2018年全国高中数学联赛试题

一、填空题

1. 设集合A{1,2,3,...,99},B{2x|xA},C{x|2xA}, 则B__________.

2. 设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30 且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为__________.

3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f,则abcdef是偶数的概率为________.

C的元素个数为

x2y24. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，

ab椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则PF1F2的面积为_________.

5. 设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间0,1上严格递增，且满足

1x2的解集为________. f()1,f(2)2 ，则不等式组1f(x)26. 设复数z满足z1，使得关于x的方程zx2zx20有实根，则这样的复数z的和 为__________.

7. 设O为ABC的外心，若AOAB2AC, 则sinBAC的值为__________. 8. 设正整数数列a1,a2,...a10满足a103a1,a2+a82a5,且

2ai1{1ai,2ai},i1,2,...,9， 则这样的数列的个数为__________.

二、解答题

log3x1,0x99.已知定义在R上的函数f(x)为f(x) ，设a,b,c是三个互不相

4x,x9同的实数，满足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围

10.已知实数列a1,a2,a3,... ，满足：对任意正整数n，有an(2Snan)1，其中Sn表示数列的前n项和，证明：

（1）对任意正整数n,有an2n（2）对任意正整数n,有anan11

11.在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y4x的过点F(1,0)的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不用于点O,A,B）.若PF平分APB，求PF的所有可能值.

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