x22所以原方程组的通解为：c,cR

1x38x418．问,取何值时，线性方程组

x1x2x3x41x2x32x41 2x3x(2)x4x323413x15x2x3(8)x45（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求出解。（12分）

解法一：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，

第 6 页

10[A,b]231111101121r2r313243r43r105185011111201000111 B011111121 121225210r3r2r42r200由此可知：

（1）当1时，R(A)R(A,b)4, 方程组有唯一解；………6分 （2）当1,0时，R(A)2,R(A,b)3，方程组无解；………7分

（3）当1,0时，R(A)R(A,b)24，方程组有无穷多个解；………8分

，并利用初等行变换将其化成行简化阶梯形矩阵， 将1,0代入矩阵B10B001111000012001101rr12000002111200000001 ………10分 00x12x3x4xx32x41即2，令x3c1,x4c2，得原方程组的通解为 x3x3xx44x1210x1212c1c2（c1R，c2R） ………12分 x3100x0104解法二：原方程组的系数行列式为：

10D23111112r32r1324r43r15181000111r3r211212r42r22251000111112(1)2

010001（1）当D0，即1时，R(A)R(A,b)4, 方程组有唯一解； （2）当D0，即1时，原方程组无解或有无穷多解；

第 7 页

此时原方程组的增广矩阵为：

10[A,b]2311113151111021r2r3143r43r107501111101121rr321121r42r202242r1r200211120000000101当0时，R(A)2,R(A,b)3，方程组无解； ○

2当0时，R(A)R(A,b)24，方程组有无穷多个解； ○

x12x3x4x2x32x41此时，令x3c1,x4c2，得原方程组的通解为

xx33xx44x1210x1212c1c2（c1R，c2R） x3100x010432419．设A262，求一正交矩阵Q，使得QTAQ，其中为对角阵。（10分）

4233解：AE22624422c3c134r1r3706204 1(7)[(6)(1)8](7)(2514)(7)2(2) ………２分 令AE0，得特征值127，32。 ………３分

rrx1142431212r1(2)，取p0，则px对127，因为A7E212000122r2r11424000x3x1x312xx2x0123满足，即x24x3，取p24 ………５分

x1x30xx133rrrr3524131412101r22r1r29021 对32，因为A2E282000r4rr2r31124250189000第 8 页

2则32对应的线性无关的特征向量可取为：p31； ………６分

21213232p22p1将p1，p2，p3单位化，得q110，q22，q3………８分

3p2p113122323因此，正交矩阵可取为：Qq1,q2,q3，对角阵为：Diag[7,7,2]。 第 9 页

………９分 ………1０分