第２９卷第４期 兰州文理学院学报（自然科学版） Ｖ０１．２９ Ｎｏ．４ ２０１５年７月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｊｕ１．２０１５ 文章编号：２０９５—６９９１（２０１５）０４—００３３—０４ 非完整统计系统中的概率分布 李亚亚，胡娅娅 （银川能源学院基础部，宁夏银川７５０１０５） 摘要：根据非完整统计的思想，利用最大熵原理，在约束条件下，推导了非广延参数相同和不同情况下正则系 统的统计分布，并借助ＭＡＴＬＡＢ绘制概率分布曲线．结果显示，当约束条件中非广延参数相同时，其概率分布 为指数形式，这与Ｔｓａｌｌｉｓ统计分布的幂率形式显然不一样；当约束条件中非广延参数不相同时，其概率分布不 能精确求解，用图像形式反映出概率与能量之间的趋势． 关键词：非完整统计；统计力学； ＭＡＴＬＡＢ 中图分类号：Ｏ４１４．２ 文献标识码：Ａ 在Ｂｏｌｔｚｍａｎ Ｌ，Ｇｉｂｂｓ Ｊ ｗ等科学家建立起 他现象 ． 来的广延统计力学中，将内能，熵等态函数默认为 由于系统内有大数粒子，粒子之间彼此相互 广延量，但是当考虑二体间长程相互作用时，广延 作用复杂性等的影响，要准确统计微观态可能出 量内能，熵不再是广延量了口］．所谓广延量是指 现的数目是非常困难的．即有 与系统的总粒子数或总质量成正比的量．考虑ｒ 为二体间的距离，它们之间的相互作用势为广 ， ∑ —Ｑ≠１， 空间的维数为ｄ，当０≤导≤１时，相互作用是长 其中 可能大于硼，也可能小于叫；当 ＝ 时， “ 程的；当导＞ｌ时，相互作用是短程的．如万用引 ＥＰ 一１．于是，２００１年Ｑ Ａ Ｗａｎｇ提出了非完 Ⅱ 整统计 。 ，对广延统计力学中的ｓｈａｎｎｏｎ熵进 力，库仑力（ａ一１，ｄ一３）是长程力． 行了变形，得出非完整Ｓｈａｎｎｏｎ熵Ｅ１ ５，１６］，即 １９８８年，巴西科学家Ｃ Ｔｓａｌｌｉｓ（查理斯）通过 对熵进行数学变形ｌ＿２］，提出了具有非广延性的式 ｓ ＝＝＝一是∑ｐ￣ｌｌｎｐ ， 子Ｓ 一ｋ（１一∑ ）／ｑ－１上标 代表非完整统计．由此非完整统计成为非 ｉ＝１ ．在该表达式中，ｓ 称 广延统计力学的又一个分支［１ｓ，１６］． 为Ｔｓａｌｌｉｓ熵，ｑ为非广延参数，忌是Ｂｏｌｔｚｍａｎ常 量，系统中可能出现的微观状态数目为叫，Ｐ 为 １ 基于非完整Ｓｈａｎｎｏｎ熵的Ｅ分布 第ｉ个微观态在系统中出现的概率．以Ｔｓａｌｌｉｓ熵 假设外界与系统之间只有热量的交换，而没 为基础，在Ｔｓａｌｌｉｓ等科学家的共同努力下，建立 有粒子数和质量的交换．那么，体系的体积Ｖ就是 了广义统计力学，也称为非广延统计力学 “］．解 恒定的，同时各微观态的粒子数Ｎ也是恒定的． 决了一些广延统计力学不能解决的问题．如文献 由于外界热源很大，系统在源的作用下，各微观态 ［１］中列出的长程相互作用和长时记忆效应，以 的能量￡ 可能不同，但在系统和源达到平衡时，系 及电子等离子体的二维湍动 书］，等等．同时，当ｑ 统的平均能量Ｅ是一定的ｌ＿】 ，以ｐ 表示系统微观 一１时，由其推导的概率分布回到广延统计力学． 态的概率，我们取约束条件： 还有，概率分布函数以幂率的形式代替了指数形 式，这种幂率形式的概率能够解释众多的物理现 ＥＰ ７—１， （１） ｉ 象，如凝聚态物质中的分形行为或反常扩散， ＤＮＡ和其他大分子的时间相关行为，以及许多其 ∑ —Ｅ． （２） 收稿日期：２０１５－０５—２７． 基金项目：银川能源学院科研基金资助项目（２０１３一ＫＹ—Ｙ～２３）． 作者简介：李亚亚（１９８３一），男，甘肃静宁人，助教，硕士，主要从事物理教学和统计物理研究 ３４ 兰州文理学院学报（自然科学版） 第２９卷 根据非完整统计思想，式子（１），（２）可能具 有不同的ｑ值，这里假定它们在相同的条件下，根 据最大熵原理，我们所求的统计分布应是非完整 Ｓｈａｎｎｏｎ熵 ｓ ＝＝＝一ｋ∑ｐ￣ｌｎｐ ． 约束下取最大值．引入Ｌａｇｒａｎｇｅ函数： （１３） 根据最大熵原理，应是式（１３）在式（１１），（１２）的 ｓ 一一ｋ∑ｐＴｌｎｐ ． （３） Ｌ 一∑ｐ）ｌｎｐ ＋），（∑Ｐ７—１）＋ 在式（３）中，下标ｑ表示非广延参数，上标 表示非完整统计．在约束条件下取极值，就可得到 正则系统的统计分布，也称为Ｅ分布．引入 Ｌａｇｒａｎｇｅ函数： Ｌ一一 ＋）一一 ＋），（∑Ｐ７（＞： 一）Ｐ７—１）＋ ＋ 』９（∑ＰＴｅ 一Ｅ）． （４） 求条件极值， ０Ｌ一。，得 户 一 ， ㈣ Ｚｑ（ ，Ｎ， ）＝［∑ｅｘｐ（一卢ｑ￡ ）］ 。，（６） 其中 ，），是Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子．（５）、（６）分别为Ｅ分 布的概率分布函数和配分函数．而Ｔｓａｌｌｉｓ统计的 概率分布为幂率形式，这一点有明显的不同Ⅲ． 将（５）带人（３），并应用（１）、（２），可将式（３）化为 ｓ 一是［ ＋ｌｎＺ。（ ，Ｎ，Ｖ）］． （７） 依据热力学基本关系： （ ） 一 一亍１， （８） 可得 一寿・ （。 则系统的平均热力学公式为 Ｅ一一Ｏ＠ｌｎｚ （ ，Ｎ， ）， （１０） 其中，Ｔ为绝对温度，ｋ为玻尔兹曼常数．很显然， 当ｑ一１时，就回到广延统计力学． ２ 不同非广延参数下的Ｅ分布 由于系统内粒子相互作用的复杂性，根据非 广延统计的思想，不论是约束条件，还是非完整 ｓｈａｎｎｏｎ熵所对应的非广延参数可能不相同，由 此将式（１），（２），（３）改为： ∑ｐ 一１， （１１） ∑倦 一Ｅ， （１２） 卢（∑船 一Ｅ）． （１４） 求条件极值，．Ｏ Ｌ＇一Ｏ，得 ｄ口 ｌｎ ：＝： 丛 ，ｆＰ 一 （１５） 其中ａ，ｂ，ｃ为不等于零的实数，式（１５）是不同非 广延参数下Ｅ的分布函数．由于ａ，ｂ，ｃ取值的变 化性，要计算某一能量为￡ 的微观态所对应的概 率Ｐ 是非常困难的．但是，借助于ＭＡＴＬＡＢ强大 的计算功能、绘图函数，就能很容易解决计算中的 困难．下面对ａ，ｂ，Ｃ进行赋值绘图，如图１． １ ０．９ ０．８ ０．７ ０．６ 《０．５ ０．４ ０．３ ０．２ ０．１ Ｏ （ｂ） 图１ 对“。ｂ。ｃ取相同值和不同值时的概率分布图 第４期 李亚亚等：非完整统计系统中的概率分布 ３５ １ ｌ Ｏ．９ ０．８ ０。７ ０．６ ０．５ Ｏ．４ ０。３ ０ Ｏ ０ ０ Ｏ ０．９ ０．８ ０．７ ０．６ Ｏ ５ ０．４ ０．３ ０．２ ０．１ ０ ０．２ Ｏ．１ Ｏ 图２ 保持６＝ｃ，且ｎ取不同值时的概率分布图 ｌ｝’～ …… ～一一 ｌ｝……一 ～７～ 】 １ ～一ｉ～ ～ 一～一］ １ 一 ｊ…一 ０．９ｌ ｛ ： ｆ ｆ ０．９ ｊ 《？ １ ｉ ０．９ｆ ｉ ： ｌ１ １０．９ ｛ ａ＝２ －０．８ ｝ ０．７ ｝ 《ｉ ｎ：２ ｆ｛ ０．８ ｌ０．７｝ Ｉｆ口：２ ｆ ｉｆ ６一ｌ１ 』 ｝ｊ ｆｌ ０．８ ｛ ０．７ ｌ ｏ．５； ａ ２ ｌ ６：ｌ １ ｝ ｉ ０．８ ｒ ２ ｉｉ — １ ０．７｝ ｉ ６ ｝ ０，５ １ ； ０．６ ｌ ｏ．５｝ ｉ ｆ 《ｏ・ ｝ Ｉｏ．５｝ 。 《ｏ．６ ；ｉ １ ｏ．４｝ ： Ｉ｛ － ２ ｛ 《ｏ ８ ｝ ｛ｊ ：０．４｝ ｆ ； ０．４ Ｉ ｌｌ ； ０．４ ；０．３ ｝ 【 ：ｏ．３ｌ Ｉｉ Ｉｏ．３ ； ； １｝ ｏ．３ｉ Ｉ ｏ．２ ０．１ｌ ０Ｉ—ｊ …～一一一５ ０ ５ ～ｏ．２ｆ ０．１｝ ０ Ｌ—Ｌ —５ Ｉ｛ ｛ ｌｏ．２ ０．１ 。 ｏ． Ｉ １ ｉ０．１ 、 ｊ一￡一一一 ０ ５ ０ －－－一一ｉ ～…ｆ—Ｊ —５ Ｏ ５ ０ Ｊ 一 一： —５ ０ ５ 卢￡ ｐ￡ 筘￡ 奔￡ 图３ 保持ｎ—ｃ，且ｂ≠０，ｂ取不同值时的概率分布图 ｌ … ｌｌ ｌ １． ｒ； ： ｆｉ ０ ０ ０ Ｏ．９ 』 ｊ ｝０．９； ； ｝｝０．９ ：ｉ ０ ０・８＿ ｉｊ ｄ＝２｛０．８ ：ａ＝２ ｝ ｛ ０．８ 口 ２ ｊ ｏ ａ＝２ ０．７ ／ ６＝２ ０．７ ｂ＝２ １ ０．７ ｆｂ－２ ｊ ０ ｂ＝２ ｃ＝３ ０ ０ ０ ０ ０ ｏ・６ ／ ＝一１ ｛ 《ｏ．６ ０．５ ｉ０．５ ｌ ｛ 《ｏ．６ ０．５ ＝２ ； ≮ｏ ０ ０． ０¨。３ Ｌ； １ Ｉ Ｉ０．４ ｊ ０．３ ｊ； ｛ ｌ ｛ ０． ！ｊ ｛ ｌ ｌ０ ０ １ 『 ０，３ ０．２ １ ０．２ ０．２ ｊ ０ Ｏ ０ｉ １ｉ ．一 Ｉｌ ｛０．１ ０。、 ｊ 、、 ４ ｌ ０．１ ：ｌ ＼、 ； ０ ５ ０ ５ Ｏ ……一～一一ｉ ５ ０ ５ Ｌ１ ０ 一…… 一 ２ 一－ —５ ０ ５ 一＊５ ０ ５ 芦￡ 口ｅ 口￡ 声￡， 图４ 保持ｎ—ｂ。且ｃ≠０。ｂ取不同值时的概率分布图 ３６ 兰州文理学院学报（自然科学版） 第２９卷 ３ 结论 根据非完整统计思想，对不同的非广延参数 赋值，借助ＭＡＴＬＡＢ的绘图功能，形象地解决了 实际计算中的困难．从图１可以看出，当ａ—ｂ：ｃ ≠１时回到式（５），（６）所反映的结果；当ｎ—ｂ— ｍａｓ ｂｙ ｒｏｔａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ Ｒｅｖ Ｌｅｔｔ， １９９７，７８：８７５－８７８． ［７］ＡＮＴＥＮＥＯＤＯ Ｃ，ＴＳＡＬＩ ＩＳ Ｃ．Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ ｉｎ ｐｕｒｅ—ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｐｌａｓｍａ：Ａ ｎｏｎｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｔｈｅｒｍｏｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ Ｍｏｌ Ｌｉｑ，１９９７，７１： ２５５—２６７． ［８］ＴＳＡＬＬＩＳ Ｃ，ＭＥＮＤＥＳ Ｒ Ｓ，ＰＬＡＳＴＩＮＯ Ａ Ｒ．Ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｗｉｔｈｉｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｎｏｎｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｃ一１时便回到广延统计力学．若保持非广延参数 两个不变或者相等，另外一个非广延参数取不同 值时，从图２，图３，图４中就能观察出概率随能量 的分布趋势．但具体涉及到自然界的某种复杂物 理现象，ａ，ｂ，ｃ到底取什么值，且ａ，ｂ，ｃ的值具体 有什么样的物理意义，是一个开放性问题，有待于 做深入的研究． ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，１９９８，２６１：５３４—５５４． ［９］Ｑｉｕｐｉｎｇ Ａ．Ｗａｎｇ．Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｎｏｎｅｘ— ｔｅｎｓｉｖｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｊ］． Ｃｈａｏｓ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ ａｎｄ Ｆｒａｃｔａｌｓ，２００１，１２：１４３１—１４３７． Ｑｉｕｐｉｎｇ Ａ．Ｗａｎｇ．Ｎｏｎｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｉｎ— ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｅｕｒｏ Ｐｈｙｓ Ｊ Ｂ，２００２（２ ６）： ３５７—３６８． Ｑｉｕｐｉｎｇ Ａ．Ｗａｎｇ．Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｆｒａｃ— 参考文献： ［１］杨斌，王亚妮，李鹤龄．非广延性对传统广延统计力学 的几点修正［Ｊ］．西南师范大学学报：自然科学版， ２０１３，３８（Ｉ１）：ｉ－２． ｔａｌ ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ ａｎｄ Ｆｒａｃｔａｌｓ， ２００４（１９）：６３９—６４４． 李亚亚，胡娅娅．非完整统计在完全开放系统中的概 ［１２］ 率分布Ｉ－ｊ］．大理学院学报，２０１３，ｌ２（４）：３４． Ｑｉｕｐｉｎｇ Ａ．Ｗａｎｇ．Ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ ｅｌｅｃｔｒｏｎｓ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌ— ［１３］ ｒ ２］ＴＳＡＬＬＩＳ Ｃ．Ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ— ｉｚｅｄ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｉ－Ｊ］．Ｅｕｒｏ Ｐｈｙｓ Ｊ Ｂ，２００３（３１）：７５—７９． Ｑｉｕｐｉｎｇ Ａ．Ｗａｎｇ．Ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔａ— ［１４］ ｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｇｉｂｂｓ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ［Ｊ］．Ｊ Ｓｔａｔ Ｐｈｙｓ，１９８８，５２（１－２）：４７９— ４８７． ［３］李鹤龄，宋金国，雷润洁．非广延统计力学与完全开放 ｔｈｅｏｒｙ口］．Ｅｎｔｒｏｐｙ，２００３（５）：２２０—２３２． 欧聪杰．非广延统计物理中的四个基本问题与广义 ［１５］ 系统的统计分布［Ｊ］．大学物理，２０１０，２９（５）：１７—２２． ［４］曹克非，王参军．Ｔｓａｌｌｉｓ熵与非广延统计力学［Ｊ］．云 南大学学报：自然科学版，２００５，２７（６）：５１４—５２０ ｒ５］ＨＵＡＮＧ Ｘ Ｐ，ＤＲＩＳＣＯＬＬ Ｃ Ｆ．Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｏｆ ２Ｄ ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅ ｔｏ ａ ｍｅｔａｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｎｅａｒ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｅｎ— 量子气体的热力学性质［Ｄ］．厦门：厦门大学，２００６． Ｉ Ｉ Ｈｅ－ｌｉｎｇ．ＸＩＯＮＧ Ｙｉｎｇ。ＬＩ Ｙａ—ｙａ．Ｔｓａｌｌｉｓ ｓｔａｔｉｓ— ［１６］ ｔｉｃａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｏｐｅｎ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，２Ｏ１１（３９０）：２７６９—２７７５ ｓｔｒｏｐｈｙ ｓｔａｔｅ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ Ｒｅｖ Ｌｅｔｔ，１９９４，７２：２１８７— ２１９１． ［１７］ 张奎，李鹤龄．统计热力学［Ｍ］．银ＪＩＩ：宁夏人民出版 社，１９９９：９０． ｒ６］ＨＵＡＮＧ Ｘ Ｐ，ＡＮＤＥＲＥＧＧ Ｆ，ＨＯＩ ＬＭＡＮＮ Ｅ Ｍ， ｅｔ ａ１．Ｓｔｅａｄｙ Ｓｔａｔｅ ｃｏｎｆｉｎｅｍｅｎｔ ｏｆ ｎｏｎ－ｎｅｕｔｒａｌ ｐｌａｓ— ［责任编辑：赵慧霞］ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｔｈｅ Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ＬＩ Ｙａ—ｙａ．ＨＵ Ｙａ—ｙａ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ Ｅｎｅｒｇｙ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ ７５０１０５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｖｉｅｗ ｏｆ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｅｎｔｒｏｐｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｉｔ ｄｅｒｉｖｅｄ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｅｎｓｅｍｂｌｅ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒ— ｅｎｔ ｎｏｎｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｎｏｎｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓ— ｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ ａｒｅ ｐｌｏｔｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ＭＡＴＬＡＢ．Ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｓ，ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｎｏｎ—ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｐａｒａｍｅ— ｔｅｒｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｖａｌｕｅｓ，ｉｔｓ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｆｏｒｍ．Ｔｈｉｓ ｉｓ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｒａｔｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｔｓａｌｌｉｓ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｎｏｎ—ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ，ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃａｎ ｎｏｔ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．Ｔｈｅ ｔｒｅｎｄ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｂｙ ｉｍａｇｅ ｆｏｒｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ；ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ＭＡＴＬＡＢ
