专题42 复数(教学案)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍 Word版含解析

1.理解复数的基本概念 2.理解复数相等的充要条件

3.了解复数的代数表示法及其几何意义 4.会进行复数代数形式的四则运算

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义

热点题型一 复数的有关概念 例1、（2018年浙江卷）复数

(i为虚数单位)的共轭复数是

A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 【答案】B 【解析】

，∴共轭复数为

，选B.

，则a=

【变式探究】【2017山东，理2】已知aR,i是虚数单位，若（A）1或-1 （B）7或-7 （C）-3 （D）3 【答案】A 【解析】由

得a234，所以a1，故选A.

【变式探究】 (1)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( ) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i

10

(2)设i是虚数单位，若复数a－3－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】（1）D （2）D

【提分秘籍】

处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。 学……%科网

【举一反三】

b

设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋i为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B

bb

【解析】ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋i＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋i＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B。

热点题型二 复数的几何意义

(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) 例2、(1)复数z＝i·

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2－i

(2)复数z＝iA．25 B.41 C．5 D.5

【答案】（1）B （2）C

【解析】(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限。 4－4i－13－4i3－4ii4＋3i(2)∵z＝＝i＝＝－1＝－4－3i， ii·i∴|z|＝

－4

2

2

(i为虚数单位)，则|z|＝( )

＋－3

2

＝5。

【提分秘籍】

→→

(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ。

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。

提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离。

【举一反三】

如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )

A．A B．B C．C D．D 【答案】B

热点题型三 复数的运算 例3．（2018年全国Ⅲ卷理数）A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

，故选D.

【变式探究】【2017课标1，理3】设有下面四个命题

1p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；

zp3：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2；p4：若复数zR，则zR.

其中的真命题为 A.p1,p3

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

【答案】B 【解析】令当zi时，因为当z1z2i时，满足

，则由

得b0，所以zR，故p1正确；

，而ziR知，故p2不正确；

，但z1z2，故p3不正确；

对于p4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确，故选B. 3＋i

【变式探究】(1)已知复数z＝1－3i(2)

2＋2i5－4i

3

2，

z是z的共轭复数，则z·z＝__________。

4＋5i

＝__________。 1－i

i

(3)已知复数z满足z＋i＝2－i，则z＝__________。

＝－42i。

i2＋iii2113

(3)由z＋i＝2－i，得z＝2－i－i＝－i＝5i－5－i＝－5－5i。 5【提分秘籍】

利用复数的四则运算求复数的一般思路

(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可。 (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简。 学……&科网 (3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解。 【举一反三】

2

设z＝1＋i，则z＋z2等于( ) A．1＋i B．－1＋i C．－i D．1－i

21－i222

22

【解析】z＋z＝1＋i＋(1＋i)＝1＋i1－i＋2i＝

1－i

＋2i＝1－i＋2i＝1＋i。 2

【答案】A

1. （2018年全国Ⅲ卷理数）A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

2. （2018年浙江卷）复数

，故选D.

(i为虚数单位)的共轭复数是

A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 【答案】B 【解析】

，∴共轭复数为

，则

，选B.

3. （2018年全国I卷理数）设A. B. C. D. 【答案】C

4.（2018年全国Ⅱ卷理数） A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

选D.

的共轭复数对应的点位于

5. （2018年北京卷）在复平面内，复数A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】

的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D.

6. （2018年江苏卷）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．

【答案】2

【解析】因为，则，则的实部为.

7. （2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线 (为参数)与该圆相交于A，

B两点，则

【答案】

的面积为___________.

8. （2018年天津卷）i是虚数单位，复数【答案】4–i

【解析】由复数的运算法则得：

1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题

___________.

.

1p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；

zp3：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2；p4：若复数zR，则zR.

其中的真命题为 A.p1,p3 【答案】B

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

【考点】复数的运算与性质 2.【2017课标II，理1】

3i（ ） 1iA．12i B．12i C．2i D．2i 【答案】D

【解析】由复数除法的运算法则有：【考点】复数的除法

3.【2017山东，理2】已知aR,i是虚数单位，若

（A）1或-1 （B）7或-7 （C）-3 （D）3 【答案】A 【解析】由

得a234，所以a1，故选A.

，则a=

，故选D。

4.【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣= A．

1 2 B．

2 2

C．2

D．2

【答案】C

【解析】由题意可得：zz1z2i ，由复数求模的法则：1 可得：

z2z11i .

5.【2017北京，理2】若复数是

在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围

（A）（–∞，1） （B）（–∞，–1） （C）（1，+∞） （D）（–1，+∞） 【答案】B

【考点】复数的运算 1.【2016新课标理】设

其中x,y实数,则xyi=( )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B 学……&科网 【解析】因为

所以

故选B.

2.【2016高考新课标3理数】若z12i，则

4i（ ） zz1(A)1 (B) -1 (C)i (D) i 【答案】C 【解析】

，故选C．

3.【2016高考新课标2理数】已知取值范围是（ ）

在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的

， （B）(1，3) （C）(1,+) （D）(-，3) （A）(31)【答案】A

【解析】要使复数z对应的点在第四象限应满足：m30，解得3m1，故选A.

m104.【2016年高考北京理数】设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则

a_______________.

【答案】－1 【解析】

5.【2016高考山东理数】若复数z满足（A）1+2i 【答案】B

（B）12i

，故填：－1

其中i为虚数单位，则z=（ ）

（C）12i

（D）12i

【解析】设zabi，则

，故

，则z12i，选B.

，则

6.【2016高考天津理数】已知a,bR，i是虚数单位，若【答案】2

a的值为_______. b

7.【2016高考江苏卷】复数【答案】5 【解析】

其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.

，故z的实部是5

，则a（ ）

1.【2015高考新课标2，理2】若a为实数且 A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由已知得

，所以

3，解得a0，故选B．

2.【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数i2( ) i（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i 【答案】C 【解析】

，选C.

3.【2015高考广东，理2】若复数zi32i ( i是虚数单位 )，则z（ ）

A．32i B．32i C．23i D．23i 【答案】D．

【解析】因为zi32i23i，所以z23i，故选D． 4.【2015高考新课标1，理1】设复数z满足

1z=i，则|z|=( ) 1z（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】A

5.【2015高考北京，理1】复数i2i（ ） A．12i 【答案】A

【解析】根据复数乘法运算计算得：

6.【2015高考湖北，理1】 i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） ．．．．

A．i B．i C．1 D．1 【答案】A 【解析】

,所以i607的共轭复数为i，选A . ．．．．

，故选A.

B．12i

C．12i

D．12i

7.【2015高考山东，理2】若复数z满足

zi，其中i为虚数为单位，则z=（ ） 1i（A）1i （B）1i （C）1i （D）1i 【答案】A 【解析】因为

zi，所以，1i ，所以，z1i 故选：A.

8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数

2i在复平面内所对应的点位于（ ） 1i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B 【解析】由题意选B.

9.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3

【解析】由abi3得，即a2b23，所以

.

，其对应的点坐标为(1,1)，位于第二象限，故

10.【2015高考天津，理9】i是虚数单位，若复数 .

是纯虚数，则实数a的值为

【答案】2 【解析】

是纯虚数，所以a20，即a2.

11.【2015江苏高考，3】设复数z满足z234i（i是虚数单位），则z的模为_______. 【答案】5 【解析】

12.【2015高考湖南，理1】已知

（i为虚数单位），则复数z=（ ）

A.1i B.1i C.1i D.1i 【答案】D. 【解析】由题意得，

13.【2015高考上海，理2】若复数z满足【答案】

，故选D.

，其中i为虚数单位，则z ．

11i 42，则

【解析】设

【2015高考上海，理15】设z1，z2C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1z2是虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B

（2014·浙江卷）已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A

22a－b＝0，a＝1，a＝－1，

【解析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或2ab＝2，b＝1b＝－1.故选A. 

10i（2014·全国卷）设z＝3＋i，则z的共轭复数为( )

A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 【答案】D

1＋i2

（2014·北京卷）复数1－i＝________．

【答案】－1

（1＋i）1＋i222i2

【解析】1－i＝（1－i）（1＋i）＝2＝－1. （2014·福建卷）复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于( ) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 【答案】C

【解析】由复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数z的共轭复数z＝2－3i. （2014·广东卷）已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝( ) A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i 【答案】D

【解析】本题考查复数的除法运算，利用分母的共轭复数进行求解． 因为(3＋4i)z＝25，

25（3－4i）25

所以z＝3＋4i＝（3－4i）（3＋4i）＝3－4i.

2

1－i2

（2014·湖北卷）i为虚数单位，1＋i＝( )

A．－1 B．1 C．－i D．i 【答案】A

1－i2－2i

【解析】1＋i＝2i＝－1.故选A.

z＋i

（2014·湖南卷）满足z＝i(i为虚数单位)的复数z＝( ) 1111A.2＋2i B.2－2i 1111C．－2＋2i D．－2－2i 【答案】B

z＋ii（－1－i）1－ii

【解析】因为z＝i，则z＋i＝zi，所以z＝i－1＝（i－1）（－1－i）＝2.

－－－

10．（2014·江西卷）z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( ) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 【答案】D

11．（2014·辽宁卷）设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( ) A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 【答案】A

5

【解析】由(z－2i)(2－i)＝5，得z－2i＝2－i，故z＝2＋3i. （1＋i）3

12．（2014·新课标全国卷Ⅰ] （1－i）2＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 【答案】D

（1＋i）3（1＋i）2（1＋i）2i（1＋i）【解析】（1－i）2＝＝－2i＝－1－i. （1－i）2

13．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2

＝( )

A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 【答案】A

【解析】由题知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.

14．b∈R，i是虚数单位，（2014·山东卷）已知a，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )

A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 【答案】D

【解析】因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D. 2－2i

15．（2014·四川卷）复数1＋i＝________． 【答案】－2i

2－2i2（1－i）2

【解析】1＋i＝（1＋i）（1－i）＝－2i. 7＋i

16．（2014·天津卷）i是虚数单位，复数3＋4i＝( ) A．1－i B．－1＋i 17311725C.25＋25i D．－7＋7i