2018年全国II卷理科数学(含答案)

理科数学(全国卷2)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的) 1．

12i（） 12i43A．i

55

243B．i

55

34C．i

55

34D．i

55

2．已知集合AA．9

x，yx

y2≤3，xZ，yZ，则A中元素的个数为（）

B．8

C．5

D．4

exex3．函数fx的图象大致是（）

x2

rrrrrrrr4．已知向量a,b满足，|a|1，ab1，则a(2ab)（）

A．4

B．3

C．2

D．0

x2y25．双曲线221a＞0，b＞0的离心率为3，则其渐近线方程为（）

abA．y2x 6．在△ABC中，cosA．42

B．y3x C．y2x 2 D．y3x 2C5，BC1，AC5，则AB=（） 25B．30 C．29 D．25

111117．为计算S1，设计了右侧的程序框图，

23499100则在空白框中应填入（） A．ii1B．ii2 C．ii3D．ii4

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫23．猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如307在不超过30

的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（） A．

1 12 B．

1 14 C．

1 151

D．

1 18

9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（） 1A．

5 B．5 6 C．5 5 D．2 2a是减函数，则a的最大值是（） 10．若fxcosxsinx在a，A．

 4 B．

 2 C．

3 4

D．

的奇函数，满足f1xf1x．若f12，则11．已知fx是定义域为，f1f2f3f50（） A．50

B．0

C．2

D．50

3x2y212．已知F1，F2是椭圆C:221a＞b＞0的左、右焦点交点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的6ab直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为（） A．

2 3 B．

1 2

1C．

3 D．

14

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

0处的切线方程为__________． 13．曲线y2lnx1在点0，x2y5≥014．若x，y满足约束条件x2y3≥0，则zxy的最大值为_________．

x5≤015．已知sincos1，cossin0，则sin__________． SB所成角的余弦值为16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，

7SA与圆锥底面所成角为45．，若△SAB的面积为515，8则该圆锥的侧面积为_________．

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必答题：（60分） 17．（12分）

记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315． （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

18．（12分）

2

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016，17）建立模型①：y30.413.5t：根据2010年至2016年的数据年的数据（时间变量t的值依次为1，2，，7）建立模型②：y9917.5t． （时间变量t的值依次为1，2，（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

设抛物线C:y24x的焦点为F，过F且斜率为kk＞0的直线l与C交于A，B两点，AB8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

3

20．（12分）

如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点． （1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

21．（12分）

已知函数fxexax2．

1； （1）若a1，证明：当x≥0时，fx≥只有一个零点，求a． （2）若fx在0，

（二）选考题：（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计分） 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） x2cosx1lcosa在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（l为参数）．

y2lsinay4sin（1）求C和l的直角坐标方程；

2，求l的斜率． （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1，

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数fx5xax2．

（1）当a1时，求不等式fx≥0的解集；

1，求a的取值范围． （2）若fx≤

4

参考答案 一. 选择题

1~5:DABBA 6~10:ABCCA 11~12:CD

二. 填空题

13.y2x 14.9 15.1 16.402

2

三. 解答题 17.(1)an2n9

(2)Snn28n最小值为16

18.(1)模型①:226.1 模型②:256.5

(2)模型②更可靠.2009~2010年投资额突增……

19.（1）yx1

（2）(x3)(y2)4或(x11)(y6)144

20.（1）略 （2）

21.（1）略

2e（2） 42222221 21

2y2x1 22.（1）C:416l:ytanx2tan

23.（1）[2,3]

（2）(,6]U[2,)

5