巴青县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

巴青县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知an=

*

（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）

A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30

2． 若f（x）为定义在区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①f（x）=A．4

，②f（x）=

C．2

，③f（x）=D．1

，④f（x）=

．

B．3

3． 定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m

（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（ ） A．

4． 将函数f(x)2sin( B．

C．

D．

x)的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g(x)的图象， 364则g(x)的解析式为（ ）

xx)3 B．g(x)2sin()3 3434xxC．g(x)2sin()3 D．g(x)2sin()3

312312A．g(x)2sin(【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.

1x2,x1,315． 若函数f(x)则函数yf(x)x的零点个数为（ ）

32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4 6． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I（A∩B）等于（ ）

A．{3，4} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅

7． 直线l将圆x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是（ ） A．x﹣y+1=0，2x﹣y=0 B．x﹣y﹣1=0，x﹣2y=0

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C．x+y+1=0，2x+y=0 D．x﹣y+1=0，x+2y=0

8． 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ） A.1 6 B. 1 C. 1 3 D. 43

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 510159． 函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（ ）

A． B． C．

D．

10．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

211．方程x11y1表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B． 两个半圆 C．两个圆 D．半圆 12．若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线： xy110和l2：xy10上移动，则AB中点M所在直线方程为（ ）

A．xy60 B．xy60 C．xy60 D．xy60

二、填空题

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13．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于 ． 14．经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为 ．

15．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ． 16．若执行如图3所示的框图，输入

，则输出的数等于 。 x1x0 ，若函数y=f（f（x）17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）={exx22x1(x0)﹣a）﹣1有三个零点，则a的取值范围是_____．

18．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APECPE，点H是线段ED的中 点.

（1）证明：A、E、F、D四点共圆； （2）证明：PFPBPC.

2

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20．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜（Ⅰ）求函数f（x）的解析式

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=的面积．

，b=

，求△ABC

）的部分图象如图所示

21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB的中点．

（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1； （II）求证：EF∥平面B1BCC1； （III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．

，E，F分别是A1C1，

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22．（本题满分12分）设向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=

，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．

1，a2，求ABC面积的最大值. 2（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长； （2）若∠BPC=

，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．

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24．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数fxaxlnx，

212451xxlnx，f2xx22ax，aR 6392（1）求证：函数fx在点e,fe处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； f1x（2）若fxf2x在区间1,上恒成立，求a的取值范围； （3）当a2时，求证：在区间0,上，满足f1xgxf2x恒成立的函数gx有无穷多个．（记3ln51.61,ln61.79）

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巴青县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C 【解析】解：an=

图象如图， ∵9＜

＜10．

=1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C．

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象， 是基础题．

2． 【答案】C

【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1）， 总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），

等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数）， ①f（x）=②f（x）=③f（x）=＜0恒成立，

故③不为“上进”函数； ④f（x）=

的导数f′（x）=

，f″（x）=

，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．

的导数f′（x）=的导数f′（x）=

，f″（x）=，f″（x）=﹣•

，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ＜0恒成立，故②不为“上进”函数；

，f″（x）=

的导数f′（x）=

故④为“上进”函数． 故选C．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．

3． 【答案】C

【解析】解：由定义的行列式运算，得

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=

==

=．

将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后， 所得图象对应的函数解析式为由该函数为奇函数，得所以

当k=0时，m有最小值故选C．

【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．

4． 【答案】B

，则m=．

，

．

．

个单位得到函数f(x)的图

44象，再将f(x)的图象向上平移3个单位得到函数f(x)3的图象，因此g(x)f(x)3

【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将f(x)的图象向左平移

4441x2sin[(x)]32sin()3.

346345． 【答案】D 【

解

析

】

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考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

6． 【答案】B 【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}， ∴A∩B={3，4}，

∵全集I={1，2，3，4，5，6}， ∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}， 故选B． 转化．

7． 【答案】C 线l将圆 的斜率为﹣1， 故选：C．

，直

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价

2222

【解析】解：圆x+y﹣2x+4y=0化为：圆（x﹣1）+（y+2）=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为

x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线∴直线l的方程是：y+2=﹣（x﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．

8． 【答案】D 【

解

析

】

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9． 【答案】B

【解析】解：根据选项可知a≤0

|b|

∴2=16，b=4

a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，

故选B．

【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．

10．【答案】B

【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到， 这三个事件是相互独立的， 第一次不被抽到的概率为， 第二次不被抽到的概率为， 第三次被抽到的概率是，

∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是故选B．

=，

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11．【答案】A 【解析】

试题分析：由方程x11y1，两边平方得x1(1y1)2，即(x1)2(y1)21，所

222以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程. 12．【答案】D 【解析】

考

点：直线方程

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行， ∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=， 经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去 故答案为：．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．

14．【答案】 x=﹣3 ．

【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．

故答案为：x=﹣3．

15．【答案】 x﹣y﹣2=0 ．

【解析】解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），

所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，

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故答案为x﹣y﹣2=0．

【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．

16．【答案】

【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则

17．【答案】[1，3）3

【解析】当x＜0时，由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，

。

1e1e当x≥0时，由f（x）﹣1=0得

x110，得x=0， ex

由，y=f（f（x）﹣a）﹣1=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=﹣2， 即f（x）=a，f（x）=a﹣2， 作出函数f（x）的图象如图：

x

1≥1（x≥0）， xe1xy′=x，当x∈（0，1）时，y′＞0，函数是增函数，x∈（1，+∞）时，y′＜0，函数是减函数，

e1x=1时，函数取得最大值：1，

e11当1＜a﹣21时，即a∈（3，3+）时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有4个零点，

ee11当a﹣2=1+时，即a=3+时则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点，

eey=

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1时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有1个零点 e1当a=1+时，则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点，

e1a11当{e 时，即a∈（1+，3）时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点．

ea21当a＞3+

综上a∈[1，3）3，函数有3个零点． 故答案为：[1，3）3．

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 18．【答案】 50π ．

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，

所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：， 所以球的半径为：故答案为：50π．

；则这个球的表面积是：

=50π．

1e1e1e1e【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．

三、解答题

19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【

解

析

】

11

11]

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试题解析：解：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴BAPC，APDCPE， ∴BAPAPDCCPE，

∵ADEBAPAPD,AEDCCPE ∴ADEAED，即ADE是等腰三角形

又点H是线段ED的中点，∴ AH是线段ED垂直平分线，即AHED

又由APECPE可知PH是线段AF的垂直平分线，∴AF与ED互相垂直且平分， ∴四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆. （5分） （2由割线定理得PAPBPC，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，

22∴PAPF，从而PFPBPC （10分）

考点：与圆有关的比例线段． 20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（∴ω=又x=

=2， 时，2×

， ，

）…6分

）=，

+φ=

+2kπ，得φ=2kπ﹣

，（k∈Z） ﹣

）=π，

又∵|φ|＜∴φ=﹣

∴f（x）=sin（2x﹣

（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣∵a＜c， ∴A为锐角， ∴2A﹣∴2A﹣

∈（﹣=

，

）， ，

，得A=

2222

由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA，可得：7=3+c﹣22

，即：c﹣3c﹣4=0，

∵c＞0，∴解得c=4． ∴△ABC的面积S=bcsinA=

=

…12分

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【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．

21．【答案】

【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 所以，BB1⊥BC．

，AB⊥BC

．

．

又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B， 所以，BC⊥平面A1ABB1． 因为BC⊂平面BCE，

所以，平面BCE⊥平面A1ABB1． 因为E，F分别是A1C1，AB的中点， 所以，FD∥AC且

．

（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．

因为AC∥A1C1且AC=A1C1， 所以，FD∥EC1且 FD=EC1． 所以，四边形FDC1E是平行四边形． 所以，EF∥C1D．

又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1， 所以，EF∥平面B1BCC1． （III）解：因为所以，

过点B作BG⊥AC于点G，则

因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1 所以，平面A1ACC1⊥底面ABC． 所以，BG⊥平面A1ACC1． 所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积

．

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【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

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23．【答案】

【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2， ∴∠PCB=∵∠ACB=

，PC=

，

，

=5，

，∴∠ACP=

222

在△PAC中，由余弦定理得：PA=AC+PC﹣2AC•PC•cos

整理得：PA=；

，∠PCB=θ，

（2）在△PBC中，∠BPC=∴∠PBC=

﹣θ，

=sin（

由正弦定理得：∴PB=

sinθ，PC=

=﹣θ），

=．

sin（

，

∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin则当θ=

时，△PBC面积的最大值为

﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

24．【答案】（1）切线恒过定点e111,．（2） a的范围是, （3） 在区间1,上，满足

2222f1xgxf2x恒成立函数gx有无穷多个

11ee12aex，故过定点,；2e222【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为y试题解析：

11，所以fx在点e,fe处的切线的斜率为k2ae， xe1所以fx在点e,fe处的切线方程为y2aexeae21，

e11ee1整理得y2aex，所以切线恒过定点,．

2e222（1）因为fx2ax第 17 页，共 18 页

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12x2axlnx0，对x1,恒成立， 222a1x112a1x2ax1x1*

因为px2a1x2axxx1令px0，得极值点x11，x2，

2a111①当a1时，有x2x11，即a1时，在x2,上有px0，

22此时px在区间x2,上是增函数，并且在该区间上有pxpx2,，不合题意；

（2）令pxfxf2xa②当a1时，有x2x11，同理可知，px在区间1,上，有pxp1,，也不合题意； ③当a从而px在区间1,上是减函数；

1时，有2a10，此时在区间1,上恒有px0， 2110a， 22要使px0在此区间上恒成立，只须满足p1a所以11a． 22综上可知a的范围是11,． 22（利用参数分离得正确答案扣2分）

21245124时，f1xxxlnx，f2xxx 363923125记yf2xf1xxlnx，x1,．

392x56x25因为y， 39x9x5令y0，得x

655所以yf2xf1x在0,6,上为增函数， 为减函数，在6（3）当a559时，ymin

18065901，则f1xRxf2x， 设Rxf1x180所以在区间1,上，满足f1xgxf2x恒成立函数gx有无穷多个

所以当x

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