2020-2021学年人教新版九年级上册数学《第24章 圆》单元测
试卷
一．选择题
1．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（ ） A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．20cm
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
3．AB是⊙O的直径，如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在⊙O上．若∠BCD＝36°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．64°
4．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 1 / 26
D．4米
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5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
7．如图，E在⊙O上，B、C分别是弧AD的三等分点，∠AOB＝40°，则∠AED度数是（ ）
A．80° B．60° C．50° 2 / 26
D．40°
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8．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（ ）
A．2 B．4﹣ C． D． ﹣
10．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为⊥AC于M，则DM的长为（ ）
的中点，DM
A． B． C．1 D．
二．填空题
11．如图，在5×5的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均1．以点O为圆心，5为半径画圆，共经过图中 个格点（包括图中网格边界上的点）．
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12．若一个正方形的半径是3，则这个正方形的边长是 ．
13．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是一点，则∠EPF的度数是 ．
上
14．“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 ，它是 （填写“真“或“假“） 命题；用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设 ．15．平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣3，2），则△ABC的外心的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1
是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；AA3为半径的圆弧，弧A3A4是以点A为圆心，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2021的坐标是 ．
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17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
18．将一个长为4，宽为3的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，问：得到圆柱体的表面积是 （表面积包括上下底面和侧面，结果保留π．）
19．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为 ．
20．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ． 三．解答题
21．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
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22．如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AC＝BD，试说明：AB＝CD．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动． （1）2秒时，△MCN的面积是 ； （2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2； （3）试说明△MCN外接圆的半径能否是
cm．
24．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC． （1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
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25．已知AB是⊙O的直径，C是圆外一点，直线CA交⊙O于点D，B、D不重合，AE平分∠CAB交⊙O于点E，过E作EF⊥CA，垂足为F． （1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若EF＝2AF，⊙O的直径为10，求AD．
26．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E． （1）求证：△ABC≌△EDB；
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（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
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参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵⊙O的半径是5cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm， 故选：B．
2．解：连接OC，如图， ∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝2，
在Rt△OCE中，∵OC＝3，CE＝2， ∴OE＝
＝，
∴AE＝OA+OE＝3+故选：B．
．
3．解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BCD＝36°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝54°．
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故选：C．
4．解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D， 由题意得，AB＝8，CD＝2， ∵OC⊥AB， ∴AC＝AB＝4，
设圆的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米，
由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42， 解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米， 故选：C．
5．解：延长BO交⊙O于E，连接CE， 则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°， 即CE⊥BC，
∵∠AOD+∠BOC＝180°， ∴∠AOD＝∠COE， ∴
＝
，
∴AD＝CE＝2， ∵BC＝6，
∴△BEC的面积为BC•CE＝×6×2＝6，
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∵OB＝OE，
∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，
故选：A．
6．解：根据题意，重物的高度为故选：D．
7．解：∵B、C分别是弧AD的三等分点， ∴
＝
＝
，
＝4π（cm）．
∴∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝40°， ∴∠AOD＝3×40°＝120°， ∴∠AED＝∠AOD＝60°，
故选：B．
8．解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝∴OA＜OB， ∴点B在圆外， 故选：B．
9．解：连接AC交EF于M，连接OF，
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，
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∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝
AD＝4
， ，
∴OA＝OC＝2
∵△AEF是等边三角形， ∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，
∴OM＝OF＝，
∴CM＝，
∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°， ∴∠CGM＝45°，
∴△CGH是等腰直角三角形， ∴GH＝2CM＝2故选：A．
．
10．解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．
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∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝
＝6，
∵＝，
∴OD⊥AB，
∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°， ∴△AOH∽△ACB，
∴＝＝
∴＝＝
∴OH＝，AH＝，
∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，
∵DM⊥AC，
∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO， ∴△DMH∽△AOH，
∴＝，
∴＝，
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∴DM＝1， 故选：C． 二．填空题
11．解：如图，⊙O共经过图中 4个格点
故答案为4．
12．解：∵正方形ABCD的半径是3， ∴OB＝OC＝3，∠BOC＝
＝90°，
∴BC＝＝＝3，
故答案为：3．
13．解：连接OE、OF，如图， ∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
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∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠BEO＝∠BFO＝90°， ∴∠B+∠EOF＝180°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠EPF＝∠EOF＝60°． 故答案为60°．
14．解：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题；
用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角“第一步应假设：一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，真，一个三角形中有两个角是直角． 15．解：如图，作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P， 则P点为△ABC的外心，
所以△ABC的外心的坐标为（0，3）． 故答案为（0，3）．
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16．解：A（1，1），
由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5）， A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．
∵2021＝505×4+1，
∴A2021的坐标为（2022，0）． 故答案为：（2022，0）． 17．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6， ∴∠BAC＝60°，BC＝6∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°， ∵AB＝2AC＝12，AC＝AD， ∴AD＝BD＝6，
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，
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∴S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE＝××6×故答案为9
﹣3π．
﹣＝9﹣3π．
18．解：情况①：绕4cm的边所在的直线旋转时， π×3×2×4+π×32×2 ＝24π+18π ＝42π（cm2）；
情况②：绕3cm的边所在的直线旋转时， π×4×2×3+π×42×2 ＝24π+32π ＝56π（cm2）． 故答案为42π或56π．
19．解：连接OM，延长MO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OMB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′CD′，
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∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4， ∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3， ∴B′H＝OM＝3， ∴CH＝B′C﹣B′H＝1， ∴CG＝B′M＝OH＝
＝2
，
∵四边形MB′CG是矩形， ∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′， ∴CN＝2CG＝4故答案为：4
， ．
20．解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE， 则OE⊥AD， ∴OE∥CD， ∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴＝，
∴AO＝，
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF， 则OF⊥BC，
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∴OF∥AB， ∴△COF∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝，
∴AO＝，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜
，
＜AO
故答案为：＜AO＜．
三．解答题
21．解：连接OC，如图， ∵CD⊥AB，
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∴CE＝DE， ∵EB＝9，AE＝1， ∴AB＝10，OC＝OA＝5， ∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝
＝3，
∴CD＝2CE＝6．
22．证明：∵AC＝BD， ∴∴
＝﹣
， ＝
﹣
，即
＝
，
∴AB＝CD．
23．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC＝
＝8，
根据题意得，AN＝4，CM＝2， ∴CN＝4，
∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）； 故答案为4cm2； （2）设经过x秒，
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根据题意得，（8﹣2x）•x＝3，
解得x1＝1，x2＝3；
即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2； （3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°， ∴MN为△MCN外接圆的直径， 假设△MCN外接圆的半径为
cm，则MN＝2
cm，
设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t， 根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2整理得5t2﹣32t+52＝0，
∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0， ∴原方程没有实数解， ∴△MCN外接圆的半径不能是
cm． ）2，
24．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆． ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°， ∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC， ∴△ABC是等边三角形．
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（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N． ∴∠AMD＝90°， ∵∠ADC＝120°， ∴∠ADM＝60°， ∴∠DAM＝30°， ∴DM＝AD＝1，AM＝∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4， ∴S△ACD＝CD•AM＝
＝＝，
×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°， ∴AC＝
＝
＝
，
∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝
，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝
×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
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∵∠ADC＝120°， ∴∠E＝60°， ∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAB＝∠BCD， 在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
25．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下： 连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠OAE， ∴∠CAE＝∠OEA，
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∴OE∥CD， ∵EF⊥CA， ∴OE⊥EF， ∴EF与⊙O相切；
（2）过O作OH⊥AD于H， ∵EF⊥CA，OE⊥EF， ∴四边形OEFH是矩形，
设AF＝x，则EF＝OH＝2x，AH＝5﹣x， 在Rt△OAH中，AH2+OH2＝OA2， ∴（5﹣x）2+（2x）2＝52， 解得x1＝2，x2＝0（舍去）， ∴AH＝5﹣2＝3， ∴AD＝2AH＝6．
26．解：（1）证明：连接CD，
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∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°， ∵∠E＝∠ACD， ∠E＝∠B． ∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴BC是⊙O的切线； （2）如图，
连接OD、CE， 若∠E＝45°， 则∠AOD＝90°， ∵AC＝4， ∴OA＝OD＝2， ∴AD＝2
．
．
∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为227．解：（1）∵DE⊥BC，
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∴∠DEB＝90°， ∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°， ∵∠ABC+∠CBD＝90°， ∴∠CBD+∠BDE＝90°， ∴∠ABC＝∠BDE， ∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）． （2）∵CD＝BD＝BC， ∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°， ∵AC＝3， ∴BC＝2AC＝6， ∴线段BC扫过的面积
＝6π．
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