2022年北京市海淀区北京一零一中学八下期中数学试卷
1. 下列各曲线中表示 𝑦 是 𝑥 的函数的是 ( )
A． B．
C． D．
2. 若点 𝑃(−1,3) 在函数 𝑦=𝑘𝑥 的图象上，则 𝑘 的值为 ( )
3. 如图，一次函数 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的图象经过点 (−1,0) 与 (0,2)，则关于 𝑥 的不等式 𝑘𝑥+𝑏>0 的解集是 ( ) A． −3
B． 3
C． 3
1
D． −3
1
A． 𝑥>−1 B． 𝑥<−1 C． 𝑥>2 D． 𝑥<2
4. 已知点 (−3,𝑦1)，(2,𝑦2) 都在直线 𝑦=2𝑥+1 上，则 𝑦1，𝑦2 的大小关系是 ( )
5. 已知 2 是关于 𝑥 的方程 3𝑥2−2𝑎=0 的一个解，则 𝑎 的值是 ( )
6. 如图，若 𝐷𝐸 是 △𝐴𝐵𝐶 的中位线，△𝐴𝐵𝐶 的周长为 1，则 △𝐴𝐷𝐸 的周长为 ( )
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
A． 𝑦1=𝑦2
B． 𝑦1<𝑦2
C． 𝑦1>𝑦2
D．不能确定
7. 若 𝑚<−1，则一次函数 𝑦=(𝑚+1)𝑥+𝑚−1 的图象不经过 ( )
8. 将矩形纸片 𝐴𝐵𝐶𝐷 按如图所示的方式折叠，𝐴𝐸，𝐸𝐹 为折痕，∠𝐵𝐴𝐸=30∘，𝐵𝐸=1，折叠后，点 𝐶 落在 𝐴𝐷 边上的 𝐶1 处，并且点 𝐵 落在 𝐸𝐶1 边上的 𝐵1 处．则 𝐸𝐶 的长为 ( ) A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A． 1
B． 2
C．
21
D．
4
1
A． √3
B． 2
C． 3
D． 2√3
9. 如图，平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的对角线 𝐴𝐶，𝐵𝐷 交于点 𝑂，𝐴𝐸 平分 ∠𝐵𝐴𝐷 交 𝐵𝐶 于点 𝐸，且 ∠𝐴𝐷𝐶=60∘，𝐴𝐵=2𝐵𝐶，连接 𝑂𝐸，下列结论： ① ∠𝐶𝐴𝐷=30∘；
② 𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶； ③ 𝑂𝐵=𝐴𝐵；
1
④ 𝑂𝐸=4𝐵𝐶， 成立的个数有 ( )
1
10. 如图 1，在矩形 𝑀𝑁𝑃𝑄 中，动点 𝑅 从点 𝑁 出发，沿着 𝑁→𝑃→𝑄→𝑀 方向运动至点 𝑀 处
停止，设点 𝑅 运动的路程为 𝑥，△𝑀𝑁𝑅 的面积为 𝑦，如果 𝑦 关于 𝑥 的函数图象如图 2 所示，则下列说法不正确的是 ( ) A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
11. 函数 𝑦=√𝑥+5 中自变量 𝑥 的取值范围是 ．
12. 若一元二次方程 𝑥2−2𝑥−𝑚=0 无实根，则 𝑚 的取值范围是 ．
13. 将函数 𝑦=2𝑥+1 的图象向上平移 2 个单位，所得的函数图象的解析式为 ．
14. 如图，等边三角形 𝐸𝐵𝐶 在正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 内，连接 𝐷𝐸，则 ∠𝐴𝐷𝐸= 度．
A．当 𝑥=2 时，𝑦=5 C．当 𝑥=6 时，𝑦=10
B．矩形 𝑀𝑁𝑃𝑄 的面积是 20 D．当 𝑦=
152
时，𝑥=10
15. 如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∠𝐵𝐴𝐷 的平分线 𝐴𝐸 交 𝐵𝐶 于点 𝐸，且 𝐵𝐸=3．若平行四边
形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的周长是 16，则 𝐸𝐶= ．
16. 根据如图所示的程序计算函数值，若输入 𝑥 的值为 2，则输出的 𝑦 值为 ．
3
17. 已知点 𝐴(2,−4)，直线 𝑦=−𝑥−2 与 𝑦 轴交于点 𝐵，在 𝑥 轴上存在一点 𝑃，使得 𝑃𝐴+𝑃𝐵
的值最小，则点 𝑃 的坐标为 ．
18. 正方形 𝐴1𝐵1𝐶1𝑂，𝐴2𝐵2𝐶2𝐶1，𝐴3𝐵3𝐶3𝐶2，⋯ 按如图所示的方式放置．点 𝐴1，𝐴2，𝐴3，⋯ 和点
𝐶1，𝐶2，𝐶3，⋯ 分别在直线 𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘>0) 和 𝑥 轴上，已知点 𝐵1(1,1)，𝐵2(3,2)，则点 𝐵3 的坐标是 ；点 𝐵2022 的坐标是 ．
19. 解一元二次方程：
(1) (2𝑥+1)2=9； (2) 𝑥2+4𝑥−2=0； (3) 𝑥2−6𝑥+12=0； (4) 3𝑥(2𝑥+1)=4𝑥+2．
3𝑚
20. 已知 𝑚 是方程 𝑥2−𝑥−3=0 的一个实数根，求代数式 (𝑚2−𝑚)(𝑚−
+1) 的值．
21. 已知直线 𝑙1 的函数解析式为 𝑦=𝑥+1，且 𝑙1 与 𝑥 轴交于点 𝐴，直线 𝑙2 经过点 𝐵，𝐷，直线
𝑙1，𝑙2 交于点 𝐶．
(1) 求点 𝐴 的坐标； (2) 求直线 𝑙2 的解析式； (3) 求 𝑆△𝐴𝐵𝐶 的面积．
22. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷 是 𝐵𝐶 边的中点，点 𝐸，𝐹 分别在 𝐴𝐷 及其延长线上，且
𝐶𝐸∥𝐵𝐹，连接 𝐵𝐸，𝐶𝐹．
(1) 求证：四边形 𝐸𝐵𝐹𝐶 是菱形；
(2) 若 𝐵𝐷=4，𝐵𝐸=5，求四边形 𝐸𝐵𝐹𝐶 的面积．
23. 已知关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2+(𝑚+1)𝑥+𝑚=0．
(1) 求证：无论 𝑚 为何值，方程总有两个实数根；
(2) 若 𝑥 为方程的一个根，且满足 0<𝑥<3，求整数 𝑚 的值．
24. 某游乐场普通门票价格 40 元/张，为了促销，新推出两种办卡方式：
①白金卡售价 200 元/张，每次凭卡另收取 20 元； ②钻石卡售价 1000 元/张，每次凭卡不再收费．
促销期间普通门票正常出售，两种优惠卡不限次数，设去游乐场玩 𝑥 次时，所需总费用为 𝑦 元．
(1) 分别写出选择白金卡、普通门票消费时，𝑦 与 𝑥 之间的函数关系式．
(2) 在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 𝐵，𝐶 的坐标． (3) 请根据图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
25. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，点 𝑃 的坐标为 (𝑥1,𝑦1)，点 𝑄 的坐标为 (𝑥2,𝑦2)，且 𝑥1≠𝑥2，
𝑦1≠𝑦2．若 𝑃，𝑄 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 𝑃，𝑄 的“相关矩形”，下图①为点 𝑃，𝑄 的“相关矩形”的示意图．已知点 𝐴 的坐标为 (1,0)．
(1) 若点 𝐵 的坐标为 (3,1)，求点 𝐴，𝐵 的“相关矩形”的面积；
(2) 点 𝐶 在直线 𝑥=3 上，若点 𝐴，𝐶 的“相关矩形”为正方形，求直线 𝐴𝐶 的表达式； (3) 若点 𝐷 的坐标为 (4,2)，将直线 𝑦=2𝑥+𝑏 平移，当它与点 𝐴，𝐷 的“相关矩形”没有公共
点时，求出 𝑏 的取值范围．
26. 在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=2，点 𝑃 是边 𝐵𝐶 上一点（点 𝑃 不与点 𝐵，点 𝐶 重合），点
𝐶 关于直线 𝐴𝑃 的对称点为 𝐶ʹ． (1) 如果 𝐶ʹ 落在线段 𝐴𝐵 的延长线上．
①在图①中补全图形； ②求线段 𝐵𝑃 的长度；
(2) 如图②，设直线 𝐴𝑃 与 𝐶𝐶ʹ 的交点为 𝑀，求证：𝐵𝑀⊥𝐷𝑀．
答案
1. 【答案】D
2. 【答案】A
【解析】 ∵ 点 𝑃(−1,3) 在函数 𝑦=𝑘𝑥 的图象上， ∴3=−𝑘， ∴𝑘=−3．
3. 【答案】A
4. 【答案】B
【解析】 ∵ 点 (−3,𝑦1) 和 (2,𝑦2) 都在直线 𝑦=2𝑥+1 上， ∴𝑦1=2×(−3)+1=−5，𝑦2=2×2+1=5， ∴𝑦1<𝑦2．
5. 【答案】D
【解析】把 𝑥=2 代入方程 3𝑥2−2𝑎=0 得 3×4−2𝑎=0，解得 𝑎=6．
6. 【答案】C
【解析】 ∵𝐷𝐸 是 △𝐴𝐵𝐶 的中位线，△𝐴𝐵𝐶 的周长为 1， ∴𝐷𝐸=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐴𝐶，
2
2
2
1
1
1
∴△𝐴𝐷𝐸 的周长为 2．
7. 【答案】A
【解析】当 𝑚<−1 时，𝑚+1<0，𝑚−1<−2， 一次函数 𝑦=(𝑚+1)𝑥+𝑚−1 的图象不经过第一象限．
8. 【答案】B
【解析】 ∵ 矩形纸片 𝐴𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐸=30∘，
∴𝐴𝐸=2𝐵𝐸=2×1=2，∠𝐴𝐸𝐵=90∘−∠𝐵𝐴𝐸=90∘−30∘=60∘， ∵𝐴𝐵 沿 𝐴𝐸 翻折点 𝐵 落在 𝐸𝐶1 边上的 𝐵1 处， ∴∠𝐴𝐸𝐵1=∠𝐴𝐸𝐵=60∘， ∵ 矩形对边 𝐴𝐷∥𝐵𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐶1=∠𝐴𝐸𝐵1=60∘， ∴△𝐴𝐸𝐶1 是等边三角形， ∴𝐸𝐶1=𝐴𝐸=2，
∵𝐸𝐶 沿 𝐵𝐹 翻折点 𝐶 落在 𝐴𝐷 边上的 𝐶1 处， ∴𝐸𝐶=𝐸𝐶1=2．
1
9. 【答案】C
【解析】 ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=60∘，∠𝐵𝐴𝐷=120∘， ∵𝐴𝐸 平分 ∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐷=60∘， ∴△𝐴𝐵𝐸 是等边三角形， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐵𝐸， ∵𝐴𝐵=2𝐵𝐶， ∴𝐴𝐸=2𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐶=90∘，
∴∠𝐶𝐴𝐷=30∘，故①正确； ∵𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，
∴𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，故②正确； ∵𝐴𝐵=2𝐵𝐶，𝑂𝐵=2𝐵𝐷，且 𝐵𝐷>𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵<𝑂𝐵，故③错误； ∵𝐶𝐸=𝐵𝐸，𝐶𝑂=𝑂𝐴， ∴𝑂𝐸=𝐴𝐵，
21411
1
11
∴𝑂𝐸=𝐵𝐶，故④正确．
10. 【答案】D
11. 【答案】 𝑥≥−5
【解析】根据题意得：𝑥+5≥0，解得 𝑥≥−5．
12. 【答案】 𝑚<−1
【解析】 ∵ 关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2−2𝑥−𝑚=0 无实根， ∴𝛥=(−2)2−4×1×(−𝑚)<0， 解得：𝑚<−1．
13. 【答案】 𝑦=2𝑥+3
【解析】由“上加下减”的原则可知，将函数 𝑦=2𝑥+1 的图象向上平移 2 个单位所得函数的解析式为 𝑦=2𝑥+3．
14. 【答案】 15
【解析】正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐵𝐶=𝐶𝐷，等边 △𝐵𝐶𝐸 中，𝐶𝐸=𝐵𝐶， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐸，
∵∠𝐷𝐶𝐸=90∘−60∘=30∘， ∴∠𝐶𝐷𝐸=
180∘−30∘
2
=75∘．
∴∠𝐴𝐷𝐸=90∘−75∘=15∘．
15. 【答案】2
16. 【答案】
21
【解析】 𝑥=2 时，𝑦=−𝑥+2=−2+2=2．
17. 【答案】 (3,0)
【解析】作点 𝐵 关于 𝑥 轴的对称点 𝐵ʹ，连接 𝐴𝐵ʹ，交 𝑥 轴于 𝑃，连接 𝑃𝐵， 此时 𝑃𝐴+𝑃𝐵 的值最小．
设直线 𝐴𝐵ʹ 的解析式为 𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
𝑏=2,
把 𝐴(2,−4)，𝐵ʹ(0,2) 代入得到 {
2𝑘+𝑏=−4,𝑘=−3,解得 {
𝑏=2,
∴ 直线 𝐴𝐵ʹ 的解析式为 𝑦=−3𝑥+2， 令 𝑦=0，得到 𝑥=3， ∴𝑃(3,0)．
2
2
2
331
18. 【答案】 (7,4) ； (22022−1,22022)
【解析】 ∵𝐵1 的坐标为 (1,1)，点 𝐵2 的坐标为 (3,2)， ∴ 正方形 𝐴1𝐵1𝐶1𝑂1 边长为 1，正方形 𝐴2𝐵2𝐶2𝐶1 边长为 2， ∴𝐴1 的坐标是 (0,1)，𝐴2 的坐标是 (1,2)， 𝑏=1,𝑘=1,
代入 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 得 { 解得：{
𝑘+𝑏=2,𝑏=1,则直线的解析式是：𝑦=𝑥+1．
∵ 点 𝐵1 的坐标为 (1,1)，点 𝐵2 的坐标为 (3,2)， ∴ 点 𝐵3 的坐标为 (7,4)，⋯，
∴𝐵𝑛 的横坐标是 2𝑛−1，纵坐标是 2𝑛−1，𝐵𝑛 的坐标是 (2𝑛−1,2𝑛−1)． ∴𝐵2022 的坐标是 (22022−1,22022)．
19. 【答案】
(1) 2𝑥+1=±3,所以𝑥1=1,𝑥2=−2. 𝑥2+4𝑥
=2,(2)
𝑥2+(4𝑥+4=6.
𝑥+2)2
=6.所以𝑥1=−2+√6,𝑥2=−2−√6.
𝑥+2
=±√6.(3) 𝛥=(−6)2−4×1×12<0， 所以方程没有实数解．
3𝑥(2𝑥+1)−2(2𝑥+1)=0.
(4) (2𝑥+1)(3𝑥−2)=0.所以𝑥1=−1,𝑥2=22𝑥+1=0或3𝑥−2=0.23.
20. 【答案】 ∵𝑚 是方程 𝑥2−𝑥−3=0 的一个实数根，
∴𝑚2−𝑚−3=0， ∴𝑚2−𝑚=3，𝑚−1−3=0，即 𝑚−3𝑚
𝑚
=1，
∴(𝑚2−𝑚)(𝑚−3𝑚
+1)=3×(1+1)=6．
21. 【答案】
(1) 在 𝑦=𝑥+1 中，令 𝑦=0，则 𝑥=−1， ∴𝐴(−1,0)．
(2) 设直线 𝑙2 的解析式为 𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 则 {0=3𝑘+𝑏,𝑘=−2,−2=4𝑘+𝑏, 解得 {𝑏=6,
∴𝑦=−2𝑥+6．
𝑥=,𝑦=−2𝑥+6,3
(3) 解方程组 { 可得 {8 𝑦=𝑥+1,𝑦=,
3
5
∴𝐶(,)，
33
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×(3+1)×3=
22. 【答案】
(1) ∵𝐷 是 𝐵𝐶 边的中点， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷， ∵𝐶𝐸∥𝐵𝐹， ∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐸𝐶𝐷， 在 △𝐵𝐷𝐹 和 △𝐶𝐷𝐸 中， ∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐸𝐶𝐷, {𝐵𝐷=𝐶𝐷, ∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸,
∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐸(ASA)， ∴𝐶𝐸=𝐵𝐹， 又 ∵𝐶𝐸∥𝐵𝐹，
∴ 四边形 𝐵𝐹𝐶𝐸 是平行四边形； ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷 是 𝐵𝐶 的中点， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
又 ∵ 四边形 𝐵𝐹𝐶𝐸 是平行四边形， ∴ 四边形 𝐵𝐹𝐶𝐸 是菱形．
(2) 在 Rt△BDE 中，𝐵𝐸=5，𝐵𝐷=4， ∴𝐷𝐸=√52−42=3， ∵ 四边形 𝐵𝐸𝐶𝐹 是菱形， ∴𝐸𝐹=2𝐷𝐸=6，𝐵𝐶=2𝐵𝐷=8， ∴ 菱形 𝐵𝐸𝐶𝐹 的面积 =×6×8=24．
21
1
8
163
58
．
23. 【答案】
∵𝛥=(𝑚+1)2−4×1×𝑚
=𝑚2+2𝑚+1−4𝑚
(1) =𝑚2−2𝑚+1
=(𝑚−1)2≥0,
∴ 无论 𝑚 为何值，方程总有两个实数根．
(2) ∵(𝑥+1)(𝑥+𝑚)=0， ∴𝑥+1=0 或 𝑥+𝑚=0， 即 𝑥1=−1，𝑥2=−𝑚，
∵0<𝑥<3， ∴0<−𝑚<3， 解得：−3<𝑚<0， 则整数 𝑚 的值为 −2，−1．
24. 【答案】
(1) 根据题意可得：白金卡：𝑦=20𝑥+200． 普通门票：𝑦=40𝑥．
(2) 将 𝑦=40𝑥 代入 𝑦=200+20𝑥，得 40𝑥=200+20𝑥，解得 𝑥=10，把 𝑥=10 代入 𝑦=40𝑥，得 𝑦=400，
所以 𝐵(10,400)，把 𝑦=1000 代入 𝑦=200+20𝑥，得 1000=200+20𝑥，解得 𝑥=40，所以 𝐶(40,1000)．
(3) 当 0<𝑥<10 时，选普通门票； 当 𝑥=10 时，选普通门票或白金卡； 当 10<𝑥<40 时，选白金卡； 当 𝑥=40 时，选白金卡或钻石卡； 当 𝑥>40 时，选钻石卡．
25. 【答案】
(1) ∵𝐴(1,0)，𝐵(3,1)，
由定义可知：点 𝐴，𝐵 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， ∴ 点 𝐴，𝐵 的“相关矩形”的面积为 2×1=2．
(2) 由定义可知：𝐴𝐶 是点 𝐴，𝐶 的“相关矩形”的对角线， 又 ∵ 点 𝐴，𝐶 的“相关矩形”为正方形， ∴ 直线 𝐴𝐶 与 𝑥 轴的夹角为 45∘，
设直线 𝐴𝐶 的解析为：𝑦=𝑥+𝑚 或 𝑦=−𝑥+𝑛， 把 (1,0) 代入 𝑦=𝑥+𝑚， ∴𝑚=−1，
∴ 直线 𝐴𝐶 的解析为 𝑦=𝑥−1， 把 (1,0) 代入 𝑦=−𝑥+𝑛， ∴𝑛=1， ∴𝑦=−𝑥+1．
综上所述，若点 𝐴，𝐶 的“相关矩形”为正方形，直线 𝐴𝐶 的表达式为 𝑦=𝑥−1 或 𝑦=−𝑥+1．
(3) 把 𝐴(1,0)，𝐷(4,2) 分别代入 𝑦=2𝑥+𝑏±2，得出 𝑏=0 或 𝑏=−8， ∴𝑏>0 或 𝑏<−8．
26. 【答案】
(1) ①如图①所示：
②连接 𝐴𝐶，作 𝑃𝐻⊥𝐴𝐶 于 𝐻．则 △𝐴𝑃𝐵≌△𝐴𝑃𝐻， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐻=1，𝑃𝐵=𝑃𝐻，设 𝑃𝐵=𝑃𝐻=𝑥， ∵𝐴𝐶=√12+22=√5， ∴𝐶𝐻=√5−1，
在 Rt△PCH 中，𝑥2+(√5−1)=(2−𝑥)2， 解得 𝑥= ∴𝑃𝐵=
√5−1， 2
2
√5−1． 2
(2) 如图②中，连接 𝐴𝐶，𝐵𝐷 交于点 𝑂．连接 𝑂𝑀． ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷， ∵∠𝐴𝑀𝐶=90∘，
∴𝑂𝑀=𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷， ∴𝐴，𝐵，𝑀，𝐶，𝐷 五点共圆， ∵𝐵𝐷 是直径， ∴∠𝐵𝑀𝐷=90∘， ∴𝐵𝑀⊥𝐷𝑀．
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