第17讲 特殊三角形
【考点梳理】 1．等腰三角形 (1)性质：
等腰三角形的两底角相等，两腰相等；
等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；
等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴． (2)判定：
有两角相等的三角形是等腰三角形； 有_两边相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形
(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°； 等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．
(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．直角三角形
(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a＋b＝c. (2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． 4．等腰直角三角形
(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.
(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形. 【高频考点】
考点1： 等腰三角形的性质及相关计算
【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)． (1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF； (2)连接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于点E.若DE∥BC时，如图2. ①∠CDB＝120°；
②求证：△ADE为等腰三角形；
③在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
2
2
2
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1
【解答】 解：(1)证明：∵CA＝CB，CD是△ABC的中线，∴AD＝BD. ∵BF∥AC，∴∠A＝∠FBD.
∵∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD.∴AC＝BF. (2)②证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B. ∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.
∴∠A＝∠EDA，∴△ADE为等腰三角形． ③△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
Ⅰ.当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝30°. ∵∠AED＝∠ECD＋∠CDE， ∴∠AED＝60°.
Ⅱ.当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，∵∠ECD＋∠CED＋∠CDE＝180°， 180°－∠CDE
∴∠CED＝＝75°.∴∠AED＝180°－∠CED＝105°.
2
Ⅲ.当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，∠ACD＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°.
归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系． 考点2： 等边三角形的性质及相关计算
【例题2】(2018·河北模拟)如图1，在等边△ABC和等边△ADP中，AB＝2，点P在△ABC的高CE上(点P与点C不重合)，点D在点P的左侧，连接BD，ED. (1)求证：BD＝CP；
(2)当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图2中作出图形，并求出BF的长； (3)直接写出线段DE长度的最小值．
【解析】：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
2
∴AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵△ADP是等边三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°. ∴∠DAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠CAP. ∴∠DAB＝∠CAP. ∴△DAB≌△PAC(SAS)． ∴BD＝CP.
(2)如图2，∵△ADP是等边三角形，
∴当点P与点E重合时，有AE＝DE，∠AED＝60°. ∵CE⊥AB，
1
∴AE＝BE＝DE，∠BCE＝∠ACB＝30°.
2∴∠EBD＝30°.∴∠DBC＝90°.
BF
在Rt△BCF中，∵BC＝2，tan∠BCE＝，
BC23
∴BF＝2tan30°＝.
3
1
(3)DE长度的最小值是，理由：如图3，由(1)知：△DAB≌△PAC，∴取AC的中点F，连接PF，则PF＝DE，
2∴PF长度的最小值就是DE长度的最小值，过点F作FG⊥CE于点G，垂足G就是PF最小时点P的位置，此11
时PF＝，故DE长度的最小值是.
22
归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为60°的三角形为等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。 考点3： 直角三角形的性质及相关计算
【例题3】(2018·保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a＋b＝c. 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a. 121
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b＋ab，
22
2
2
2
3
121
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c＋a(b－a)，
22121121
∴b＋ab＝c＋a(b－a)． 2222∴a＋b＝c.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a＋b＝c.
2
2
2
2
2
2
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a. 1121
∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b＋ab，
2221121
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c＋a(b－a)，
22211211121
∴ab＋b＋ab＝ab＋c＋a(b－a)． 222222∴a＋b＝c.
归纳：解决与直角三角形有关的计算：(1)若直角三角形中含有30°角时，可考虑利用30°角所对的直角边是斜边的一半；(2)若直角三角形出现中线时，可考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解；(3)计算有关线段长问题，如果所求线段是在直角三角形或可通过作辅助线作出含可求出两边的直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和． 【自我检测】 一、选择题：
1. （2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
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2
2
A．30° B．45° C．50° D．75° 【答案】B
4
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分线交AC于D， ∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故选B．
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75° 【答案】B
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分线交AC于D， ∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故选B．
3. （2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（ ）
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE' C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形 【答案】D
5
【解答】解：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴AE′=AE，∠E′AE=90°，
∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；
∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处， ∴∠E′AD=∠BAE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠E′AD+∠FAD=45°， ∴∠E′AF=∠EAF， ∵AE′=AE，
∴AF垂直平分EE'，故B正确； ∵AF⊥E′E，∠ADF=90°， ∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF， ∴∠FE′E=∠DAF，
∴△E′EC∽△AFD，故C正确；
∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′， ∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误； 故选D．
4. （2019•浙江衢州•3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】 D
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
6
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 设∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=180°-4x=80°. 故答案为：D.
5. （2019•湖南邵阳•3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ）
A．120° 【答案】B
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD是斜边BC上的中线， ∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°． 故选：B． 二、填空题：
6. 如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= 30° ．
B．108°
C．72°
D．36°
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【答案】30°
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC． 又点D是边BC的中点， ∴∠BAD=∠BAC=30°． 故答案是：30°．
7. （2019▪贵州毕节▪5分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 34° ．
【答案】34°．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104° ∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34° 故答案为：34°．
8. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是 ．
【答案】80°．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F， 则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
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∵∠DAB=130°， ∴∠A′+∠A″=50°，
∵∠A′=∠FAA′，∠EAD=∠A″， ∴∠FAA′+∠A″AE=50°， ∴∠EAF=130°﹣50°=80°， 故答案为：80°．
9. （2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为 ．
【答案】27
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
9
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形 ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8， BO＝OD＝4 ∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60° ∴∠DAO＝∠ACE＝30° ∴AE＝CE＝6 ∴DE＝AD﹣AE＝2 ∵∠CED＝∠ADB＝60° ∴△EDF是等边三角形 ∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2 ∴OC＝23 ∴BC＝27 三、解答题：
10. （2019•湖北武汉•8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC． （2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC． （3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论； （3）作平行四边形AEMB即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求； （2）如图所示，点G即为所求； （3）如图所示，线段EM即为所求．
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11. (2018·嘉兴)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D为AC的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE和Rt△CDF中，
AD＝DC， DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)． ∴∠A＝∠C.∴BA＝BC. ∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC是等边三角形．
12. （2018·湖北省孝感·7分）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P； ③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
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【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；
（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论． 【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是： ∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC； 故答案为：PA=PB=PC； （2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
13. 如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°． （1）求证：OB=DC； （2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．
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【解答】（1）证明： ∵∠BAC=∠OAD=90°
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO ∴∠DAC=∠OAB 在△AOB与△ADC中
∴△AOB≌△ADC， ∴OB=DC；
（2）∵∠BOC=130°，
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°， ∵△AOB≌△ADC ∠AOB=∠ADC， ∴∠ADC+∠AOC=230°， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°； （3）当CD=CO时， ∴∠CDO=∠COD=
==70°
∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA=45°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115° 又∠AOB=∠ADC=α ∴α=115°； 当OD=CO时， ∴∠DCO=∠CDO=40°
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°
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∴α=85°； 当CD=OD时， ∴∠DCO=∠DOC=40° ∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC =180°﹣40°﹣40° =100°
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145° ∴α=145°；
综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．
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