高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 微专题四 常见“隐形圆”问题教案(含解析)

一、利用圆的定义确定隐形圆

例1(1)如果圆(x－2a)＋(y－a－3)＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________． 答案

6－，0 5

2

2

解析 到原点距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆， 故此单位圆和已知圆相交，∴2－1<∴1<5a＋6a＋9<9， 6

解得－5

(2)(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆

2

2a2

＋a＋3

2

<2＋1，

x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值

范围为________．

答案 [6－2，6＋2]

解析 方法一 设BC的中点为M(x，y)， 因为OB＝OM＋BM＝OM＋AM， 所以4＝x＋y＋(x－1)＋(y－1)，

12123化简得x－＋y－＝，

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

所以点M11

的轨迹是以，为圆心，22

6

为半径的圆， 2

所以AM

的取值范围是

6－26＋2，， 22

所以BC的取值范围是[6－2，6＋2].

方法二 以AB，AC为邻边作矩形BACN，则BC＝AN，

由矩形的几何性质(矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等)，

有OB＋OC＝OA＋ON，所以ON＝6， 故N在以O为圆心，6为半径的圆上， 所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．

跟踪训练1(2018·苏北四市模拟)已知A，B是圆C1：x＋y＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)＋(y－4)＝1上的动点，则|→PA＋→PB|的取值范围是________． 答案 [7,13]

1

解析 取AB的中点M，则C1M＝，

21

所以M在以C1为圆心，为半径的圆上，

2|→PA＋→PB|＝2|→PM|，

11C1C2－1－≤PM≤C1C2＋1＋，

22713

又C1C2＝5，即≤PM≤，

22→＋→∴7≤|PAPB|≤13.

2

2

2

2

2

2

2

2

二、动点P对两定点张角为90°确定隐形圆

例2(1)已知圆C：(x－3)＋(y－4)＝1和两点A(－m,0)，

2

2

B(m,0)(m>0)，若圆上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范

围是________． 答案 [4,6]

解析 ∵P在以AB为直径的圆上(P异于A，B)， ∴以AB为直径的圆和⊙C有公共点， ∴m－1≤5≤m＋1，∴4≤m≤6.

(2)(2019·江苏省徐州市第一中学月考)若实数a，b，c成等差数列且点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是________． 答案 5＋2

解析 因为a，b，c成等差数列， 所以2b＝a＋c，即0＝a－2b＋c， 方程ax＋by＋c＝0恒过点Q(1，－2)，

又因为点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M， 所以∠PMQ＝90°，M在以PQ为直径的圆上， 此圆的圆心A1－1－2＋0

， ，的坐标为

22

1

即A(0，－1)，半径r＝PQ＝2，

2又因为N(3,3)，所以AN＝5， 所以(MN)max＝5＋2.

跟踪训练2(2018·江苏省通州区检测)设m∈R，直线l1：x＋my＝0与直线l2：mx－y－2m－4＝0交于点P(x0，y0)，则x0＋y0＋2x0的取值范围是________．

答案 [12－410，12＋410]

解析 l1过定点O(0,0)，l2过定点A(2，－4)， 则P在以OA为直径的圆上(P异于O，A)， 又x0＋y0＋2x0＝(x0＋1)＋y0－1， 又t＝

2

2

2

2

2

2

x0＋1

2

＋y0表示点(－1,0)到圆(x－1)＋(y＋2)＝5上

222

的点的距离，

∴tmax＝22＋5，tmin＝22－5，

∴(x0＋y0＋2x0)max＝(22＋5)－1＝12＋410， (x0＋y0＋2x0)min＝(22－5)－1＝12－410， 故所求范围是[12－410，12＋410]．

→＝λ(常数)确定隐形圆

三、A，B是两定点，动点P满足→PA·PB例3(2018·南通考试)已知点A(2,3)，点B(6，－3)，点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足等式→AP·→BP＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是________． 答案 λ<2

→＝(x－6，y＋3)， 解析 设P(x，y)，则→AP＝(x－2，y－3)，BP根据→AP·→BP＋2λ＝0，

2

2

2

2

2

2

有(x－4)＋y22

13

＝13－2λλ<.

2

2

2

由题意知，圆(x－4)＋y相交，

13

＝13－2λλ<与直线

2

3x－4y＋3＝0

|3·4－4·0＋3|

圆心到直线的距离d＝＝3<13－2λ，所以λ<2. 22

3＋4→＝λ(λ为常跟踪训练3已知线段AB的长为2，动点C满足→CA·CB1

数)，且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数λ的

2取值范围是________． 答案

3－1，－

4

解析 设A(－1,0)，B(1,0)，C(x，y)， 由已知可得(x＋1)(x－1)＋y＝λ， ∴x＋y＝1＋λ.

2

2

2

∴

λ<0，

1＋λ≥0，



11

1＋λ＋≤1或1＋λ－≥1，

22

3

解得－1≤λ≤－.

4

四、两定点A，B，动点P满足＝λ(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)

PAPB例4(2019·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0)，若在圆C：(x－a)＋(y－2a)＝9上存在点P1

使得PA＝PB，则实数a的取值范围是________________．

2答案

－

55

5，－∪，5

55

2

2

解析 设P(x，y)，则PA＝x－1

2

＋y，PB＝

2

x－4

2

＋y，

2

112222

∵PA＝PB，∴(x－1)＋y＝[(x－4)＋y]，

24整理得x＋y＝4，

2

2

P的轨迹是以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆，

又∵P在圆C上，∴圆C与圆O有公共点， ∴1≤CO≤5，即1≤a＋4a≤5，



解得a∈－

55

5，－∪，5.

55

2

2

跟踪训练4(2019·江苏省启东中学考试)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x＋y＝1，O1：(x－4)＋y＝4，动点P在直线x＋3y－b＝0上，过P点分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________． 答案

20

－，4

3

2

2

2

2

解析 由题意知O(0,0)，O1(4,0)． 设P(x，y)，

∵PB＝2PA，∴

2

2

x－4

2

2

2

＋y－4＝2x＋y－1，

222

∴(x－4)＋y＝4(x＋y)， 816

∴x＋y＋x－＝0，

33

2

2

48－，0圆心坐标为，半径为，

33

∵动点P在直线x＋3y－b＝0上，满足PB＝2PA的点P有且只有两个，

816

∴直线与圆x＋y＋x－＝0相交，

33

2

2

∴圆心到直线的距离d＝

4

－－b3

8

<，

1＋33

416416∴－－3333即实数b20

的取值范围是－，4.

3