数列求和及应用(导学案)

一、学习目标

掌握数列求和方法：分组求和法、裂项相消法求和、倒序相加法求和、错位相减法求和

二、知识链接（阅读课本）

1．数列求和方法 (1)公式法

(Ⅰ)等差数列前n项和公式：

snn(a1an)n(n1)d na122等比数列前n项和公式：

na1,q1sna1(1qn)a1anq

,q11q1q(Ⅱ)常见数列的前n项和：

①1＋2＋3＋…＋n＝_______________； ②2＋4＋6＋…＋2n＝_______________；

③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_______________； ④12＋22＋32＋…＋n2＝_______________；

n（n＋1）2

⑤13＋23＋33＋…＋n3＝．

2

2．数列应用题常见模型

(1)单利公式

利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝_______________． (2)复利公式

利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝_______________． (3)产值模型

原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝_______________． (4)递推型

递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．

(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数(含三角函数)、数列与解析几何等．

【常用结论】

3．常见的裂项公式

111

(1)＝－．

n（n＋1）nn＋1

1111－(2)＝．

（2n－1）（2n＋1）22n－12n＋1(3)(4)

1111－＝．

n（n＋1）（n＋2）2n（n＋1）（n＋1）（n＋2）1＝(a－b)． a＋ba－b

【自查自纠】

1

(5)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．

n（n＋1）n（n＋1）（2n＋1）

1．(1)① ②n2＋n ③n2 ④ 262．(1)a(1＋xr) (2)a(1＋r)x (3)N(1＋p)x

三、导学指导与检测

导学 分组法求和 导学检测及课堂展示 111111例1、(1)1＋1＋＋1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋＝________． 22022424 (2)(2020全国卷Ⅰ)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________． 变式2、(1)数列9，99，999，…的前n项和Sn＝________． nπ(2)数列{an}的通项公式an＝nsin，其前n项和为Sn，则S2 021＝________． 3 例2、(1)(2019南宁摸底联考)已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，则{an}的通项公式为1的前n项和为________． ________；数列anan＋11，n∈N*．记数列{an}的前nf（n＋1）＋f（n）项和为Sn，则S2 021＝ ( ) (2)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝A．2 020－1 B．2 020＋1 C．2 022－1 D．2 022＋1 n变式2、(1)(2019－2020学年陕西延安吴起高中高一下期末)已知数列{an}满足an＋1＝an，a1n＋1＝1，则数列{anan＋1}的前10项和为 ( ) 1011910A． B． C． D． 1110109(2)数列{an}的通项公式为an＝倒序相加法求和 1n＋n＋1，若{an}的前n项和为24，则n＝________． 裂项相消法求和 错位相减法求和 数列中数学应用与数学文化 3x例3、(2020吉林省实验高一期末)已知函数f(x)＝，(x∈R)，正项等比数列{an}满足a50＝1，3x＋1则f(lna1)＋f(lna2)＋…＋f(lna99)＝________． 变式3、求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值． 123n例4、求和：Sn＝＋＋＋…＋． aa2a3an典例1、(1)(2020全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( ) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 (2)(2019邵阳二模)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(结果精确到0．1．参考数据：lg2＝0．301 0，lg3＝0．477 1) ( ) A．2．2天 B．2．4天 C．2．6天 D．2．8天 变式1、(1)(2021届陕西宝鸡金台区高三11月质检)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程12如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，，记为第一次操作；再将剩下的两个3312区间0，，，1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…；如此这样，33每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度4之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(lg2＝0．301 0，lg3＝0．477 1) 5( ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)(2020届福建漳州高三第二次质检)我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法．先作一个半径为1的单位圆，然后作其内接正六边形，在此基础上作出内接正6×2n(n＝1，2，…)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”．现设单位圆O的内接正n边形的一边为AC，点B︵为劣弧AC的中点，则BC是内接正2n边形的一边，记AC＝Sn，AB＝S2n，则 ( ) A．S2n＝2－4－S2n B．S2n＝2＋4－S2n C．S2n＝22＋4－S2n D．S2n＝4－34－S2n

四、巩固诊断 A层

1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．

111

(1)当n≥2时，＝－． ( )

n2－1n－1n＋1

(2)如果已知一个数列的通项公式，那么它的前n项和一定可以求解． ( (3)已知数列{an}是等差数列，则它的前n项和一定是关于n的二次函数形式． ( (4)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)． (

1111

(5)已知各项不为0的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有＝(－)． (

anan＋1danan＋1

) ) ) )

2、(2019－2020学年山西孝义二中高一下期末)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an，则S2 022＝ ( )

A．2310112 B．231011320221310111 C、 D、

22

2

3、(2020届四川仁寿一中高三模拟)已知an＝，则S6＝ ( )

n2＋2n697697 B． C． D． 5682816

4、(2021届安徽六校高三测试)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝2，a2n－an＋1＝4(an－1)(n∈N*)，则S20＝ ( )

A．0 B．4 C．74 D．80

5、有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________s． B层

1．(2019－2020学年江西南昌高一下期末)已知数列{an}，且an，an＋1是直角三角形中的两个锐角，则数列{an}的前2n项和S2n＝ ( )

nπA． B．(n＋1)π

2

A．

（n＋1）π

C．nπ D． 2

2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，那么数列{bn}的前10项和等于 ( ) A．130 B．120 C．55 D．50

3．(2019山东威海检测)数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为 ( )

1537A． B． C． D． 412412

111114．(2019广东广州调研)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn等于 ( )

248162n11

A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－

2n2n

11

C．n2＋1－ D．n2－n＋1－

2n－12nx2111

5．设f(x)＝，则f＋f＋…＋f2＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________．

1＋x22 0212 020

6．(2019郑州一测)已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________．

7．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn．

n（n－1）

8． (2020河南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－an＝．

2

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)如果数列{bn}满足bn＝2n－1，求数列{anbn}的前n项和Tn． C层

9．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝ ( )

A．15 B．12 C．－12 D．－15

10．(2021届江西省新余一中、宜春一中高二联考)已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切

1

线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2 021的值为 ( )

f（n）

A．

2 0202 0182 0192 021

B． C． D． 2 0212 0192 0202 022

11．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )

A．3 233万元 B．4 706万元

12．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ ( )

A．0 B．－100 C．100 D．10 200 13． (2020届武汉市9月调考)已知公差不为零的等差数列{an}中，a5＋a7＝22，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．

anan＋1

五、堂清、日清记录

堂清 日清 今日之事今日毕 日积月累成大器

课堂反思：