2015-2016学年浙江省台州中学高二下学期期中考试数学试卷

高二 数学

第I卷 (选择题，共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题．．．．目要求的．）

1．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为

A．3

5

3 B．C5

3 C．A5 D．5

3

2．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取

2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为

A．

51011 B． C． D．1 212121223．若a,bR，则复数(a4a5)(b2b6)i表示的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为 A．2

B．

1414 C． D．2 535．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球

B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”

6．某班级有一个7人的小组，现选出其中3人互相调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有 A．35种 B．70种 C．210种 D．105种 7．将5封信投入3个邮箱，每个邮箱至少投1封，不同的投法有

A．125种 B．81种 C．150种 D．240种 8．定义在(,)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且当x(0,)时， 222f(x)sin2xf(x)cos2xf(x)，若af()，b2f(0)，c3f()，

36则a,b,c的大小关系是 A．abc

B．cba C．acb D．bca

第II卷（非选择题，共110分）

二、填空题：（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．把正确答案填在答题卷相应横线上．) 9．若5个同学排成一排，其中甲、乙不相邻的有 排法． 10．若复数z页

43i，则复数z的虚部为 ，复数z(2i)的模为 ． 2i1第

4611．已知An，且(2x3)a0a1(x1)a2(x1)an(x1)， 24Cnn2n则n= ，a1a2a3an= ． 12．若直线yx1与曲线fx1xeb相切于点A(0,1)，则实数a ，b ． a13．已知O是边长为1正四面体ABCD内切球的球心，且AOxAByACzAD

(x,y,zR)，则xyz ，AOAB ．

14．9人排成3×3方阵(3行，3 列)，从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这 3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为 ．（用数字回答）

15．已知奇函数f(x)axbxcxd，(a,b,c,dR)，满足f(1)1，若对任意的 x[1,1]，都有f(x)1成立，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分14分）已知复数z1(a1)(2a)i，z22a1(12a)i

(其中i为虚数单位，aR)，若z1z2为实数， （1）求实数a的值； （2）求z1z2z1

17． （本小题满分15分） 已知(12x)n的展开式中,某一项的系数是它前一项系数

的2倍,而又等于它后一项系数的

5． 6201632z22的值．

（1）求展开后所有项的二项式系数之和； （2）求展开式中的有理项．

页

2第

18． （本小题满分15分） 如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB

于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））． （1）求证：PB⊥DE；

（2）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．

19． （本小题满分15分） 在数列an中，a11，a2 （1）求a3,a4，猜想an的表达式，并加以证明． （2）设bn

120． （本小题满分15分）已知f(x)xlnxax2a．

2页

3第

(n1)an1,(n2)． ，且an1nan4anan1anan1，求证：对任意的自然数nN*，都有b1b2bnn． 3(Ⅰ)当a1时，判断函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若函数F(x)f(x)x有两个不同的极值点x1,x2． (i)求实数a的取值范围； (ii)求证：f(x2)2．

台州中学2015学年第二学期期中试题参考答案

高二 数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

DBDA CBCC 二、 填空题（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．）

9． 72 10． 2 5 11． 10 0 12． 1 2

3113． 4 2 14． 468 15．

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．） 16.（本小题满分14分）（1）a1； （2）2i

1-，42

rr1r1Cr,n22Cn217.（本小题满分15分）解：根据题意，设该项为第r+1项，则有rr5r1r1

Cn2Cn2,6r1n2r1,CrnCn,r4, 即r5r1 亦即n! 解得  …………（5分） 5n!,n7.CC，nr!(nr)!3(r1)!(nr1)!n3（1）所有项的二项式系数和为27128． ……………………（10分） （2）展开式的通项为Tr1C2x,r7且rN． 于是当r=0, 2, 4, 6时，对应项为有理项，

0022即有理项为：T1C072x1，T3C72x84x，

r7rr2442663T5C72x560x2，T7C72x448x3． ……………………（15分）

18. （本小题满分15分）

（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，

∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；……………………（6分） （Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，

∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系（如图）， 设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分） 可得

，

，

页 4第

设面PBC的法向量，

∴令y=1，可得x=1，z=

因此∵

是面PBC的一个法向量， ，PD与平面PBC所成角为30°，

∴，即，

解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为． ……………………（15分）

19. （本小题满分15分） （1）解：（1）容易求得：a3故可以猜想an11，a4. ………………………（2分） 7101（nN*）， ………………………（4分）

3n21(kN*) 3k2下面利用数学归纳法加以证明：

① 当n1时，结论成立，假设当nk时，结论也成立，即ak②当nk1时，由题设与归纳假设可知：

1(k1)akk1k113k-2= ak1=21kak3k2k1(3k1)(k1)3(k1)2k3k-21即当nk1时，结论也成立，综上，对nN*,an成立。………………………（8分）

3n-2(k1)anan1anan111113n23n1==(3n13n2)

113n13n233n23n113n13n2)=(3n11)

3（2）bn所以b1b21bn(41741073所以只需要证明(3n11)13n3n13n1 33n13n23n1023n（显然成立）

所以对任意的自然数nN*，都有b1b2bn5第

n ………………………（15分） 3页

.

20. （本小题满分15分）

（1）f(x)的定义域为(0,)．

1由f(x)xlnxax2a(a0)得f(x)lnx1ax，

211， x当x1时，g(x)0，g(x)单调递减；当0x1时，g(x)0，g(x)单调递增； 当a1时f(x)lnx1x，设g(x)lnx1x，则g(x)所以g(x)maxg(1)0，即f(x)0恒成立，所以f(x)在(0,)上为递减函数．…………………（5分）

1（2）（i）F(x)f(x)xxlnxax2xa

2若F(x)有两个极值点x1,x2，则F(x)lnxax0有两根x1,x2， 即alnx有两根x1,x2． xlnx1lnx， ,h(x)2xx设h(x)1当xe时h(x)0,h(x)单调递减；当0xe时h(x)0,h(x)单调递增；h(x)maxh(e)，

elnx1恒为正值，所以a的取值范围是(0,),且x1ex2 ………………………（10分）

exlnx1lnx2(ii)此时，a， x1x2且当x1时，

11lnx22lnx2f(x2)x2lnx2ax22ax2lnx2x2

22x2x2lnx2111x2lnx22x2lnx22lnx22lne2，故结论成立．………………（15分） 2x22x2

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