高中函数典型例题

¤知识要点：

1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域.

2. 设a、b是两个实数，且a符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{x|xa}(a,)，{x|xa}[a,)，{x|xb}(,b)，{x|xb}(,b]，R(,).

3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.

¤例题精讲：

【例1】求下列函数的定义域： （1）y1；（2）yx21x33x12.

解：（1）由x210，解得x1且x3， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,).

x30（2）由3，解得x3且x9，

x120所以原函数定义域为[3,9)1x(9,).

【例2】已知函数f(1x)x. 求：（1）f(2)的值； （2）f(x)的表达式 解：（1）由1x2，解得x1，所以f(2)1.

1x33（2）设1xt，解得x1t，所以f(t)1t，即f(x)1x.

1x1t1t1x点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称

为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.

x21【例3】已知函数f(x)（2）计算：,xR.（1）求f(x)f()的值；2x1x111f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f().

2341221xx211x2x1. 解：（1）由f(x)f()x1x2111x21x21x2x2（2）原式f(1)(f(2)f(1))(f(3)f(1))(f(4)f(1))137

23422点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答

后一问的关键.

§1.2.2 函数的表示法

¤知识要点：

1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.

2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 3. 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:AB”.

判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f. ¤例题精讲：

【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．

解：盒子的高为x，长、宽为a－2x，所以体积为V＝x(a－2x)2.

又由a－2x0，解得xa.

2 所以，体积V以x为自变量的函数式是Vx(a－2x)2，定义域为{x|0xa}.

2【例2】已知f(x)=

3x32x233xx

x(,1)x(1,)，求f[f(0)]

的值.

解：∵ 0(,1)， ∴ f(0)=32. 又 ∵ 32>1，

∴ f(32)=(32)3+(32)-3=2+1=5，即f[f(0)]=5.

222【例3】画出下列函数的图象：

（1）y|x2|； （教材P26 练习题3） （2）y|x1||2x4|.

解：（1）由绝对值的概念，有y|x2|x2,x2.

2x,x2所以，函数y|x2|的图象如右图所示.

3x3,x1（2）y|x1||2x4|x5,2x1，

3x3,x2所以，函数y|x1||2x4|的图象如右图所示.

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.

[2.1]2，【例4】函数f(x)[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[3.5]4，

当x(2.5,3]时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象.

解：

3,2.5x22,2x11,1x0. 函数图象如右： f(x)0,0x11,1x22,2x33,x3点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住数的对应函数式.

分段函

§1.3.1 函数的单调性

¤知识要点：

1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.

3. 判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1¤例题精讲：

【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)2x在区间（0，1）上的单调性.

解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1x2. 则所以，函数f(x)x12x12x22(x2x1)f(x1)f(x2).

x11x21(x11)(x21) 由于0x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)2x在（0，1）上是减函数. x1f(x2).

【例2】求下列函数的单调区间： （1）y|x1||2x4|；（2）yx22|x|3.

3x3,x1解：（1）y|x1||2x4|x5,2x1，其图象如右.

3x3,x2由图可知，函数在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数.

2x2x3,x0（2）yx2|x|32，其图象如右.

x2x3,x02由图可知，函数在(,1]、[0,1]上是增函数，在[1,0]、[1,)上

是减函数.

点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到f(|x|)的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.

【例3】已知f(x)3x1，指出f(x)的单调区间.

x2解：∵ f(x)3(x2)535，

x2x2∴ 把g(x)5的图象沿x轴方向向左平移

x2个单位，再沿y轴向上平移3个单

位，得到f(x)的图象，如图所示.

由图象得f(x)在(,2)单调递增，在(2,)上单调递增.

点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知f(xa)b平移变换规律.

§1.3.1 函数最大（小）值

¤知识要点：

1. 定义最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数yf(x)的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义.

2. 配方法：研究二次函数yax2bxc(a0)的最大（小）值，先配方成

b24acb2ya(x)2a4a4acb2值.

4a4acb2后，当a0时，函数取最小值为

4a；当a0时，函数取最大

3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.

4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：

【例1】求函数y26的最大值.

xx1661338. 解：配方为y，由(x)2，得012313244(x)(x)22424所以函数的最大值为8.

【例3】求函数y2xx1的最小值.

解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数， 所以当x1时，ymin2112，函数的最小值为2.

点评：形如yaxbcxd的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.

【另解】令x1t，则t0，xt21，所以y2t2t22(t1)215，在t0时是

48增函数，当t0时，ymin2，故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值：

（1）y32xx2,x[5,3]； （2）y|x1||x2|.

22解：（1）二次函数y32xx2的对称轴为xb2a，即x1.

2画出函数的图象，由图可知，当x1时，ymax4； 当x3时，

ymin9. 453x[,]的最大值为

223 (x2)（2）y|x1||x2|2x1 (1x2).

3 (x1)所以函数y32xx2,4,最小值为9.

4作出函数的图象，由图可知，y[3,3]. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.

点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.