非参数统计·王兴_第三章习题部分作业

（1）H0:Me10H1:Me10

>t1<-c(22,9,4,5,1,16,15,26,47,8,31,7) > binom.test(sum(t1<10),length(t1),0.5)

Exact binomial test

data: sum(t1< 10) and length(t1)

number of successes = 6, number of trials = 12, p-value = 1

alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5

95 percent confidence interval: 0.2109446 0.7890554 sample estimates:

probability of success 0.5

（2）用Wilcoxon秩和检验进行决策 根据题意，原假设和备择假设分别为：

H0:10H1:10

x<-c(22,9,4,5,1,16,15,26,47,8,31,7) y=10 w1=0 w2=0 z=x-y

r<-rank(abs(z))

for(i in 1:length(x)){ if(z[i]>0){ w1=w1+r[i]} if(z[i]<0){ w2=w2+r[i]} if(z[i]==0){ w1=w1+0 w2=w2+0} }

w=min(w1,w2)

dwilcoxonfun=function(N){

a=c(1,1) n=1

for(i in 2:N){ t=c(rep(0,i),a) a=c(a,rep(0,i))+t }

p=a/(2^N) p }

N=length(z)

pvalue=sum(dwilcoxonfun(N)[1:w+1]) pvalue >pvalue

[1] 0.1503906

由Wilcoxon秩和检验结果，P值=0.150>0.05，不能拒绝原假设。因此可以认为顾客在超市购买的商品平均件数为10件。

符号检验的P值过大（=1）而Wilcoxon秩和检验的P值较大，均不能拒绝原假设，得到的结果相同。当时Wilcoxon秩和检验的P值较符号检验更小，这表明在对称性的假定之下，Wilcoxon符号秩检验采用了比符号检验更多的信息，因而可能得到更可靠的结果。 3.2

H0:P(M)P(F)，该疾病得病的男女比例为1:1 H1:P(M)P(F)，该疾病得病的男女比例不为1:1

用大样本的符号检验，设患病男性人数为S，S150；患病女性人数为S，

S200。n350，计量：

nn175，由于S，所以取负修正，于是可得检验统22SZn1222.726Z1.96

0.05n4检验结果拒绝原假设，因此我们认为该疾病得病的男女比例不为1:1。 3.3

H0：该城市死亡率无逐年上升的趋势 H1：该城市死亡率有逐年上升的趋势

对所给数据作Cox-Staut趋势存在性检验，R程序如下： x<-c(17.3,17.9,18.4,18.1,18.3,19.6,18.6,19.2,17.7,20.0,19.0,18.8,19.3,20.2,19.9) n=length(x) d<-c()

if(n%%2==0){ a=n/2

for(i in 1:a){ d[i]=x[i]-x[i+a]}

binom.test(sum(d<0),a,0.5)} if(n%%2==1){ a=(n+1)/2

for(i in 1:(a-1)){ d[i]=x[i]-x[i+a]}

binom.test(sum(d<0),a-1,0.5)} Exact binomial test

data: sum(d < 0) and a - 1

number of successes = 7, number of trials = 7, p-value = 0.01563

alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5

95 percent confidence interval: 0.5903836 1.0000000 sample estimates:

probability of success 1

由Cox-Staut趋势存在性检验可以看到，P值为0.01563<0.05，拒绝原假设，可以认为该城市死亡率有逐年上升的趋势。 3.4

（1）符号检验

H0：两个联赛三分球得分次数无显著性差异 H1：两个联赛三分球得分次数有显著性差异 作符号检验的R程序及结果如下：

> x<-c(91,46,108,99,110,105,191,57,34,81) > y<-c(81,51,63,51,46,45,66,64,90,28) > d<-c()

> for(i in 1:length(x)) + {d[i]=x[i]-y[i]}

> binom.test(sum(d<0),length(d),0.5)

Exact binomial test

data: sum(d < 0) and length(d)

number of successes = 3, number of trials = 10, p-value = 0.3438 alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5

95 percent confidence interval: 0.06673951 0.65245285 sample estimates:

probability of success 0.3

由符号检验结果，P值=0.3438>0.05，不拒绝原假设，即认为两个联赛三分球得分次数无显著性差异。

（2）配对Wilcoxon符号秩检验

设为两个联赛三分球得分次数配对之差的对称中心，则假设检验的原假设和备择假设为：

H0:0H1:0

x<-c(91,46,108,99,110,105,191,57,34,81) y<-c(81,51,63,51,46,45,66,64,90,28) w1=0 w2=0 z=x-y

r<-rank(abs(z))

for(i in 1:length(x)){ if(z[i]>0){ w1=w1+r[i]} if(z[i]<0){ w2=w2+r[i]} if(z[i]==0){ w1=w1+0 w2=w2+0} }

w=min(w1,w2)

dwilcoxonfun=function(N){ a=c(1,1) n=1

for(i in 2:N){ t=c(rep(0,i),a) a=c(a,rep(0,i))+t

}

p=a/(2^N) p }

N=length(z)

pvalue=sum(dwilcoxonfun(N)[1:w+1]) pvalue >pvalue

[1] 0.04101562

由Wilcoxon符号秩检验结果，P值=0.041<0.05，拒绝原假设，即认为两个联赛三分球得分次数存在显著性差异。

（3）符号检验的结论为不拒绝原假设，而Wilcoxon符号秩检验的结论为拒绝原假设。x与y对应差值如下： > z

[1] 10 -5 45 48 64 60 125 -7 -56 53

不拒绝原假设，但是在对称性假定下，Wilcoxon符号秩检验采用了比符号检验更多的信息，因而Wilcoxon符号秩检验拒绝原假设，得到的结果更可靠。 3.5

H0：数据出现顺序随机 H1：数据出现顺序不随机

n=78 n1=42 n0=34 R=36 p<-c() p[1]=0

for(i in 1:min(n1,n0)){

p[2*i]=2*choose(n1-1,i-1)*choose(n0-1,i-1)/choose(n,n1)

p[2*i+1]=(choose(n1-1,i-1)*choose(n0-1,i)+choose(n1-1,i)*choose(n0-1,i-1))/choose(n,n1)}

pvalue=min(sum(p[1:36]),sum(p[36:length(p)])) 输出结果： pvalue

[1] 0.06581607

不拒绝原假设，因此认为数据出现顺序是随机的，即该信号是纯粹随机干扰。 3.6

H0：机器装的容量是随机的

H1：机器装的容量不是随机的

data<-c(509,505,502,501,493,498,497,502,504,506,505,508,498,495,496,507,506,507,508,505) run<-c() n1=0 n0=0

for(i in 1:length(data)){ if(data[i]>500) {run[i]=1 n1=n1+1} else

{run[i]=0 n0=n0+1} }

n=n0+n1 run > run

[1] 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 R=4 p<-c() p[1]=0

for(i in 1:min(n1,n0)){

p[2*i]=2*choose(n1-1,i-1)*choose(n0-1,i-1)/choose(n,n1)

p[2*i+1]=(choose(n1-1,i-1)*choose(n0-1,i)+choose(n1-1,i)*choose(n0-1,i-1))/choose(n,n1)}

pvalue=min(sum(p[1:4]),sum(p[4:length(p)])) > pvalue

[1] 0.003869969

由于随机游程检验的P值=0.0039<0.05，拒绝原假设，因此认为该数据出现顺序不随机，即机器装的容量不是随机的。 3.7

H0：0，即减肥计划不成功。 H1：0，即减肥计划成功。

用配对Wilcoxon符号秩检验的R程序如下： x<-c(174,192,188,182,201,188) y<-c(165,186,183,178,203,181) w1=0

w2=0 z=x-y

r<-rank(abs(z))

for(i in 1:length(x)){ if(z[i]>0){ w1=w1+r[i]} if(z[i]<0){ w2=w2+r[i]} if(z[i]==0){ w1=w1+0 w2=w2+0} }

w=min(w1,w2)

dwilcoxonfun=function(N){ a=c(1,1) n=1

for(i in 2:N){ t=c(rep(0,i),a) a=c(a,rep(0,i))+t }

p=a/(2^N) p }

N=length(z)

pvalue=sum(dwilcoxonfun(N)[1:w+1]) pvalue >pvalue

[1] 0.015625

拒绝原假设，从Wilcoxon符号秩检验的结果来看接受备择假设0，因此我们认为减肥计划成功。

【课堂练习1】用Wilcoxon检验x与y是否存在显著差异 x<-c(1.83,0.50,1.62,2.43,1.68,1.88,1.55,3.06,1.30) y<-c(0.878,0.647,0.598,2.05,1.06,1.29,10.6,3.14,1.29) w1=0 w2=0 z=x-y

r<-rank(abs(z))

for(i in 1:length(x)){ if(z[i]>0){ w1=w1+r[i]} if(z[i]<0){ w2=w2+r[i]}

if(z[i]==0){ w1=w1+0 w2=w2+0} }

w=min(w1,w2)

dwilcoxonfun=function(N){ a=c(1,1) n=1

for(i in 2:N){ t=c(rep(0,i),a) a=c(a,rep(0,i))+t }

p=a/(2^N) p }

N=length(z)

pvalue=sum(dwilcoxonfun(N)[1:w+1]) pvalue >pvalue

[1] 0.1777344

由于Wilcoxon符号秩检验结果P值为0.178>0.05，因此不拒绝原假设，认为0，也即x-y的对称中心为0，因此认为x和y无显著差异。

【课堂练习2】例3.15求中位数置信区间 scot=scan(file=\"scot.txt\") Walsh.AL.scot<-c()

for(i in 1:length((scot)-1)){ for(j in (i+1):length(scot)){

Walsh.AL.scot<-c(Walsh.AL.scot,(scot[i]+scot[j])/2)}}

Walsh.AL.scot<-c(Walsh.AL.scot,scot) ##Walsh.AL.scot is the Walsh transform

NL=length(Walsh.AL.scot) alpha=0.05

for(k in seq(1,NL/2,1)){

F=pbinom(NL-k,NL,0.5)-pbinom(k,NL,0.5) if(F<1-alpha) {IK=k-1 break}}

sort.Walsh.AL.scot=sort(Walsh.AL.scot) Lower=sort.Walsh.AL.scot[IK]

Upper=sort.Walsh.AL.scot[NL-IK+1] c(Lower,Upper) > c(Lower,Upper) [1] 13.25 14.75