第一题：
已知： ABC 外接于⊙ O ， BAC 60 ， AE BC ， CF AB ， AE 、 CF 相交
于点 H 求证： D 为弧 BC 的中点，连接 HD 、 AD . AHD 为等腰三角形 .
，点第二题：
如图， F 为正方形 于
ABCD 边 CD 上一点，连接
AC 、 AF ， 延 长 AF 交 AC 的平行线
DE
点 E ，连接 CE ,且 AC=AE. 求证： CE CF .
第已三知题：
ABC 中， AB AC ， BAC 20 ， BDC AD
BC .
30
第已四知题：
ABC 中， D 为 AC 边的中点， A 3 C ， ADB 45 .
AB BC .
第五题：
如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 交于点
E ， BAC 50 ， ABD
60 ，
CBD 20 ， CAD 30 ， ADB 40 ，求
ACD .
A
第六题：
ABC 30 ， ADC 60 ， AD DC ，求证： AB BC BD .
222
第七题：
如图， PC 切 ⊙ O 于 C ， AC 为圆的直径， 线，
交于 B 、 D . 求证：四边形
PEF 为 ⊙ O 的割
AE 、 AF 与直线 PO 相
ABCD 为平行四边形 .
B
P
E
D
第 八 已 知 题： 在：
求
证 ：
ABC 中， AB AC ， A 80 ， OBC 10 ， OCA 20 .
AB OB .
第九题：
ABCD 中， OAD ODA 15 ，求证：
OBC 为正三角形
.
第
已知：正方形 ABCD E 、 F 为 AD 、 DC 的中点，连接 BE 、 AF ，相交于点十中 ， P ，连题接 PC . ：
第如图，十 ACB 与 ADE 都是等腰直角三角形， 一交 BE 于 F ，求证： CFD 90 . 题A ：
ADE ACB 90 ， CDF 45 ， DF
D
F
第十二题：
已知： ABC 中， CBA 2 CAB ， CBA的角平分线 BD 与 CAB 的角平分线 AD 相
交于点 D ，且 BC AD . 求证： ACB 60 .
求证：
第十三题：
ABC 中， AC BC ，
AD CD AB .
C 100 ， AD 平分 CAB .
第十四题：
已知：
ABC
中，
AB BC
，
D
是
AC
的中点，过
D
作
DE BC
于
E
，连接
AE
，取
DE
中点
F
，连接
BF
.
求证：
AE BF
.
第已十知五题：
ABC 中， A 24 ， C 30 ， D 为 AC 上一点，
连接
AB CD ，
BD .
AB BC BD AC .
第 十 已 知 六： 题 的 中
：
点 求 证 ：
ABCD 与 A1B1C1D1均为正方形， A2 、 B2 、
C2 、 D2 分别为 AA1 、
BB1 、 CC1 、 DD1 A2 B2C2 D2为正方形
.
第十七题：
如图，在 ABC三边上，向外做三角形 ABR 、 BCP 、 CAQ ，使 CBP CAQ
45 ，
BCP ACQ 30 ， ABR BAR 15 .
求证：
RQ 与RP 垂直且相等 .
第十八题：
AD 是 ⊙ O 的直径， D
是 BC 中点， AB 、 AC 交 ⊙ O 于点 E 、 F ， EM 、 FM 是 ⊙ O 的切线， EM 、 FM 相交于点 M ，连接 DM . 求证： DM BC .
如图，已知
第十九题：
如图，三角形 ABC 内接于⊙ O ，两条高
AD 、 BE 交于点 H ，连接
AO 、 OH 。若 AH 2 ，
BD 3 ， CD 1，求三角形 AOH 面积 .
第二十题：
如图， DAC 2x ， ACB 4x ， ABC 3x ， AD BC ，求 BAD .
第二十一题：
已知：在 为 AC 上一点， 求证： ADB 2 ABD .
Rt ABC 中， ABC 90 ， D E 是 BD 的中点， 1 2 .
B E 1 2
第二十二题：
已知正方形 圆⊙
ABCD ， P 是 CD 上的一点，以 AB 为直径的
O 交 PA 、 PB 于 E 、 F ，
射线 DE 、 CF 交于点 M . 求证：点 M 在⊙ O 上 .
第二十三题：
已知，点 D 是 ABC内一定点，且有 DAC 求证： ABC 是正三角形 .
DCB DBA 30
第二十四题：
如图，过正方形的顶点 交于点 L ， BP BN ， 交 DM 于点 P .
求 证 ： （ 1） CL MN ； （ 2） MON BPM .
A 的直线交 BC 、 CD 于 M 、 N ， DM 与 BN
第二十五题：
ABCD 中， E 是 CD 上一点，
AE 交 BD 于点 G ，交 BC 的延长线于点 F ，
连接 OF ，交 CD 于点 H ，连接 GH . 已知：在正方形
求 证 （ 1）当且仅当2)S HCF
E 为 CD中点时， OG GH AO；
CF CH
：
第二十六题：
已知： ABCD 与 AEFG 均为正方形，连接 CF ，取 CF 的中点 M ，连接
DM 、 ME .
求证： MDE 为等腰直角三角形 .
第二十七题：
ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，且 AB AD ， AO OC 。请你猜想 AB BO 与 BC OD 的数量关系，并证明你的结论 .
第二十八题：
ABDC 中， ABC
ACB 58 ， CAD 48 ， BCD 30 ，求 BDA
第二十九题：
在 ABC 中， D 是 AB 的中点， DAC 2 DCA ， DCB 30 ，求 B 的度数 .
第三十题：
在四边形
ABCD 中， AD CD ， AC BD ， AB AC ，求 BEC 的度数 .
D
第三十一题：
在 Rt ABC 中，
ACB 90 ， CAB 60 ， CD NCB 8 ，求 EMD 的度数 .
AB ， M 、 N 为直线 AB 上的
两
第三十二题：
如图， ABC 中， BD AC 于 D ， E 为 BD 上一点，且 ABD 38 ， CBD 68 ，
BCE 14 ， DCE 8 ，求 DAE 的度数 .
第三十三题：
CD D OE
为 ⊙ 的直径，
点 的切线， 交
，交 于 ，交
求证：
O A 、 B 为半圆上两点， DE 为过
CB ON OM
AB DE 于 E ，连接 M AC 于 N .
N
第三十四题：
如图，四边形 ABCD 中， BC CD ， BCA 21 ， CAD 39 ， CDA
78 ，求
BAC 的度数 .
A D
第三十五题：
如图，四边形 ABCD 中， AD CD ， BAC 10 ， ABD 50 ， ACD 20 ，求
CBD 的度数 .
第三十六题：
如图， BD CE ， G 、 H 为 BC 、 DE 中点， AB AC ， FD FE ， BAC DFE . 求证： AF // GH
B
G
C
F
第三十七题：
如图，在正方形 ABCD 中，有任意四点 E 、 F 、 G 、 H ，且 EF 4 、 GH 3 ，四边形
EFGH 的面积为 5 ，求正方形 ABCD 的面积 .
第三十八题：
2 C 3 B ， 2BC AB ，求 A .
第三十九题：
在 ABC 中， ABC 60 ， D 是 BC 边上一点， DC AB ， DAB 21 ，求 C .
第四十题：
在 ABC 中， AB
BDE 2 CED 求证： BD 2CD .
AC ， D 为 BC 边上一 点， E 为 AD 上 一 点 ， 且 满 足 BAC .
第四十一题：
已知， FC 是正方形 的点 F 、 C 的连线，点 连接 EH 、 DH 。 求证： EH DH 且 EH DH .
ABCD 和正方形 H 是 FC 的中点，
AEFG 上
第四十二题：
CAD DAB 10 ， CBD 40 ， DBA 20 ，求证： CDB
70
如图， 四边形
求证： 第四十三题：
ADBC 的对角线 AB 、 CD 的中点，若 DEB CEB .
E 、 F 分别是圆内接AFD BFD
A
E
D
F O
第四十四题：
已知： AB AC ， ADB 60 ， BCE 30 求证： BA BE
第四十五题：
ABC ， A为直角， I 为内心， BD 、 CE 分别为两内
角平分线。
IBC 的面积为
积 .
S 。求四边形 BCDE 的面
第四十六题：
AB AC CD DE ，且 BE BD ，求 EBD 的度数 .
第四十七题：
如图， ABC ≌ CDE ， D ABC 90 ，点 过 B
作 BG AC 于 G ，交 CE 于 H ，连接 AH 并延长，交 CD 于 I ，设 AB x ， BC
B 在 CD 上， AB 、 CE 交于 F ，
y 。
（ x y 求 ：）
（ 1 AH BC
x ， y 表示） ； （ 2）IC
的值 . ）的长（用
第四十八题：
在 ABC 中， AD BC ， P 是 ABC外接圆 O 上一点，点 P 关于 AB 、 AC 的对称点为
点 E 、 F ，连接 EF 与 AD 交于点 H ，求证： H 是 ABC 的垂心 .
第四十九题：
如图，点 D 、 E 分别在 AC 、 AB 上， BD 与 CE 交于点 O ， AD
OB .
AE ， OC 求证： AC AB
（寻求直接证法）
第四十九题：
第五十题：
以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求 证：这两条线段垂直且相等 .
H
O
A
I
B
P
F
N
D
C
M
第五十一题：
如图， ABC为一普通三角形，求证： AB PC AC PB BC( AP PB PC)
222
第五十二题：
中，
ABC
BE PB
D 、 E 分别在 AC 、 AB 上， BD 、 CE 交于
P ，
CD PC ，求证： AB AC .（直接证明）
AD AE ；若
第五十三题：
如图， O 、 I 分别为 ABC 的外心和内心， 的高， 半径
.
AD 是 BC 边上BC 边上的旁切圆
I 在线段 OD 上，
AB AC ，求证： ABC 的外接圆半径等于
第五十四题：
如 图 ， 三 角 形 BDC 和三角形
BEA都是等腰直角三角形，
BDC BEA 90 ， 连 接 AC ， 取 AC 中点 F ，连接 EF 、 DF 、 DE ，证明三角形 DEF 是等腰
直角三角形
.
第五十五题：
ABC 中 ， CA CB ， D 、 E
分别在
CA 、 CB 上，并且 CE CD ，过 C 、 D
作 AE 的
G .H 90 ,求证：AB BG GH
第五十五题：
第五十六题：
P 是 ABC 内一
点，
线的垂线，垂足为
PBA
PCA ， D 是 BC 中点，过点
P 分别作 F ，求证： D 、 E 、 F 三点共线 .
BAC 内外角平分
第五十六题：
第五十七题：
已知， ABC ， BCA 90 ，过 C 作 AB 的垂线，垂足为 D 点，设 X 是线段 CD 内部的 一个点， K 在线段 AX 上，满足 BK BC ；
L 在线段 BX 上，满足 令 M 为 AL 与 BK 的交点，证明： MK ML
类似地，
AL AC 。
第五十八题：
100 ， DC
平分
C ， CAE 20 ，求 CDE
第五十九题：
ABCD 内接于圆，其边 AB 、 DC 的延长线交于P ， AD 和 BC 的延长线交于点
点
Q ，过 Q 作该圆的两条切线，切点分别为 E 、 F ，求证：
P 、 E 、 F 三点共线
.
E
O
B
C F
D
第五十九题：
第六十题：
E 、 D ，在 AC 、 BC 上在锐角 ABC 中， AC 、 BC 切内接圆于点
取点 Q 、 P ，使得 CQ AE 、 CP
求证：
PM AN
BD ， BQ 交 AP 于点 M ，把 AP 与圆的交点离 近的记作点 N .
A
第六十一题：
在 ABC 中， D 是 AB 的中点， DAC 2 DCA ， DCB 30 ，求 B 的度数 .
B
第六十二题：
如图， MN 为 ABC 边 BC 的中垂线，
MN 交 ABC 的外接圆
于 M 、 N ， 交 BC 于 D ， 过 D 做 AN 的平行线， P 为该平行线上一点，过 P 作直线与 PM 垂直交 ABC 于 E 、 F . 求证： PE PF
第六十三题：
ABCD 是正方形，
= EF ， CEF 90 ，连接 AF ， G 是 AF 中点，连接 GD 、
GE 。求证： GD GE 且 GD GE .
CE
CD
第六十四题：
设点 I 、 H 分别为锐角 为两边中点，射线 B1I 交边
ABC 的内心和垂心，点 B1 、 C1
AB 于点 B2（ B2 B ） ，射线 C2 ， B2C2 与 BC 相交于 A1 为 BHC 的外心 .
求证： A 、 I 、 A1 三点共线的充要条件是 CKC2面积相等 .
C1I 交
K ，
AC 的延长线于点
BKB2 和
第六十五题：
I 切 AB 、 BC 、 AC 于点 D 、 E 、 F ，直线 EF 与 如ABC的内切圆
图AI 、 BI ， M 、 N 、 K .
DM KE DN KF
DI
第六十六题：
四边形 ABCD 内接于⊙ O ，两对角线交于 组对边分别相交于
H 两
P 、 Q .
求证： H 为 OPQ 的垂心
第六十七题：
AB AC ， BAC 80 ， PBC 20 ， PCB 40 ，求 APB 的大小
.
第六十八题：
A 作圆的切线 AC 、 AD ，再作割线
AEF ， 分 别 经 E 、 F 作圆的切线相交于 B ，
求证： B 、 C 、 D 三点共线 .
过圆外一点
第六十九题：
两个半径不等的圆满 K1 、 K 2 交于 B 两点，
D 为 K1 、 K 2上两点且 AC A 、 AD ， P . CB 交⊙ K 2 于 F ， DB 交⊙ K1 于 C E 、， EF 的中垂线交于CD 、
求
证 ：
CA 、
PA 、
EP 构成直角三角
形
.
第七十题：
如图， ABC 中 ， BAC 60 ， AB 2 AC ，点 P ABC内，且 PA 3 ， PB
PC 2 ，求 ABC 的面积 .
第七十一题：
若 ABC 为等边三角形， 一点，证明或否证：
O 为其内接圆，
2
2
D 为 O 上CD
2
AD BD
为定值 .
第七十二题：
ABC 的内切圆 I 切 BC 于 D ， M 是高 AH 的中点， 圆于 R ，求证： DR 平分 BRC .
DM 交
A R M I
第七十三题：
如图，正三角形 ABC ，以 A为顶点向外作两个正三角形 ADE 和 AGF ，连接
DB 、
EF 、
CG ，取 EF 、 DB 、 CG 中点 M 、 K 、 N 连接 . 求证：三角形 KNM 为正三角形 .
第七十三题：
第七十四题：
F
ABC
AFB
D 、 E ，求证：
AFC ， G 是 AF 上的点，直线 BG 、 CG
分
如图， 为三角形
内一点，
别交 、 于
AC AB EFA
A DFA .
E
D
F
第七十五题：
如图， ABC 中，分别在 AB 、 AC 上取点 D 、 E ，使得 BD CE ，连接 BE 、 CD 相交于点
P ，点 M
AQ
DQ 与 BE 交于点 K ， EQ 与 CD 交
于点 T .
是 BC 的中点， BAC 的平分线
与 PM 相交于点
Q ，
BK BE ) CT CD
S BKQ AB 4
S AC )
2
CTQ
求证：
( 1)四边 形
3)
BPCQ
是平行四边形
S ABK S BKQ S ACT SCTQ
第七十五题：
第七十六题：
如图，平行四边形 ABCD ， E 、 F 、 H 分别为 BC 、 AD 、 BD 中点， G 为
DC 上任一
点 ， GE 、 DB 延长线交于 IH // AD ，连接 IE ， 求证： IE // FG .
J 点，连接 JF ，取 JF 上的点 I ，使得
第七十七题：
如图，四边形
ABCD 是圆满内接四边形，对角线 AC
BD ， E 是
AB 、 DC 1 (AC BD
AC
2 BD
F 是 AD 、
BC 交点， L 、 M 是 AC 、 BD 的中
交点， 点，连接
LM 和 EF
LM 求证： EF
第七十八题：
ABCD 各边都相等，
BA 延长线交于 E 点，延长 F ，连接 FA 、 CE ，交点为 M ，连接 CA
如图，四边形 求证： CA CM CE
2
ABC 60 ， FD 与
BC 至
C
D
M
第七十九题：
ABC ， D 为 BC 上的点，过 B 作 BE AE ，
交 AD 延长线于 E ，作 CF AD 交 AD 于 F ， G 为BC 中点，连接 FG 与 GE . 求证： FG GE .
如图，三角形
第七十九题：
第八十题：
三角形 ABC ， O 重心，过
O 作任一直线交 AB 、 AC 于
X 、 Y，求证： OX ≤ 2OY .
X
O
Y
第八十一题：
如图，三角形 ABC ，以 AB 、 AC 为底边向外作等腰 ABD 和 ACE ， AD BD ，
AE CE ， DAB EAC ， F 、 G 、 H 、 I 、 J 分别为 AD 、 AE 、 EC 、 BD 、 BC 中点，连接 FH 、 IG 、 AJ ，求证： FH 、 IG 、 AJ
三线共点 .
第八十二题：
如图， A 为圆外一点， 切点为
AB 、 AC 为圆两条切线，
B 、 C ， ADE 为圆任意一条割
线，交圆于 D 、 E ，在圆上取一点 F ，连接 BF 使 得 BF // DE ，连接 CF 交 DE 于 G .求 证 ： G 为 DE 中点 .
F
O
D
G
E
第八十三题：
如图，以任意 ABC 三边分别向内侧作三个正三角形 BCD 、 ABE 、 ACF ，连接
AD
并延长与
CE 相交于 G ，求证： F 、 B 、 G 三点共线 .
第八十四题：
如图， AC 、 BD 为圆内两条不平行的弦，分别延长后相交于点 的两条切线 为 线.
S ，另过 A 、 B 分别作圆
PA 、 PB ，相交于
Q ，求证： P 、 Q 、 S三点共
P ，连接 BC 、 AD ，交点
第八十五题：
P 是是圆 O 外一点，过 P 点作圆 O 的两条切线 PA 、 PB ，切点为 A 、 B ， M 为弦 AB 中
点 ， C 为圆 O 上优弧 AB 上的任一点，连接 CM 、 CP . 求证： ACP BCM .
第八十六题：
H 是 ABC 垂心， BD AC ， O 是 ABH 外心，点 M 是 AH 中点， 已知，
CM 、 C 作 CE // GH ，交 AH 延长线于 E . 交于 G
OD
OD DE .
第八十七题：
ABC 的外F . 接圆BED ADF
已 知 ， O ， AD 是直径，过点
作 BC 垂线交直线 CA 、 BA
B 、 C
锐 角 于 点 求 证 ：
为⊙
.
第八十八题：
设 A 、 B 、 C 、 D 是圆上四点，点 交于点 E ，
P 满足条件 APC BPD ， AC 与 BD
⊙ PAB PCD 交于 P 、 F 两点，求证： APE FPD .
与⊙
第八十九题：
如图， AB 为⊙ O 的任意一条弦， 为劣弧 AB 上一点，延长
E 、 F 为 AB 三等分点， P
PE 、
PF 分别交⊙ O 于 C 、 D . 证明； AC BD CD EF .
第九十题：
如PB 、 PC 交矩形 图于点 Q . ，
ABCD 的对角线于 E 、 F ， DE 与 AF 交
PQ BC .
第九十题：
第九十一题：
D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 上三点，
AEF 、 CED 、 BDF 垂心分别
求S DEF S GIH .
证 ：
第九十二题：
如图，在 ABC 中， AB AC ， 内 切 圆 I 与边 BC 切于点 D ， AD 交内切圆 I 于另一点 E ，
圆 I 的切线 EP 交 BC 的延长线于点 点 F ，直线 BF 交圆 I 于点
P ， CF // PE ，交 AD 于
M 、 N .
证明： ENP ENQ .
第九十三题：
已知， BAC 90 ， AH BC 于点 H ， 点 J 、 I 、 S 分别是 ABH 、 ABC ACH 、 的旁心， S 在 BC 上的射影是 E ，过 J 、 I 分别作 JE 、 IE 作垂线交于点 G . 求 证 ： （ 1）四边形 EJGI 是正方形；（ 2） SG// AE且 SG AE .
第九十四题：
如图，四边形 ABTG 、 ACDE 是正方形，线段 BC 的中点是 K ，求证： TEK 的面积
= GDK 的面积 .
第九十五题：
如图，在 ABC中，设 AB AC ， 过 A 作 ABC的外接圆的切线
l ，又以 A为圆心，
为半径作圆分别交线段
AC
AB 于 D ；交直线 l 于 E 、 F .
求证：直线 DE 、 DF 分别通过 ABC 的内心与一个旁心 .
A
F
E
D
第九十六题：
如图， ABCD 是圆内接四边形， 并
P ， E 是弧
AC 与 BD 的交点为AB 上一点，连接
EP
延长交 DC 于点 F ，点 G 、 H 分别在 CE ， DE 的延长线上，满足 EAG
FAD ，EBH FBC
，求证：
C 、 D 、 G 、 H 四点共圆 .
第九十七题：
ABC的外心为 O， K 是边 BC上一
点（不是边 BC的中点） ， D 是线段
AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N ，直线 CD 与 AB 交于点 M . 求证：若 OK MN ，则 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 .
如图，锐角三角形
第九十八题：
如图，圆 I 内切于圆 O ，切点为 点 M ， MN 为圆 O 的直径，过点 P ，圆 O 的弦 AB 切圆 I 于点 Q ， PQ
的延长线交圆 O 于
共线.
P 作 PA的垂线交 AN 于点 C ，求证： C 、 I 、Q 三点
第九十九题：
2013 年中国西部数学奥林匹克几何题
已知 PB 、 PC 是⊙ O 的切线，点 G 在⊙ O 上， PG EF ，其中 BOG 、
OE 、 OF 分别是 COG 的角平线 . 求证：
EG GF .
设 求证：
第一ABC 中 ， BAC 60 ， ATC 百TA TB TC 2 AM . 题：
BTC CTA 120 ，点 M 是 BC 的中
点 .
第一百零一题： 如图：
BC 、 AB 的中点；
BC上，且满足 DP DH ， FQ FH .
求证： PQ OH
O 、 H 是 ABC 的外心和垂心， D 、 F 分别是
P 、 Q 分别在 BA 、
F
O H B
D
C
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