2．5.1 几种函数增长快慢的比较
[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
[预习导引]
1．三种函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝x(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢． (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜x＜a.
nxnxxny＝ax(a＞1) y＝logax (a＞1) 单调递增 随x增大逐渐变缓 y＝xn (n＞0) 单调递增 单调递增 随x增大逐渐变陡 随n值而不同
要点一 函数模型的增长差异
例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A．y＝10000x C．y＝x1000
B．y＝log2x
exD．y＝
2
15 226 20 401 25 626 30 901 (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x y1 1 2 5 26 10 101
y2 y3 y4 2 2 2 32 10 4.322 1024 20 5.322 32768 30 5.907 1.05×10 40 6.322 63.36×10 50 6.644 71.07×10 60 6.907 9关于x呈指数函数变化的变量是________． 答案 (1)D (2)y2
ex解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝增长速度
2
最快．
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝x(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若x＞x0，有logax＜x＜a.
跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
nxnxxn
A．指数函数：y＝2 C．幂函数：y＝t 答案 A
解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数． 要点二 几种函数模型的比较
例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份 产量 2010 8(万) 2011 18(万) 2012 30(万) 3
t B．对数函数：y＝log2t
2
D．二次函数：y＝2t
如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：
二次函数模型f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
解 建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，
2
2xa＋b＋c＝8，
将点坐标代入，可得4a＋2b＋c＝18，
9a＋3b＋c＝30，
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数函数模型
2
g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)， ab＋c＝8，2
将点坐标代入，可得ab＋c＝18，
ab3＋c＝30，
12561256x解得a＝，b＝，c＝－42.则g(x)＝·－42，
353512564
故g(4)＝·－42＝44.4，与计划误差为1.4.
35
由(1)(2)可得，f(x)＝x＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系． 规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．
2．理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
跟踪演练2 函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
2
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知 曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， 曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A．y＝100x C．y＝x 答案 D
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2．当2＜x＜4时，2，x，log2x的大小关系是( ) A．2＞x＞log2x C．2＞log2x＞x 答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x，y＝2，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x，y＝2，y＝log2x的图象，所以x＞2＞log2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
2
2
100
B．y＝log100x D．y＝100
x
x2
x2
B．x＞2＞log2x D．x＞log2x＞2
2
2xx2xxx2x
答案 D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，得ax＝a(1＋0.104)，故y＝log1.104x(x≥1)， ∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( ) A．300只 C．500只 答案 A
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.
B．400只 D．600只
y
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)， 得y＝300.
5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________． 1
答案 y＝－x＋50(0＜x＜200)．
4解析 设解析式为y＝kx＋b，
30＝k×80＋b，由20＝k×120＋b，
1
解得k＝－，b＝50，
4
1
∴y＝－x＋50(0＜x＜200)．
4
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝x(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
n
一、基础达标
1．下列函数中，增长速度最慢的是( ) A．y＝6 C．y＝x 答案 B
解析 对数函数增长的越来越慢，故选B.
2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图象为( )
6
xB．y＝log6x
D．y＝6x
答案 B
解析 ∵v1＜v2，
∴前半段路程用的时间长．
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( ) A．y＝0.9
50C．y＝0.9m
50答案 C
解析 设每年湖水量为上一年的q%， 150
则(q%)＝0.9，∴q%＝0.9. 50∴x年后的湖水量为y＝0.9m.
50
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( ) A．y＝0.2x 2
C．y＝ 10答案 C
解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件． 答案 1.75
1＝a·0.5＋b，解析 由2
1.5＝a·0.5＋b，a＝－2，
得b＝2，
1
xx
B．y＝(1－0.1)m
50
D．y＝(1－0.1)m
50xxx
12
B．y＝(x＋2x)
10D．y＝0.2＋log16x
x
x
3
x所以y＝－2×0.5＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.5＋2＝1.75(万件)．
6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________． 答案 ②④
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则②④正确． 7．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人2
可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原
3价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N＋)， 旅游收费为y，旅游原价为a.
11
甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；
222
乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.
3211
∵(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a， 326∴当x＝1时，两家旅行社收费相等． 当x＞1时，甲旅行社更优惠． 二、能力提升
8．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A．2＞x＞lgx C．x＞2＞lgx 答案 A
解析 ∵x∈(1,2)，∴2∈(2,4)． ∴x∈(1，2)，lgx∈(0,1)． ∴2＞x＞lgx.
9．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
xxx12
B．2＞lgx＞x D．x＞lgx＞2
12xx1212x1212
答案 B
解析 (如图)取OH的中点E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．
10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000·ln1＋，则当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大
m
M
速度可达12km/s. 答案 e－1
解析 由题意得2000ln1＋＝12000.
m6
M
∴ln1＋＝6，从而＝e－1.
m
M
Mm6
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
100(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数． 解 (1)设V＝k·log3，
100∵当Q＝900时，V＝1， 900
∴1＝k·log3，
1001∴k＝，
2
1Q∴V关于Q的函数解析式为V＝log3.
2100
1Q(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，
2100∴Q＝2700，
∴一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位． 三、探究与创新
12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问： (1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
解 设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000， y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000， ∵y1＜y2，
∴应选择方案二处理污水． (2)当x＝6000时，y1＝114000，
y2＝108000，
∵y1＞y2，
∴应选择方案一处理污水．
13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米(W/m)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10
－8
2
－12－12
2
2
II0
，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下
W/m，耳语的强度是1×10
2－10
W/m，恬静的无线电广播的强
2
度是1×10W/m，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L2＝10lg＝10lg1＝0(分贝)；
I2I0
耳语的强度水平为
I3
L3＝10lg＝10lg102＝20(分贝)；
I0
恬静的无线电广播的强度水平为
I4
L4＝10lg＝10lg104＝40(分贝)．
I0
(2)由题意知0≤L1＜50， 即0≤10lg＜50， 所以1≤＜10， 即1×10
－12
II0
II0
5
≤I＜1×10.
－12
－7
所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10W/m，同时小于1×10W/m.
2－72
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