第六章 专题2 “子弹打木块”模型及“追赶”模型

【学习目标】

1、理解“子弹打木块”模型中物体的相互作用过程，掌握解决这类问题的方法。 2、会分析“追赶”模型中两物体的位移关系，知道两物体相距最近或最远的条件。

【自主学习】

一、动量守恒定律的公式： ，公式中的各个v必须是对

参考系的。末状态两物体速度相同时，动量守恒的表达式为： 。初状态两物体均处于静止状态，动量守恒的表达式为： 。

二、“子弹打木块”模型： 木块放在光滑水平面上子弹以初速v 0度v0射击木块。

1、运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做 直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做 直线运动。

2、图象描述：从子弹击中木块时刻开始，在同一个v—t坐标中，两者的速度图线如下图中甲或乙。甲和乙的区别是 。

图中，两图线间阴影部分面积则对应了子弹相对于木块的 。

3、解决方法：

S L M

V v 把子弹和木块看成一个系统，利用水平方向动量守恒，有：mv0=mv+MV „„„„①

2对木块和子弹分别利用动能定理，对子弹 -f(s+L)=1mv21mv0 „„„„②

221对木块 f s =MV20 „„„„③

2由②、③得系统的动能定理： f L ＝mv04、打木块模型及推广：

1221211211 mvMV2＝mv0（mv2＋MV2）22222⑴一物块在木板上滑动(Qmgs相对E，

Q为摩擦在系统中产生的热量)。

m A ⑵小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道

m 上向上滑动，系统损失的动能转化为m的重力势能。 M B ⑶一静一动的同种电荷追碰运动，系统损失的动能转化为

电势能

1 v0 2 ＋ ＋ A 三.典型例题:

例1.一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量m的子弹以初速度v0水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为f

问题1 子弹、木块相对静止时的速度v?

1

问题2 子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度?

问题3 系统损失的机械能、系统增加的内能?

问题4 要使子弹不穿出木块，木块至少多长？（v0、m、M、f一定）

小结：

⑴系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即ΔE＝Q＝fs相对

⑵系统内相互作用的两物体间的一对摩擦力做功的总和恒为 值。（因为有一部分机械能转化为内能）。

⑶摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程。大小为Q＝fs相对，其中f为滑动摩擦力的大小，s是两个物体的相对位移（或“子弹”射入“木块”的深度）

⑷静摩擦力可对物体做功，但 产生内能（因为两物体的相对位移为零）。 B练习1. 质量为M的木块在水平面上处于静止状态，有一质量为m的子弹以水平速度v0击中木块并与立即其一起运动，若木块与水平面间的动摩擦因数为μ，则木块在水平面上滑行的距离大小为多少？

某同学列出了动量守恒方程：mv0=(M+m)v 还列出了能量方程：

121mv0(Mm)v2(Mm)gs 22据此得出了结论。他这样做正确吗？

如果正确，请求出结果；如果不正确，请纠正错误并求出你认为正确的结果。

2

B练习2．光滑水平面上，木板以V0向右运动，木块m轻轻放上木板的右端，令木块不会从木板上掉下来，两者间动摩擦因数为

，求①从m放上M至相对静止，m发生的位移；②系统增加的

内能；③木板至少多长？④若对长木板施加一水平向右的作用力，使长木板速度保持不变，则相对滑动过程中，系统增加的内能以及水平力所做的功为多少？

三、“追赶”模型

vB B vA A 在右图所示的追赶问题中：

（1）在光滑水平面上运动的A要想追上B，必须是A、B的速度关系满足vA vB，追上后相互作用过程中，A要 速，B要 速。

（2）当vA vB时，弹簧因挤压产生的形变量最大，弹性势能最 ，两物体相距最 ，系统损失的动能最 。此后，A、B的速度关系是vA vB，弹簧的压缩形变量 ，当弹簧恢复原长时，B的速度达到最 ，A的速度最 。

（3）若A与弹簧接触后就连在一起，则弹簧将会产生伸长形变，当弹簧伸长到最长时，两物体相距最 ，它们的速度关系是vA vB，此时系统的动能和弹性势能的值与弹簧压缩到最短时 。

A例2:如图所示,在光滑水平面上,在同一直线上有A,B两物体相向而行,B连有轻质弹簧,A,B质量分别为ma=3kg和mb=2kg,相互作用前A,B的速率分别为4m/s和5m/s,则: 1. 谁先达到速度为零?此时另一物体速度?

2. 当弹簧压缩到最短时两物体速度是多少?

3. 从弹簧开始压缩到压缩到最短,在这一过程中,求B物体 加速运动时A物体的速度范围?

小结:变力作用下的追赶模型要点:两物体距离最短的临界条件是速度相等.

3

B例3. 如图所示，质量m1=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=1.5m,现有质量m2=0.2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持

2

相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10m/s，求 （1）物块在车面上滑行的时间t;

（2）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v`0不超过多少。

小结:恒力作用下的追赶模型要注意灵活运用牛顿定律,动量守恒定律.两者速度相等，是两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切人点.

A练习3.（2004年北京理综）对于两物体碰撞前后速度在同一直线上，且无机械能损失的碰撞过程，可以简化为如下模型：A、B两物体位于光滑水平面上，仅限于沿同一直线运动。当它们之间的距离大于等于某一定值d时，相互作用力为零；当它们之间的距离小于d时，存在大小恒为F的斥力。设A物体质量m1=1.0kg，开始时静止在直线上某点；B物体质量m2=3.0kg，以速度v0从远处沿该直线向A运动，如图所示。若d=0.10m，F=0.60N，v0=0.20 m/s，求： （1）相互作用过程中A、B加速度的大小； B A v0 （2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，系统

d （物体组）动能的减少量；

（3）A、B间的最小距离．答案：（1）a10.60m/s、a10.20m/s；（2）1.5×10-2J；（3）7.5cm

224

一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量m的子弹以初速度v水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为f 问题1 子弹、木块相对静止时的速度v 由动量守恒得：

mv0=(M+m)v

问题3 子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度 由动能定理得：

对子弹：

对木块：

打进深度就是相对位移

S相 ＝S1－S2＝

问题4 系统损失的机械能、系统增加的内能

E损＝

由问题3可得：

5

说明： 相互作用力与相对位移（或路程）的乘积等于系统机械能的减小，这是一个重要关系，通常都可直接运用。

问题6 要使子弹不穿出木块，木块至少多长？（v0、m、M、f一定）

运用能量关系

fL=

10.(16分)如图所示，质量m1=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=15m,现有质量m2=0.2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10m/s2，求 （1）物块在车面上滑行的时间t;

（2）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v′0不超过多少。

【解析】（1）设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有

①

设物块与车面间的滑动摩擦力为F，对物块应用动量定理有

用运动学做(动量定理删了) ③

解得

6

代入数据得 t=0.24s ④

（2）要使物块恰好不从车厢滑出，须物块到车面右端时与小车有共同的速度v′，则

⑤

由功能关系有

⑥

代入数据解得 v0′=5m/s

故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车的速度v0′不能超过5m/s。

例2．光滑水平面上，木板以V0向右运动，木块m轻轻放上木板的右端，令木块不会从木板上掉下来，两者间动摩擦因数为

，求①从m放上M至相对静止，m发生的位

移；②系统增加的内能；③木板至少多长？④若对长木板施加一水平向右的作用力，使长木板速度保持不变，则相对滑动过程中，系统增加的内能以及水平力所做的功为多少？

解析：①根据动量守恒定律得：

⑴

对木块使用动能定理：

⑵

⑶ ⑷

②根据能的转化和守恒定律：

⑸

③ ⑹

7

⑺

④相对滑动过程，木块做初速度为零的匀加速运动，而木板做匀速运动

木块发生位移 ⑻

木板发生位移 （9）

相对位移 （10）

系统增加内能 （11）

水平力所做的功 （12）

课堂练习：如图4所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板间的距离为d，右极板上有一小孔，通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆，电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为M，给电容器充电后，有一质量为m的带正电小环恰套在杆上以某一初速度v0对准小孔向左运动，并从小孔进入电容器，设带电环不影响电容器板间电场分布。带电环进入电容器后距左板的最小距离为0.5d，试求： （1）带电环与左极板相距最近时的速度v； （2）此过程中电容器移动的距离s。 （3）此过程中能量如何变化？

解： mv0(mM)v 解得vmv0

mMFmdd1211 mv0(mM)v2 FsMv2 解得s2(mM)2222例6 如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上。平行板电容器板间距离为d，电容为C。右极板有一个小孔，通过小孔有一长为

的绝缘杆，左

端固定在左极板上，电容器极板连同底座、绝缘杆总质量为M。给电容器充入电量Q

后，有一质量为m、带电量＋q的环套在杆上以某一初速度v0 对准小孔向左运动（M

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＝3m）。设带电环不影响电容器板间电场的分布，电容器外部电场忽略不计。带电环进入电容器后距左板最小距离为

d，试求：

⑴带电环与左极板间相距最近时的速度； ⑵带电环受绝缘杆的摩擦力。 解析：

⑴带电环距左板最近时，类似于子弹，木块相对静止时

由动量守恒定律得：

①

②

⑵带电环与其余部分间的相互作用力，做功的有

电场力 ③ 摩擦力f

由能的转化和守恒定律得

④

课堂练习：两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为 m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0（见图）．若两导体棒在运动中始终不接触，求： B b d （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

v0 （2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，棒cd的加速度是多少？ a c B2l2v012参考答案： （1）mv0 （2）

4mR4

9

7、如图所示，光滑水平面上有一个静止的质量为M的小车，它的上表面是由水平面连接1/4圆弧的光滑曲面。一个质量为m的小物块以水平初速度v0进入小车，求：

（1）小车获得的最大速度 （2）物体上升的最大高度。 解析：（1）不作深入分析，受思维定势影响，错误地认为m与M相对静止时，M有最大速度，其实这是上升的最大高度条件。

正确解答如下：分析可知，m返回水平面上时，M有最大速度。

mv0mv'Mv, mv0mv'Mv

由上式得：v2mv0

mM(2)当m与M相对静止时，有最大速度h。

112mv0(mM)v,mv0(mM)v2mgh

22由上式得：hmaxMv0 2(mM)213（11分）质量为M的木块在水平面上处于静止状态，有一质量为m的子弹以水平速度v0击中木块并与其一起运动，若木块与水平面间的动摩擦因数为μ，则木块在水平面上滑行的距离大小为多少？

某同学列出了动量守恒方程：mv0=(M+m)v 还列出了能量方程：

121mv0(Mm)v2(Mm)gs 22据此得出了结论。他这样做正确吗？

如果正确，请求出结果；如果不正确，请纠正错误并求出你认为正确的结果。

14*．（15分）如图所示，光滑水平面上有两辆相同的小车A和B，质量都是M。B车静止，其顶板上用细线悬挂一个质量为m的小球C，小球C也处于静止，已知M=4m。A车以速度V0向右匀速运动，和B车发生正碰，碰撞时间极短，碰后两车不再分开，这时可以观察到B车中悬挂的

10

小球C开始摆动。若小球C第一次向左摆动的最大摆角为600，求： （1）A车与B车刚碰撞结速时两车速度多大？

（2）小球C摆角达最大时两车和摆球的速度各是多大？ （3）悬挂小球的细线长度L是多少？

13．【解】他这种解法是错误的。克服摩擦力做功消耗的是子弹打入木块后系统剩余的动能。（2分）

正确的解法为：

对子弹打入木块的过程：mv0=(M+m)v „„„„„（2分） 得：

vmv0 „„„„„（2分）

Mm 木块沿水平面运动，由动能定理：

解得：x

2m2v0v22g2g(Mm)21(Mm)v2(Mm)gs „„„„„（3分） 2 „„„„„„（2分）

14.【解】

（1）对A、B的碰撞，由动量守恒：MV0=2MV1 V1=V0/2 „„„„„（3分） （2）当小球C摆角达到最大时，C与两车速度相等 „„„„„（2分） 系统水平方向动量守恒 MV0=（2M+m）V2 „„„„„（4分） V2=V0 „„„„„（1分）

（3）对小球的上摆过程，根据能的转化和守恒定律： mgL(1cos) 得：

4911222MV1(2Mm)V2 „„（4分） 222V0 L „„„„„（1分）

9g

两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为 m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0（见图）．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

B b d 11

v0 a c 2（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，棒cd的加速度是多少？

如图所示，光滑水平面上有一个静止的质量为M的小车，它的上表面是由水平面连接1/4圆弧的光滑曲面。一个质量为m的小物块以水平初速度v0进入小车，求： （1）小车获得的最大速度 （2）物体上升的最大高度。

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