北京市东城区初三数学一模试题含答案

数 学 试 卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 的相反数是 A. 2 B.

11 C.  D. -2 222.根据国家统计局的公布数据，2010年我国GDP的总量约为398 000亿元人民币. 将398 000 用科学记数法表示应为

A. 398×103 B. ×106 C. ×105 D. ×106 3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，则∠E等于 A . 30° B. 40° C. 60° D . 70°

4．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边的中点．若DE=2，则AB的长度是 A．6 B．5 C．4 D．3

5.甲、乙、丙、丁四名学生10次小测验成绩的平均数(单位：分)和方差如下表：人中成绩最稳定的是

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于

A．11

B．10

C．9

D．8

选 手 平均数 方差 甲 92 乙 92 丙 92 丁 92

则这四

7. 若从10~99这连续90个正整数中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等，则选出的 数其十位数字与个位数字的和为9的概率是 A．

1114 B. C. D. 90109458. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点.动点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停止．设点R运动的路程为x，

R从点

△EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到

A．BC的中点处 B．C点处 C．CD的中点处 D．D点处

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 若分式

3有意义，则x的取值范围是____________. x510. 分解因式：a2b-2ab+b=________________.

11. 已知A、B是抛物线y=x2-4x+3上关于对称轴对称的两点，则A、B的坐标可能 是 .（写出一对即可） 12. 如图，直线y3x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂3线交

直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标（ ， ）；点An（ ， ）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：

A2；

长为为

84sin45(3)04．

x46,14. 求不等式组1 的整数解．

(x3)22

3x22xx)15．先化简，再求值：(2，其中x31.

x1x11x

16. 如图，在四边形ABCD中， AC是∠DAE的平分线，DA∥CE，∠AEB=∠CEB. 求证：AB=CB.

17.列方程或方程组解应用题

随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米．

18．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：∠BAE=∠DAF； （2）若AE=4，AF=

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 某中学的地理兴趣小组在本校学生中开展主题为“地震知识知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行

问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：

等级 频数 频率 非常了解 40 比较了解 120 m 基本了解 n 不太了解 4 243，sinBAE，求CF的长． 55（1）表中的m的值为_______，n的值为 ．

（2）根据表中的数据，请你计算“非常了解”的频率在下图中所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计

图．

（3）若该校有1500名学生，请根据调查结果估计这些学生中“比较了

人数约为多少

20. 已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．

（1）求证：AD＝DC；

（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，

求⊙O的半径．

21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=

A(1,6)，B(a,3)两点 . （1）求k1， k2的值；

（2）如图，点D在x轴上，在梯形OBCD中，BC∥OD,OB=DC,过点C作

CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD积为18时，求PE：PC的值.

的面解”的

k2的x图象交于

22. 如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. （1）请你帮小萍求出x的值.

(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：

如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）

图1 图2

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x的方程(m-1)x2-(2m-1)x+2=0有两个正整数根. (1) 确定整数m值；

(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程

(m-1)x2-(2m-1)x+2+

m=0的实数根的个数 x

24. 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN

分别于边AB、AC交于点E、F.

（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系

式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

图1 图2 图3

25. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线

CD，且与直线OP的夹角为75°若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共

点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度

北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（一）

数学试卷参考答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题 号 答 案 题 号 答 案 1 A 9 x≠5 2 C 10 b(a-1)2 3 A 4 C 11 （1,0），（3,0）或 （0,3），（4,3）等 5 B 6 D 12 7 B 8 B 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 83，0 9(23n1)，0 3三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）

解:

84sin45(3)04

=2242+1+4 ………………………………………4分 2=5． …………………………………… 5分

14．（本小题满分5分） 解：由①得：x≤2. --------1分 由②得：x-3＞-4,

x＞-1. --------2分

-1 0 1 2 ∴原不等式组的解集为 -1＜x≤2. --------3分 ∴原不等式组的整数解为 0,1,2. --------5分 15．（本小题满分5分）

(3x22xx11x)x2x1

[3x2=2xx1(x1)(x1)x1]x--------2分 =3xx12 =x2x1. --------3分 当x31时，

x23x13313.--------5分 16．（本小题满分5分）

证明：∵AC是∠DAE的平分线， ∴∠1=∠2. -------1分

又∵AD∥EC，

∴∠2=∠3. ------2分 ∴∠1=∠3.

∴AE=CE. --------3分 在△ABE和△CBE中， AE=CE， ∠AEB=∠CEB， BE=BE，

∴△ABE≌△CBE. --------4分

DC3 E2 1 AB

∴AB=CB. ------5分

17．（本小题满分5分）

解：设小明家2月份用气x立方米，则去年12月份用气(x+10) 立方米．-------1分 根据题意，得

90969625%． ----------------3分 xx10x10解这个方程，得x＝30． ---------------4分 经检验，x＝30是所列方程的根．

答：小明家2月份用气30立方米． -----------------5分 18．（本小题满分5分） 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D.

又QAE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD. ∴∠BAE=∠分

（2）在Rt△ABE中，sin∠BAE=又∵∠BAE=∠DAF， ∴ sin∠DAF=sin∠BAE=在Rt△ADF中，AF=∵ CD=AB=5. ∴CF=5-BECADF3，AE=4,可求 AB=5. ---------3分 53. 524318 sin,∠DAF =,可求DF=-------4分 555187=． …………………………………………5分 55四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）

解：（1）；36；------------2分 （2）72°；补全图如下：

不太了解2%非常了解20%基本了解18%比较了解60%------------4分

（3）1500×＝900.

答：学生中“比较了解”的人数约为900人 ------------5分

20.（本小题满分5分）

（1）证明：在⊙O中，OD⊥AB，CB⊥AB，

∴AM＝MB，OD∥BC. …………………1分 ∴AD＝DC. ……………2分 （2）∵DE为⊙O切线，

∴OD⊥DE ……………3分 ∴四边形MBED为矩形.

∴DE∥AB. ……………4分 ∴MB=DE=2，MD=BE＝EC=1. 连接OB.

222

在Rt△OBM中，OB=OM+BM.

解得 OB=

AMODBEC5 . …………………5分 2y21．（本小题满分5分）

解：（1）∵点A(1,6),B(a,3)在反比例函数y=

k2的图象上， xABCPOEDx∴ k2=1×6=6. --------1分 ∴ a×3=6，a=2. ∴B(2，3).

由点A(1,6),B(2,3)也在直线y=k1x+b上， 得k1b6,

2k1b3,解得k1=-3.

∴k1=-3， k2=6. -----------------2分 (2) 设点P的坐标为（m,n）. 依题意，得

1×3（m+2+m-2）=18，m=6. -----------------3分 26的图象上， x∴ C（6,3），E（6,0）. ∵ 点P在反比例函数y=

∴ n=1. ------------------4分 ∴PE ：PC=1：2 . ------------------5分

22．（本小题满分5分）

解： （1）设AD=x，由题意得，BG=x－2，CG=x-3. 在Rt△BCG中，由勾股定理可得 (x2)(x3)5. 解得 x6. --------------2分

（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF，∠EAF=60°，

∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结EF，可得 △AEF为等边三角形.

222AEF∴ EF=4.

∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG.

在△EFG中，可求，EG43. 383. ---5分 3 ∴△EFG的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解： 由方程(m-1)x2-(2m-1)x+2+mx=0可得

x(2m1)(2m1)24(m1)22(m1) =(2m1)(2m3)22m1(2m3)2(m1)2(m1)

x11m1，x22. ∵x1,x2均为正整数，m也是整数， ∴m=2. ----------3分 （2）由（1）知x2-3x+2+2x=0. ∴x2-3x+2= -2x. 画出函数y= x2-3x+2，y= -

2x的图象，---------6分 由图象可知，两个函数图象的交点个数是1. ---------7分

24. （本小题满分7分）

（1）△EPF为等边三角形. --------------1分 （2）设BP=x，则CP＝6－x.

由题意可 △BEP的面积为

328x. △CFP的面积为

32(6x)2. △ABC的面积为93. 设四边形AEPF的面积为y.

yOx ∴ y933325(6x)2=x3x263x93. 288自变量x的取值范围为3＜x＜6. --------------4分

（3）可证△EBP∽△PCF.

∴

BPBE. CFCP设BP=x， 则 x(6x)8. 解得 x14,x22.

∴ PE的长为4或23. --------------7分

25．（本小题满分8分）

解：（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0) 将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax2+bx+8，

4a2b80,a1, 解得 16a4b80.b2.yx22x8

2(x1)9，顶点D（1,9）. ---------3分 配方得y

（2）假设满足条件的点P存在，依题意设P(2，t)， 由C(0，，8)D(1，9)求得直线CD的解析式为yx8， 它与x轴的夹角为45． 过点P作PN⊥y轴于点N.

依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°.

oyDM1M2CHFN2N1EA11P2P1Bx23∵PN=2，∴ON= 或23．

3∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，（3）由上求得E(8，，0)F(412)，．

当抛物线向上平移时，可设解析式为yx2x8m(m0)． 当x8时，y72m． 当x4时，ym．

2O23 ）和(2，23)．-----------6分 372m≤0或m≤12．

由题意可得m的范围为0m≤72．

∴ 抛物线最多可向上平移72个单位． -----------8分