2020年湖北省恩施州中考数学试卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．（3分）（2020•恩施州）5的绝对值是（ ） A．5
B．﹣5
C． 51
D．−
1
52．（3分）（2020•恩施州）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量约为120000吨，将数120000用科学记数法表示为（ ） A．12×104
B．1.2×105
C．1.2×106
D．0.12×106
3．（3分）（2020•恩施州）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2020•恩施州）下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）（2020•恩施州）函数y=A．x≥﹣1
√𝑥+1B．a（a+1）＝a2+a D．2a+3b＝5ab
𝑥的自变量的取值范围是（ ）
C．x＞0
D．x＞﹣1且x≠0
B．x≥﹣1且x≠0
6．（3分）（2020•恩施州）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（ ） A．
211
B．
4
11
C．
5
11
D．
6
11
7．（3分）（2020•恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，则x的值是（ ） A．﹣1
B．1
C．0
D．2
8．（3分）（2020•恩施州）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（ ）
2020年中考
中考数学试题
5𝑥+𝑦=3A．{
𝑥+5𝑦=25𝑥+3𝑦=1C．{
𝑥+2𝑦=5
5𝑥+𝑦=2B．{
𝑥+5𝑦=33𝑥+𝑦=5D．{
2𝑥+5𝑦=1
9．（3分）（2020•恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2020•恩施州）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/h C．乙车比甲车先到B城 D．乙车比甲车先出发1h
11．（3分）（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
12．（3分）（2020•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，
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中考数学试题
0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
13．（3分）（2020•恩施州）9的算术平方根是 ．
14．（3分）（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝ ．
15．（3分）（2020•恩施州）如图，已知半圆的直径AB＝4，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值
16．（3分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为 ．
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三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
𝑚217．（8分）（2020•恩施州）先化简，再求值：（2−）÷，其中m=√2．
𝑚−3𝑚−6𝑚+9𝑚−3
𝑚2−9
3
18．（8分）（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
19．（8分）（2020•恩施州）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣般了解；D类﹣﹣不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生； （2）补全条形统计图；
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为 ；
（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有 名．
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中考数学试题
20．（8分）（2020•恩施州）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：． √2≈1.414，√3≈1.732）
21．（8分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）的一个交点为C，且BC=AC． （1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．
𝑘
𝑥12
22．（10分）（2020•恩施州）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等．
（1）求A、B两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
23．（10分）（2020•恩施州）如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．
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（1）求证：CE是⊙O的切线； （2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
24．（12分）（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．
1
4
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−4x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）． ①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
1
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．（3分）（2020•恩施州）5的绝对值是（ ） A．5
B．﹣5
C． 51
D．−5
1
【解答】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5； 故选：A．
2．（3分）（2020•恩施州）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量约为120000吨，将数120000用科学记数法表示为（ ） A．12×104
B．1.2×105
C．1.2×106
D．0.12×106
【解答】解：120000＝1.2×105， 故选：B．
3．（3分）（2020•恩施州）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形． 故选：D．
4．（3分）（2020•恩施州）下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
B．a（a+1）＝a2+a D．2a+3b＝5ab
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a（a+1）＝a2+a，原计算正确，故此选项符合题意； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
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D、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B．
5．（3分）（2020•恩施州）函数y=A．x≥﹣1
√𝑥+1𝑥的自变量的取值范围是（ ）
C．x＞0
D．x＞﹣1且x≠0
B．x≥﹣1且x≠0
【解答】解：根据题意得，x+1≥0且x≠0， 解得x≥﹣1且x≠0． 故选：B．
6．（3分）（2020•恩施州）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（ ） A．
211
B．
4
11
C．
5
11
D．
6
11
【解答】解：由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽， 所以选到甜粽的概率为：故选：D．
7．（3分）（2020•恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，则x的值是（ ） A．﹣1
B．1
C．0
D．2
611
，
【解答】解：由题意知：2☆x＝2+x﹣1＝1+x， 又2☆x＝1， ∴1+x＝1， ∴x＝0． 故选：C．
8．（3分）（2020•恩施州）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（ ） 5𝑥+𝑦=3A．{
𝑥+5𝑦=2
5𝑥+𝑦=2B．{
𝑥+5𝑦=3
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5𝑥+3𝑦=1C．{
𝑥+2𝑦=5
5𝑥+𝑦=3
【解答】解：依题意，得：{．
𝑥+5𝑦=2故选：A．
3𝑥+𝑦=5D．{
2𝑥+5𝑦=1
9．（3分）（2020•恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形． 故选：A．
10．（3分）（2020•恩施州）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/h C．乙车比甲车先到B城 D．乙车比甲车先出发1h 【解答】解：由图象知： A．甲车的平均速度为B．乙车的平均速度为
30030010−59−6
=60km/h，故A选项不合题意；
=100km/h，故B选项不合题意；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；
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D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误， 故选：D．
11．（3分）（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°， ∵点E在AB上且BE＝1， ∴AE＝3，
∴DE=√𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=5， ∴△BFE的周长＝5+1＝6， 故选：B．
12．（3分）（2020•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（ ）个．
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A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称轴为：𝑥=
−2+11
=−，因此②错误； 22对于③：设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；
对于④：当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确． ∴只有③④是正确的． 故选：C．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
13．（3分）（2020•恩施州）9的算术平方根是 3 ． 【解答】解：∵（±3）2＝9， ∴9的算术平方根是|±3|＝3． 故答案为：3．
14．（3分）（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝ 40° ．
2020年中考
中考数学试题
【解答】解：如图，延长CB交l2于点D， ∵AB＝BC，∠C＝30°， ∴∠C＝∠4＝30°， ∵l1∥l2，∠1＝80°， ∴∠1＝∠3＝80°，
∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°， ∴∠2＝40°． 故答案为：40°．
15．（3分）（2020•恩施州）如图，已知半圆的直径AB＝4，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为 2√3−π ．（结果不取近似值
【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠CAB＝30°，
2020年中考
中考数学试题
∴BC=𝐴𝐵=2，AC=2√3， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
11
⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=⋅2√3⋅2=2√3， 2212∵∠CAB＝30°，
∴扇形ACD的面积=360𝜋⋅𝐴𝐶2=12𝜋⋅(2√3)2=𝜋， ∴阴影部分的面积为2√3−𝜋． 故答案为：2√3−𝜋．
16．（3分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为 （﹣1，8） ．
30
1
【解答】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为（﹣1，0），
N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），
2020年中考
中考数学试题
N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4）， N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8）， N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8）， N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），
N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处， ∴其每6个点循环一次， ∴2020÷6＝336……4， 即循环了336次后余下4，
故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）． 故答案为：（﹣1，8）．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
𝑚217．（8分）（2020•恩施州）先化简，再求值：（2−）÷𝑚−3，其中m=√2．
𝑚−6𝑚+9𝑚−3
𝑚2−9
3
【解答】解：(=[
(𝑚−3)
2𝑚2−93𝑚2
−)÷ 𝑚−3𝑚2−6𝑚+9𝑚−3(𝑚+3)(𝑚−3)
−𝑚−3]⋅
3
𝑚−3
𝑚2=(
𝑚+33𝑚−3
−)⋅2 𝑚−3𝑚−3𝑚𝑚
𝑚−3
𝑚2=𝑚−3⋅=
1； 𝑚当𝑚=√2时， 原式=
√21=． 2√218．（8分）（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AE∥BF，
2020年中考
中考数学试题
∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， 又∵AB＝BC， ∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
19．（8分）（2020•恩施州）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣般了解；D类﹣﹣不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生； （2）补全条形统计图；
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为 36° ；
（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有 150 名．
【解答】解：（1）本次共调查的学生数为：20÷40%＝50（名）． 故答案为：50；
（2）C类学生人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
2020年中考
中考数学试题
条形图如下：
（3）D类所对应扇形的圆心角为：360°×故答案为：36°；
（4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：500×50=150（名）． 故答案为：150．
20．（8分）（2020•恩施州）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：． √2≈1.414，√3≈1.732）
15
5
=36°． 50
【解答】解：如图，过P作PH⊥AB，设PH＝x，
由题意得：AB＝30×2＝60，∠PBH＝90°﹣60°＝30°，∠PAH＝90°﹣45°＝45°， 则△PHA是等腰直角三角形， ∴AH＝PH，
在Rt△PHA中，设AH＝PH＝x，
在Rt△PBH中，PB＝2PH＝2x，BH＝AB﹣AH＝60﹣x， ∴tan∠PBH＝tan30°=𝐵𝐻=3，
𝑃𝐻
√32020年中考
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∴
𝑥√3=， 360−𝑥
解得：𝑥=30(√3−1)，
∴PB＝2x=60(√3−1)≈44（海里）， 答：此时船与小岛P的距离约为44海里．
21．（8分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=𝑥（x＞0）的一个交点为C，且BC=2AC． （1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．
𝑘
1
【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0， 即ax﹣3a＝0，解得x＝3， ∴点A的坐标为（3，0）， 故答案为（3，0）．
（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：
显然，CM∥OA，
2020年中考
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∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO， ∴△BCM∽△BAO， ∴
𝐵𝐶𝐵𝐴
=
𝐶𝑀𝐴𝑂
，即：=
3
1𝐶𝑀3
，
∴CM＝1，
又𝑆△𝐴𝑂𝐶=2𝑂𝐴⋅𝐶𝑁=3 即：×3×𝐶𝑁=3，
21
1
∴CN＝2，
∴C点的坐标为（1，2）， 故反比例函数的k＝1×2＝2，
再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中， 即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1， 故答案为：a＝﹣1，k＝2．
22．（10分）（2020•恩施州）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等．
（1）求A、B两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x﹣20）元， 根据题意，得
900𝑥
=
720𝑥−20
，
解得：x＝100，
经检验x＝100是原方程的解， x﹣20＝80，
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元； （2）设购买m个A品牌足球，则购买（90﹣m）个B品牌足球，
2020年中考
中考数学试题
则W＝100m+80（90﹣m）＝20m+7200，
∵A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，
100𝑚+80(90−𝑚)≤8500∴{， 𝑚≥2(90−𝑚)解不等式组得：60≤m≤65，
所以，m的值为：60，61，62，63，64，65， 即该队共有6种购买方案， 当m＝60时，W最小，
m＝60时，W＝20×60+7200＝8400（元），
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
23．（10分）（2020•恩施州）如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线； （2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
【解答】解：（1）如图1中，连接OD， ∵CD＝CA， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠ODA，
2020年中考
中考数学试题
∵直线AM与⊙O相切于点A， ∴∠CAO＝∠CAD+∠OAD＝90°， ∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝90°， ∴CE是⊙O的切线．
（2）如图2中，连接BD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD，
∵CE是⊙O的切线，BF是⊙O的切线， ∴∠OBD＝∠ODE＝90°， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝EB，
∵AM⊥AB，BN⊥AB， ∴AM∥BN， ∴∠CAD＝∠BFD， ∵∠CAD＝∠CDA＝∠EDF， ∴∠BFD＝∠EDF， ∴EF＝ED， ∴BE＝EF．
（3）如图2中，过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形，
设BE＝x，则CL＝4﹣x，CE＝4+x， ∴（4+x）2＝（4﹣x）2+62，
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解得：x=，
𝐵𝐸3
∴𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝑂𝐸==4=，
𝑂𝐵349
94∵∠BOE＝2∠BHE， ∴𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝑂𝐸=
2𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝐻𝐸3
=，
1−𝑡𝑎𝑛2∠𝐵𝐻𝐸413解得：tan∠BHE=或﹣3（﹣3不合题意舍去）， ∴tan∠BHE=3．
补充方法：如图2中，作HJ⊥EB交EB的延长线于J． ∵tab∠BOE=
𝐵𝐸3
=， 𝑂𝐵41
∴可以假设BE＝3k，OB＝4k，则OE＝5k， ∵OB∥HJ， ∴∴
𝑂𝐵𝐻𝐽4𝑘𝐻𝐽
==
𝑂𝐸𝐸𝐻5𝑘9𝑘
==
𝐸𝐵𝐸𝐽3𝑘𝐸𝐽
，
，
∴HJ=
3627k，EJ=k， 5527
12
∴BJ＝EJ﹣BE=5k﹣3k=5k ∴tan∠BHJ=
𝐵𝐽1
=， 𝐻𝐽3∵∠BHE＝∠OBE＝∠BHJ， ∴tan∠BHE=3．
1
24．（12分）（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−4x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．
1
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中考数学试题
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）． ①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长． 【解答】解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上， ∴0=−4×36+6𝑏+𝑐， 得到6b+c＝9， 又∵对称轴x＝2， ∴𝑥=−2𝑎=−解得b＝1， ∴c＝3，
∴二次函数的解析式为𝑦=−𝑥2+𝑥+3； （2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：
1
4𝑏
𝑏
=2，
2×(−1)41
1
42020年中考
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∵抛物线的解析式为𝑦=−4𝑥2+𝑥+3，对称轴为x＝2，C（6，0） ∴点A（2，0），顶点B（2，4）， ∴AB＝AC＝4，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°；
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF， ∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°， 设点M的坐标为（m，0）， ∴点F（m，6﹣m）， 又∵∠2＝45°，
∴直线EF与x轴的夹角为45°， ∴设直线EF的解析式为y＝x+b，
把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：b＝6﹣2m， 直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m，
∵直线EF与抛物线𝑦=−4𝑥2+𝑥+3只有一个交点， ∴{
𝑦=𝑥+6−2𝑚
411
， 1
𝑦=−𝑥2+𝑥+3
14
整理得：𝑥2+3−2𝑚=0， ∴△＝b2﹣4ac＝0，解得m=2， 点M的坐标为（，0）．
2
2020年中考
3
3
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当点M在点C的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线𝑦=−𝑥2+𝑥+3不可能只有一个交点．
综上，点M的坐标为（，0）．
23
1
4（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵𝑃𝐶=√2，由（2）知∠BCA＝45°， ∴PG＝GC＝1， ∴点G（5，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF， ∴EM＝PM，
∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°，
2020年中考
中考数学试题
∴∠HEM＝∠GMP，
∠𝐸𝐻𝑀=∠𝑀𝐺𝑃
在△EHM和△MGP中，{∠𝐻𝐸𝑀=∠𝐺𝑀𝑃，
𝐸𝑀=𝑀𝑃
∴△EHM≌△MGP（AAS）， ∴EH＝MG＝5﹣m，HM＝PG＝1， ∴点H（m﹣1，0），
∴点E的坐标为（m﹣1，5﹣m）；
∴EA=√(𝑚−1−2)2+(5−𝑚−0)2=√2𝑚2−16𝑚+34， 又∵D为线段BC的中点，B（2，4），C（6，0）， ∴点D（4，2），
∴ED=√(𝑚−1−4)2+(5−𝑚−2)2=√2𝑚2−16𝑚+34， ∴EA＝ED．
当点M在点C的右侧时，如下图：
同理，点E的坐标仍为（m﹣1，5﹣m），因此EA＝ED． ②当点E在（1）所求的抛物线𝑦=−𝑥2+𝑥+3上时， 把E（m﹣1，5﹣m）代入，整理得：m2﹣10m+13＝0， 解得：m=5+2√3或m=5−2√3， ∴CM=2√3−1或CM=1+2√3．
1
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