【目标导航】
l．三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2．内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部．
3．内心是三角形三个角的平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等．
4．多边形的内切圆、圆的外切多边形：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 辨析： 名称 确定方法 图形 性质 外心 三角形三边（1）到三个顶点的距离相等； （三角形外接中垂线的交（2）外心不一定在三角形的内部． 圆的圆心） 点 内心 三角形三条（1）到三边的距离相等； （三角形内切角平分线的（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、圆的圆心） 交点 ∠ABC、∠ACB； （3）内心在三角形内部． 判断：（1）若O是△ABC的内心，则BO平分∠ABC． （ ）
（2）若O是△ABC的内心，∠BAC=100°，则∠OAC=50°． （ ） （3）若O是△ABC的内心，∠OAC=40°，则∠B+∠C=80°． （ ） （4）三角形的内心不一定在三角形的内部． （ ） （5）多边形的内切圆圆心到各边的距离相等． （ ） （6）三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形． （ ） 例2 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点O是内心，求∠BOC的度数．
操练一：如上图，在△ABC中，点O是内心，∠BOC=130°，则∠A
A= ． 操练二：如上图，在△ABC中，点O是内心，则∠BOC= ．（用∠A表示） O操练三：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，①若点O是内心，则∠BOC= ． B②若点O是外心，则∠BOC= ． C例3如图，已知⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，且AB=9cm，AEBC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．
F
O BDC
例4 如图，已知⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，试说明 （1）∠BIC＝90°＋
12∠BAC； （2）△ABC三边长分别为a、b、c，⊙I的半径r，则有S1△ABC＝
2r(a＋b＋c)； （3）△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求内切圆半径r的长．
（4）若∠ACB＝90°，且BC＝3，AC＝4，AB＝5，△ABC的内切圆圆心I与它的外接圆圆心的O距离．
C E D I BFO A
1．三角形的内心是三角形 的交点，它到三角形 的距离相等． 2．三角形的外心是三角形 的交点，它到三角形 的距离相等． 3．在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，①若点O是内心，则∠BOC= ． ②若点O是外心，则∠BOC= ．
4．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________,外接圆半径是 ．
5．∠A=90°，AB=8，AC=6，则△ABC外接圆半径R= ，内切圆半径r= ． 6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，内切圆半径为4，则△ABC周长= ． 7．△ABC内切圆半径为r，△ABC周长为l，则△ABC面积= ． 8．如图，⊙O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是___ ____．
A A A
DFE OI
OE
BCBFCBDC(第4题) (第8题) (第9题)
9．如图，已知⊙I是△ABC内切圆，F、D、E是切点，∠DIE=100°，
∠DIF=120°，则 A∠A= ．
10．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE＝68°，∠A= ． F IE
BC
D切线长定理
如图，把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． (1)写出右图中所有的垂直关系； A (2)写出右图中所有的全等三角形；
(3)写出右图中所有的等腰三角形； PDCOF 例1 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，BA和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
CA
OD 1 2 P
B
2．如图，过⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，F是劣弧AB上任一点，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PA=a，∠P=α ，求（1）△PED的周长；（2）求∠DOE的度数．
A
D
PO F E B
例3 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N，P．
求证：AB+CD=AD+BC． N C D
M P O ALB结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等．圆外切平行四边形是 ． 【课堂操练】
1．⊙O外切梯形ABCD，AD∥BC，周长为20，则梯形中位线长为 ．
2．已知⊙O半径为3cm，PO＝6cm，PA、PB切⊙O于A、B，则PA＝____，∠APB＝_____．
4．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为________． 5．如右图四边形ABCD边AB是⊙O直径，其余三边都与⊙O相切，若AB=12cm，四边形ABCD面积为90cm2，则CD= ．
6．已知：在△ABC中，BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm，BC、AC、 AB分别与⊙O切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长．
A
F
E
O BC
D
1． 如图PA、PB分别切圆O于A、B，PA＝6cm，∠APB=50°，则PB＝_____，∠OPB=_____． 2． 如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，
则△PCD的周长等于_________．
AHD AAOG DBE POOAO
PC CBBC
BPF (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 3． 如图PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=40°，则∠ACB=____． 4．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB= CD，内切圆与各边分别切于E、F、G、
H，若AD=2，BC=8，则⊙O的半径为=__ __． 5．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，∠ACB=α，则∠APB=____． 6．已知⊙O的半径为4cm，PO＝42cm，则过点P的⊙O的切线长为___ __，两切线的夹角为________．
7．已知四边形ABCD是圆的外切四边形，它的周长为48cm，且AB:BC:CD =3:2:5，则
AB= ，BC= ，CD= ，DA= ． 8．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=60°，AB＝43，求⊙O的半径．
A
3
O4 D 2 1 P
9．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是
切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，B求∠A的度数．
BA O
DECF
10．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，求证：∠ABO=
1∠APB. 2
OD
1 2 P
B
11．如图，△ABC外切于⊙O，BC＝14cm，切点分别为D、E、F，∠A=60°，BC=7，⊙O的 半径为3，求△ABC的周长． A FE
O
CBD
12．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，内切圆O与各边分别切于D、E、F． （1）求证：四边形OECF为正方形．（2）若AB=6，BC=4，求AC和⊙O的半径
BDOEFCAA
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容