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自适应控制

来源：乌哈旅游

第一章概述

1.1 自适应控制的研究对象

自适应控制是研究具有“不确定性”的控制系统的特性分析和综合（控制器设计）。

1. 系统不确定性产生的原因 1）内部不确定性

（1）被控对象的结构（阶次）和参数由于建模误差引起的不确定性。

（2）被控对象的结构（阶次）和参数或者动态特性是时变的或随工作作条件改变而变化。 2）外部不确定性

被控对象的运行环境（外部干扰）是随机信号而且它们的统计特性不确切知道或者是时变的。 2. 系统“不确定性”的数学描述 1）状态方程

设一个线性离散时间系统，其状态方程如下：

x(k1)A(,k)x(k)B(,k)u(k)(k) (1.1-1)

y(k)C(,k)x(k)v(k)

式中：

x(k)——状态向量 n1y(k)——输出向量 r1 （r由传感器数量决定）

u(k)——控制向量 m1 （m由执行机构决定）

{(k)——}单位动态噪声}称为随机序列，其统计特性未知{u(k)——}测量噪声

A(,k)，B(,k)，C(,k) 分别为系统矩阵，输入矩阵，输出矩阵，其维数为

nn,nm，vn。

k——离散时间，k~kT。其中T为采样周期。

——S维未知参数向量，可能A，B，C中未知参数不同，为了简单起见，都设为S维。

2）系统框图

根据（1.1-1）式可以画出被控对象的结构框图。

(k)x(k1)x(k)Z1C(,k)v(k)u(k)B(,k)y(k)A(,k)

图 1.1-1 被控对象的结构框图

1图中z是时间延迟因子，x(k)zx(k1)，噪声{(k)}和{v(k）}作用于对象的不同部位，对

1于线性系统，可以等效于作用在输出端的一个噪声。其统计特性例如期望值、相关函数等由于不确定性而未知，或随时间变化。

1.2 自适应控制系统的结构分类

1 克服被控对象不确定性的方法

通常采用两种方法：①在线辨识参数；②设定参考模型。

1）在线辨识对象的参数，一般采用递推算法，不辨识对象的阶次（结构），修改控制器得参数，称为

自矫正方法。

2）设定参考模型，它代表给定的性能指标，将实测的性能指标和给定的性能指标进行比较，得到广义

误差，由他来修改控制器规律，称为参考模型方法。 2 按结构分类

由上述克服不确定性的方法将自适应控制系统分为两大类：

1）自校正调节（控制）系统（Self-Tuning Regulator-Controller）通常自适应系统的结构框图如图1.2-1所示。由图看以看出：

② 常规控制系统比较增加了参数辨识和控制器设计两个部分，称为自适应环节。

②它的结构呈现双环系统，内环为常规反馈系统构成参数可调整系统；外环为自适应环节，它调整

控制器参数，以达到性能最优或次优。

v(k)yr(k)e(k)u(k)y(k)被控对象控制器y(k)内环外环调节器参数计算ˆ(k)xu(k)ˆ(k)自适应环节参数辨识y(k)

图1.2-1 自校正控制系统框图

上图为显式结构，当参数辨识环节直接辨识控制器参数时，两个方框合二为一，形成隐式结构。 ③参数自适应环节估计器输入控制信号u(k)和对象输出y(k)，计算出对象的状态估计值x(k)和

参数的估计值(k)（个参数未知或时变）。由估计值x(k)和(k)来修改控制规律。

2）模型参考自适应控制系统）（MRAC）

(Model Reference Adaptive Control System — MRACS)

这类自适应控制系统结构框图如图1.2-2所示。由图可以看出：

① 它有一个参考模型（Reference Model）。它是要求（期望）性能指标的代表，其输入为

ˆˆˆˆyr(k)输出

ym(k)是期望输出的表示，也可以是某种性能指标。

v(k)yr(k)控制器u(k)内环y(k)被控对象y(k)e(k)ym(k)参考模型外环自适应机构

图1.2-2 模型参考自适应控制系统结构框图

② 它也可以看成是双环系统，内环是通常的反馈，外环调节控制器参数和结构，为自适应闭环。它的

输入为广义误差e(t)，可能是输出的偏差，也可能是某种性能指标的误差，称为广义误差。

③ 由广义误差和参考输入来按照某种规律来修改控制器的参数，称为自适应结构。只要

系统就达到了优化状态。 1.3 自适应控制的理论问题

自适应控制系统是具有非线性、时变参数和随机干扰等特性，内部机理相当复杂的系统。理论

分析和研究落后于应用。目前各种各样的结构和算法也逐步得到广泛的应用，但它的理论课题还未彻底解决。主要集中在三性的研究。①稳定性 Stability ②收敛性 Convergence ③ 鲁棒性 Robustness。 1 稳定性：

指系统的状态、输出和参数的有界性。目前的稳定性理论，李雅普诺夫稳定性理论、波波夫稳定

性理论（超稳定性理论）还不能完全处理已有的自适应控制系统稳定性分析。 2 收敛性

指一个自适应算法在指定的初始条件下，能渐进达到预期的目标，而且在此渐进的过程中保持系

统的所有变量有界。 3 鲁棒性

在存在扰动和未建模部分条件下，系统保持其稳定性和优良性能指标的能力。

其它理论问题有：

①自适应速度分析和计算理论；

②自适应控制系统的优化和简化设计； ③非线性对象的自适应控制系统理论。

y(k)ym(k)

第二章自校正控制系统（STC系统）

2.1 被控对象的数学描述（数学模型）（Mathematical Description for Controlled Plant） 1 被控对象的输入输出关系（P8）

被控对象为单输入、单输出线性系统，用下列线性差分方程描述。将微分方程化为差分方程可参看《过程辨识》，p75~p78，方崇智，清华大学出版社。

y(k1)+a y(k)a1n1y(kn1)b0u(kd)bu1(kd1)+bnu(kdn1)（2.1-1）

式中： u(k)，y(k) ——对象输入和输出； n1 ——被控对象的阶次；

k —— 采样时刻，k ~ kT0（T0——采样周期）；

d —— 系统总延迟时间，d ~ dT0，d= L +1，L为对象纯延迟时间，d1，“1”是对

象有惯性环节，离散化结果一定出现一个周期的延迟。

为了书写和运算的方便，引入时间平移因子z，y(k1)z1y(k)，则（2.1-1）式可写成：

1d1 A1(z)y(k)zB1(z)u(k) （2.1-2）

1

式中：

n1zaA1(z)1a1n1z11n11aizii1n1

1zn1biziB1(z1)b0b1z1bni0也可写成： y(k)zdB1(z1)u(k) （2.1-3）

A1(z1)1说明： ① 用z表示时间平移一个采样周期后，（2.1-1）式差分方程可以简化为以z为变量的代数多项式的代数方程；

② 对于z多项式A1 (z)和B1（z）可以进行四则运算，解差分方程可以变为解代数方程。

③ 对象的脉冲传递函数为：

H(z)z1d1111B1(z1) 1A1(z)它和（2.1-3）式

y(k)1 的形式相同，但两者的含义是有差别的。H(z)中的Z是Z平面u(k)（Z变换）上的一点，而（2.1-3）式中为时域变量。 2被控对象运行环境的描述（噪声数学模型）

工业实际中被控对象运行时可能受到各种干扰，作用于对象的不同点，由于对象是线性系统，利用叠加原理，将作用于系统的全部干扰用一个作用于系统输出的等价噪声v(k)来等效。

通常{v(k)}是一个具有有理谱密度的平稳随机信号，它代表很大一类干扰噪声信号。 1)平稳随机序列（过程） Stationary Random Sequence 其统计特性具有时间平移不变特性的随机信号。统计特性是分布函数和数字特征。数字特征有两个：①数学期望；②相关函数（协方差函数）。 (1)数学期望（均值）：描述变化的平稳性。Expectation。

E{v(k)}mv(k)mv或为0；

E{}xfv(x)dx（概率空间的总体平均值）

（2）相关函数:描述变化的相关性（前后相关程度）。Relative Function。 E{v(k)v(k)}Rv(,k)Rv() {R()R()} R(k,)x1x2fv(x1,x2,R,)dx1dx2

若随机过程的数学期望为常数，相关函数与k无关，称为平稳随机过程。 2）谱密度（Spectrum）

自相关函数的傅里叶（Fourier）变换称为平稳随机过程的功率频谱或谱密度。

v()Rv(k)kejkRv(k) （2.1-4）

12v()ejkd （2.1-5）

2当k=0，Rv(0){v2(k)}，设v(k)为电压（或电流），则v(k)为功率（即干扰强度）。由（2.1-5）式得到：

Rv(0)v()d 2，()d的平均值（即除以2）

v平均功率Rv(0)是各种频率噪声的功率总和，

因此v()表示频率为的干扰噪声信号的功率（强度）。也就是说源噪声可以看成各种频率噪声的混合。不同噪声其包含的各种频率信号的大小不同。例如：有的噪声以高频为主，

可以用电容来消除。

3）白噪声（White Noise）

若一随机信号的期望值为0，相关函数为脉冲函数

E{()(k)}{则称它为白噪声。其谱密度为：

2 k=00 k0 ，

()kR(k)ejk2（常数）。

表明它的各个分量的强度都是一样的，相当于白光的光谱在各个频率上有相同的强度。

不具有上述条件的噪声称为有色噪声。

4）随机扰动模型（Stochastic disturbance model）

由谱表示定理可知：对于所有具有有理谱密度的平稳随机过程，都可以用白噪声激励一个稳定的线性的动态系统来产生（或表示）。

设具有有理谱密度的平稳随机信号{v(k）}，它可以表示为：

C1(z1) v(k)(k) （2.1-6） 1A2(z)式中：(k)——均值为0，方差为2的白噪声；

A2(z)1a1zan2z1111n21aizi

i1n2

2zC1(z)C0C1zCnn2Cizi

i0n2多项式A2(z1)的零点（即扰动模型的极点）在单位圆内，产生有理谱密度的随机信号的线性系统是稳定的。

。 C1(z1)多项式的零点在单位圆内或圆上（该线性系统是最小相位的）

3 随机离散差分模型Discrete-time stochastic difference model

将被控对象的输入输出关系和运行环境结合起来，得到完整的数学模型。（2.1-3）和（2.1-6）联合，得到：

y(k)zd11B1(z1)C1(z1)C1(z1)A1(z1)dB1(z)A2(z)u(k)(k)zu(k)(k) 111111A1(z)A2(z)A1(z)A2(z)A2(z)A1(z)或者： y(k)z1dB(z1)C(z1) u(k)(k) （2.1-7）

A(z1)A(z1)d11 A(z)y(k)zB(z)u(k)C(z)(k) （2.1-6）其中：

A(z1)A1(z1)A2(z1)1a1z1anaznaB(z1)B1(z1)A2(z1)b0b1z1bnbznbC(z1)C1(z1)A1(z1)C0C1z1Cncznc7

并且假设 A(z1)、 B(z1)、C(z1)是互质的（即三个多项式没有公因子）。

y(k)a1y(k1)+anay(kna) （2.1-7） b0u(kd)bu(kd1)+bu(kn)(k)c(k1)+c(kn)1nbnb1ncc

说明：①（2.1-7）式包括控制项B(z1)U(k)，还包含有噪声项C(z1)(k)，描述了对象运行环境，它能代表大多数被控的单输入输出生产过程，是经常引用的数学模型，通常称为受控自回归滑动平均模型。CARAM (Controlled Auto-Regressive Moving Average)。

当C(z1)1，（2.1-7）式化为受白噪声干扰的模型，称为受控自回归模型。CAR（Controlled Auto-Regressive）。

②（2.1-7）式中A(z)、B(z)和C(z)多项式的系数不一定相同可能分别为na、（2.1-7）式只是为了书写方便，写成了一般形式。 nb和nc，

③对于多变量系统，y（k），u（k）和(k)分别为p1，q1和p1的输出向量，控制向量和噪声向量。A(z1)、 B(z1)、C(z1)分别为pp，pq，pp维多项式矩阵，而且：

111A(z)IAizi1i1nB(z)B0BizBizi

1ii1i0nnC(z)ICizi1i1n④时间平移算式z，将差分方程简化为代数方程，对于求解更为方便。它和Z变换中的变量一样，但含义完全不同，一个是时间因子，另一个是复变量。对于脉冲传递函数而言，它和（2.1-7）式的形式完全相同。（2.1-7）式描述的被控对象（即CARMA模型）的框图如图2.1-1所示。

1(k)C(z1)A(z1)u(k)zdB(z1)A(z1)y(k) 8

图2.2-1 被控对象框图

对于多变量系统MIMO用矩阵差分方程来表示：

A(z1)y(k)zdB(z1)u(k)C(z1)(k) （2.1-8）设na=2，y(k)的维数p=2，q=2。nb=1，nc=0，d=2.

a111a112a211a212A1 A2a

aaa121122221222bbbbB0011012 B1111112

b121b122b021b022 由（2.1-8）式得到：

(IA1z1A2z2)y(k)(B0z2B1z3)U(k)(k)

1a111z1a211z2a112z1a212z2y1(k)121a122z1a222z2y2(k)a121za221z

2323bzbzbzbzU(k)(k)011211130122112311b022zb122zU2(k)2(k)b021zb121z

2.2 最小二乘法参数估计（Least Square Parameter Estimation） 1 一次完成最小二乘法（批量算法） 1）设被控系统模型为：CAR模型描述。

A(z)y(k)B(z)u(k)(k) （2.2-1）式中：

11

将（2.2-1）式写成：

y(k)a1y(k1)a2y(k2)any(kn)b0u(k1)+bn1u(kn)(k)（2.2-2）

式中：n——系统的阶次(已知量)，为了方便为待估计参数。令参数向量为，记为：

nanbn。a,a,,an;b0,b1,,bn1

未知量12

a1,a2,,an;b0,b1,,bn12n1T

k时刻以前的观测数据为已知量，记为：

(k1)y(k1),y(k2),,y(kn);u(k1),,u(kn)2n1（2.2-2）式可表示为：

Ty(k)(k1)(k)）（2.2-3）

2）令k=1，2，„，N，得到新的数据向量为：

YNy(1),y(2),,y(N)N1T

TTT(0),(1),,(N1)组成数据矩阵为：用N个数据向量

N(0),(1),,(N1)TT(0)T(1)T(N1)N2n

3）目标函数

NNYNN

TJ2(k)y(k)(k1)YNNYNNk1k1T （2.2-4）

4）求最小二乘估计参数

J令minˆˆ，求得参数估计量，记为LS。

1ˆTTYNNN LSN （2.2-5）

（推导过程省略）

说明：①最小二乘参数估计量是估计误差的平方和为最小的最优估计量。

ˆˆLS ②可以证明是无偏估计量，即E{LS}=。

③一般N>2n，随N 

TNN的维数，使统计参数个数n，逆矩阵

N1运算困难，不便于在线计算。

2 递推最小二乘法 1）递推公式

它由三个计算公式组成：

ˆˆK[y(N1)T(N)ˆ]N1NN1N （2.2-6a）

T1KP(N)[1(N)P(N)]N1NN （2.2-6b）

PN(N)TN(P)NTTPN1PNPNKN(N)PNI[KNN(P)N]11T1(NP)N()N （2.2-6c）

式中：

(N)y(N),y(N1),,y(Nn1);u(N),u(N1),,u(Nn1)

TPN(NTN)1

2)递推计算步骤

ˆ(0)0，P(0)106I；（1）置初值 (2) 构成(N)，通过预采样得到：

(N)y(N),y(N1),,y(Nn1);u(N),u(N1),,u(Nn1)

若 d>1，则：

T(N)y(N),y(N1),,y(Nn1);u(Nd1),u(Nd),,u(Nnd2)（3）进行第N+1次采样；

Tˆ和P；（4）由（2.2-6a）~（2.2-6c）三式分别计算KN1,N1N1（5）递推一步，(N1)(N),(N2)(N1)，返回（3）。

ˆ(N)，它和ˆ(0)的取值无关（最小二乘估计量的一致性）说明：①可以证明lim。 LSNˆ(N)收敛于的速度愈快，一般2105~106。表明最小二乘估计不P（0）取值愈大，要任何先验知识（包括{(k)}的统计特性）。

ˆ等于ˆ加上一个修正量。该修正量为增益向量K乘 ②从（2.2-6a）可以看出N1N1Nˆ之间的差值（用第N次以前的测量值和以第N+1次测量值y（N+1）和其预报值(N)NTˆ对第N+1次测量值进行估计）第N次的估计值，该差值称为新息（Innovation），它表明N第N+1次测量带来了关于参数ˆ的新信息。

ˆ是标量，ˆ，ˆ ③对于SISO模型来说，差值y(N1)(N)而向量NN1N，KN1T的维数是不变的，只和参数向量维数有关，和测量次数无关。

T④（2.2-6b）式中1(N)PN(N)是一个标量的倒数，无需计算逆矩阵，计算

111

量大大减少，适合于在线进行。

T ⑤由PNNN可知它为对称矩阵，而且是非负定的，在线计算过程中要注意对

1ˆ愈来愈接近。称化。而且（2.2-6c）式表明PN1PN，表明N使N3 慢时变参数的递推适应算法 1）数据饱和现象

由（2.2-6 c）可知PN1PN，随着N  PN  KN1，使新采样数据对参数估计值的修正作用愈来愈弱，最后甚至不再起修正作用，称为数据饱和现象。

其产生饱和作用的原因是对新旧数据同样看待，削弱了新数据的作用。 2) 渐消记忆法

引入指数加权函数，对新旧采样数据作不同的加权，降低旧数据的作用。将目标函数改为：

Ji1NNi 2(i) （2.2-7）

式中：Ni—— 加权系数，01，i  Ni

削弱旧数据产生的误差，对新数据的误差乘以大的加权。经推导得到递推计算公式如下：

ˆˆK[y(N1)T(N)ˆ] （2.2-8 a） N1NN1N KN1PN(N)[T(N)PN(N)]1 （2.2-8 b）

PN11[IKN1T(N)]PN （2.2-8 c）

从（2.2-8 c）式可以看出，PN1不小于PN，使PN不会随递推次数增加而减小。一般取值为0.95~0.99，愈小跟随时变参数能力愈强，但参数估计精度愈低。

4 增广最小二乘法（Expanding Least square）

ˆ为有偏估计量，即E{ˆ}，一般还可以满足工业控当{(k)}为有色噪声时，则LSLS制要求。

1）对象的模型

设对象的模型为：

y(k)a1y(k1)a2y(k2)any(kn)b0u(k1)b1u(k2)+bn1u(kn)(k)c1(k1)+cn(kn) 令参数向量为：

（2.2-9）

a1,a2,,an;b0,b1,,bn1;c1,c2,,cn3n1

数据向量为：

T(k1)y(k1),y(k2)y(kn);u(k1),u(k2),,u(kn);(k1),(k2),,(kn)12

T 则式（2.2-9）可以改写为：

y(k)T(k1)(k) （2.2-10）

由于(k1)中{(k)}序列是不能测量的，因此用估计量来近似的表示：

ˆ(k1) ˆ(k)y(k)T(k1) 用递推最小二乘法计算公式，得到增广最小二乘的计算公式如下：

ˆ(N1)ˆ(N)k(N1)[y(N1)T(N)ˆ(N)] （2.2-11a） ELSELSELS k(N1)PN(N)[T(N)P(N)(N)]1 （2.2-11b）

P(N)(N)T(N)P(N) P(N1)[P(N)] （2.2-11c）

T(N)P(N)(N)1ˆ(N) （2.2-11d）ˆ(N1)y(N1)T(N)  ELS计算步骤：

56ˆ(0)0ˆˆ(0)(1n)0P(0)10~10I；① 置初值，，（2.2-11a）

②构成向量(N)； ③进行第N+1次采样；

ˆ(N1)和P(N1)， ④按（2.2-11 b），（2.2-11 a）和（2.2-11c）式分别计算k(N1), ELS(N1)；

⑤递推一步，(N2)(N1),(N1)(N)，返回（3）。 2.3 最小方差调节器（Minimal Variance Regulator）

1 被控对象模型

设被调对象由CARMA模型表示：

A(z)y(k)zB(z)u(k)C(z)(k) （2.3-1）式中：

1d11A(z1)1a1z1anaznaB(z1)b0b1z1bnbznbC(z1)1C1z1Cncznc(k)——白噪声，E{(k)}0

E{(i)(j)}{2 当i=j 当ij

1N2lim(k) NNk1 说明：输出y（k）用增量表示，即偏离给定值的偏差，这是调节器问题的要求。调节

器的目的是使y（k）尽可能为0。当u（k）=0，则y(k)0的原因是因为噪声信号的干扰。

2 允许控制问题

允许控制指的在求控制规律时可以利用的信息。它应当是物理上可以实现的信息的函数。他可以是K时刻及以前的输出和K-1时刻及其以前的控制作用。 3 目标函数

因为输出在u（k）=0的情况下，是由于{(k)}引起的。因此对象的输出也是随机序列。用输出方差作为目标函数。

JE{y2(k)}E{y2(kd)} （2.3-2） 4 求最小方差控制规律

1）写出y（k+d）的表达式：

B(z1)C(z1)y(kd)u(k)(kd) （2.3-3） 11A(z)A(z)C(z1) 2）利用Diophatine方程将(kd)写成两部分 1A(z)C(z1)A(z1)F(z1)zdG(z1) （2.3-4）

其中：

F(z1)1f1z1fd1z(d1) G(z1)g0g1z1gng1z(ng1)

ngmax{na1,ncd} 一般d1,nanc

（2.3-4）式代入（2.3-3）式得到：

B(z1)C(z1)y(kd)F(z)(kd)u(k)(k) （2.3-5） 11A(z)A(z)1 3）用K时刻以前的输入输出来表示(k)

将（2.3-1）式写成：

A(z1)B(z1)(k)y(k)u(kd)

C(z1)C(z1) 并代入（2.3-5）式，得到：

y(kd)Fz(11B(z1)Gz(1)k(d)1uk()1A(z)Az()Az(1)Bz(1)yk()1ukd(1)Cz()Cz())G(z1)Bz(1)Bz(1z)dGz(1)F(z)k(d)yk()1uk()uk()111C(z)Az()Az(C)z()G(z1)B(z1)C(z1)zdG(z1)F(z)(kd)y(k)u(k)111C(z)A(z)C(z)1G(z1)B(z1)F(z1)F(z)(kd)y(k)u(k) （2.3-6）11C(z)C(z)14）求u（k）

由目标函数：

G(z1)B(z1)F(z1)21F(z)(kd)}E{y(k)u(k) JE{y(kd)}E{C(z1)} 1C(z)22{u(k)}1minjminE{y2(kd)}E{F(z)(kd)}，得到：

{u(k)}2G(z1)G(z1)u(k)y(k)y(k) （2.3-7） 111B(z)F(z)H(z)式中：H(z)B(z)F(z)

说明：①在求最小方程控制规律时，用多项式进行计算，非常简便充分显示引入z变量将差分方程化为代数方程的优越性。

②（2.3-7）式表明最小方差控制规律是对象输出的线性负反馈，实际上是K时刻及其以前的输出和K时刻以前控制量的线性组合。

1111G(z1)B(z1)F(z1)minj ③求时，利用了E{F(z)(kd)y(k)u(k)}011{u(k)}C(z)C(z)11F(z)(kd)因为是（k+1）时刻至（k+d）时刻的噪声序列的线性组合。而

G(z1)B(z1)F(z1)y(k)u(k)C(z1)是K时刻及其以前的噪声序列各分量的线性组合，1C(z)由于{(k)}是白噪声，所以他们是不相关的，乘积的期望值为0。

G(z1)B(z1)F(z1) ④在（2.3-6）式中，y（k+d）包括两部分，其中y(k)u(k) 11C(z)C(z)是可以在K时刻计算出来的（预报）。称为最佳预报分量，记为y*(kd/k)。

G(z1)B(z1)F(z1) y(kd/k)y(k)u(k) （2.3-8）

C(z1)C(z1)* 符号y*(kd/k)表示利用K时刻及其以前的数据对（k+d）时刻的输出y（k+d）进行预报。*表示最优预报。

最小方差调节器控制规律是令最优预报y*(kd/k)0求得的，这是求解这类问题的一般方法。

5）控制误差的方差

12minJE{y2(kd)}E{F(z)(kd)}E{[(kd)f(kd1)f(k1)]}1d12(1ff2f)(1fi2)2 （2.3-9）2122d12i1d1 表明控制误差方差的最小值为（2.3-9）式所示，它随d增加而增加，对象延迟时间会使控制误差增加。举例：设对象的模型为：

y(k)1.6y(k1)0.6y(k2)1.5u(k1)0.53u(k2)0.9u(k3)(k)0.4(k1)求最小方差调节规律。解：由题意知：

A(z1)11.6z10.63z2B(z1)1.50.53z10.9z2C(z)10.4zd1 根据Diophantine方程，得到：

11

10.4z1(11.6z10.63z2)F(z1)z1G(z1)

d1，F(z1)1，na2，ng211。G(z1)g0g1z1

上式变为：

10.4z1(11.6z10.63z2)z1(g0g1z1)

用两边z的同次项系数相等，得到：

1f11.2，g01.2 g10.6 3这样， H(z)F(z)B(z)(1.50.53z0.9z)(11.2z)

111121 1.51.27z10.264z21.08z3 G(z1)1.20.63z1 最小方差调节律为：

(1.50.53z10.9z2)u(k)(1.20.63z1)y(k)0

得到：u(k)5 闭环特性分析

对于调节器工作方式，输出为增量形式表示，则期望（yk+d）=0。因此令y*(kd/k)0，求最小方差调节器规律。

对于控制器工作方式，要求输出y（k）跟踪参考轨迹，期望输出，y*(kd)，它为参考输入(k)乘以加权多项式（理解为参考模型）R(z1)，即：y*(kd)R(z1)(k)。

令y*(kd/k)y*(kd)R(z1)(k)，得到：

1[0.53u(k1)0.9u(k2)1.2y(k)0.63y(k1)] 1.5G(z1)B(z1)F(z1)y(k)u(k)R(z1)(k) 11C(z)C(z)经整理后，

u(k)1[C(z1)R(z1)(k)G(z1)y(k)] （2.3-10） 1H(z)1）闭环系统框图

由（2.3-1）式和（2.3-10）式可画出闭环系统框图。

(k)C(z1)A(z1)(k)y(kd)C(z)R(z)111H(z1)u(k)zdB(z1)A(z1)y(k)G(z1)17

图2.3-1 最小方差控制器闭环系统结构框图

2）闭环系统特征方程式

将（2.3-10）式代入（2.3-1）式经整理得到：

A(z1)y(k)zdB(z1)1[C(z1)R(z1)(k)G(z1)y(k)]C(z1)(k) 1H(z)[A(z1)H(z1)zdB(z1)C(z1)]y(k)C(z1)B(z1)R(z1)(kd)H(z1)C(z1)(k) C(z1)B(z1)y(k)111C(z)B(z)R(z)(k1 )（(2.3-11d)H(z)1C( zk)）

由（2.3-11）式和闭环系统框图可以看出：

决定闭环系统稳定性的是多项式B(z1)和C(z1)的零点位置。当它们的零点在单位圆外（以z为变量），则系统是稳定的，否则是不稳定的。

由于调节器的控制方程中分母包含多项式B(z1)，若对象是非最小相位的，B(z1)有不稳定零点。使控制方程具有不稳定极点，u（k）将无界，若对象模型是准确而且定常，则闭

环后因零极点相消，u(k)无界不能影响到输出端。而模型不准确或参数时变，闭环系统就不稳定，因此最小方差调节器适用于最小相位系统的对象。

§2.4自校正调节器（Self-Turing Regulater）STR 1. 控制思想

主要是解决对象参数未知（或时变）的最小方差调节器问题，由于最小方差控制规律G(z-1),B(z-1)和F(z-1)的计算需要知道对象的参数，原则上不能实现。 2. 求自校正调节器控制规律 1）改写预报方程

1G(z1)H(z1)y(kd/k)y(k)u(k) (2.3 – 6) 11C(z)C(z)*令C(z)1C(Z)，其中C(Z)C1z1111CnznziCi上式可写成：

i1ny(kd/k)G(z1)y(k)H(z1)u(k)C(z1)y(kd/k) （2.4-1）

又由（2.3-6）式得到：

y(kd)F(z1)(kd)y(kd/k)F(z)(kd)G(z)y(k)H(z)u(k)由最小方差调节器控制规律可知y(kd/k)0，得到：

111 （2.4-2）

y(k)G(z1)y(kd)H(z1)u(kd)F(z1)(k) （2.4-3）

说明：（2.4-3）式为预报方程（闭环系统的），表明用(kd)时刻及其以前的输入和输出对k时刻的输出进行预报。

同时，（2.4-3）式也是闭环系统的辨识方程。它表明最小方差控制闭环系统其控制规律各项系数应满足（2.4-3）式。 2）调节规律参数辨识

为了实现闭环系统参数辨识，将H(z1)F(z1)B(z1)写成

H(z1)h0h1z1hnhznh，其中，nhnbnfnbd1。

令参数向量：

[g0,g1,,gn;h1,h2,,hn]T其中，ngna1，nhnbd1

gh数据向量：

(kd)[y(kd),y(kd1),,y(kdng);u(kd1),u(kd2),,u(kdnh)]T（2.4-3）式可改写为：

y(k)T(kd)b0u(kd)F(z1)(k) （2.4-4）

利用RLS估计参数向量θ，得到下列计算公式：

(k)(k1)K(k)[y(k)b0u(kd)(kd)(k1)] （2.4-5a） K(k)P(k1)(kd)[T(kd)P(k1)(kd)]1 （2.4-5b）

P(k)注意：

①上述计算公式求出的参数估计量误差稍大一些，因为噪声误差F(z1)(k)是有色噪声。 ②参数b0不参加辩识，作为已知量对待。在实际使用中是可选择的。使调节器的阶次nrna,避免闭环条件下调节器参数不可辨识性。 3）求最下方差控制规律

令（2.4-2）式的最佳预报值为0，得到：

T1[P(k1)K(k)T(kd)P(k1)] （2.4-5c）

y(k/kd)T(kd)b0u(kd)0，即有u(kd)d1T(kd)。再在等式b0两边乘以z，并用(k)代替，就得到自校正调节器（最小方差）控制规律：

1Tu(k)(k)(k) （2.4-7）

b0式中(k)[y(k),y(k1),,y(kng);u(k1),u(k2),,u(knh)]，ngna1，

Tnhnbd1

4）自校正调节器（STR）算法计算步骤

①置初始值(0)0，P(0)105~106I，b0,na，nb，d； ②预采样得到(kd)和u(kd)； ③k时刻采样y(k)，得到数据向量(k)；

④按（2.4-5a）~（2.4-5c）计算K(k)，(k)，P(k)； ⑤按（2.4-4）式计算u(k)，并输出；

⑥递推一步，k1k，,kk1返回③。

3. 闭环条件下参数可辨识性问题 1）问题提出

举例证明在闭环条件下，可能出现参数不能辨识的问题。设被控对象为：y(k)a1y(k1)b0u(k1)(k) A(z1)1a11z1，B(z)b10，d1，C(z)1由C(z1)A(z1)F(z1)zdG(z1)得到：

F(z1)1，G(z1)ga10a1，u(k)by(k) 0a1和b0未知，用最小二乘法估计参数，将（2.4-5）是写成：

y(k)[y(k1),u(k1)]a1b(k)

0令[aT1,b0]，(k1)[y(k1),.u(k1)]T

y(k1)u(k1)设y(k2)u(k2)N,YN[y(k),y(k1),,y(kN1)]T y(kN)u(kN)则最小二乘参数估计为：

[T1NN]TNYN

2.4-5） (2.4-6)

（

k1k12y(i)y(i)u(i)ikNikNT （2.4-7）其中 NN

k1k12y(i)u(i)u(i)ikNikN将控制规律u(k)a1y(k)代入（2.4-7)式，得到： b0a1k12k12y(i)y(i)b0ikNikN TNN2k1k1aa221y(i)1y(i)b0ikNb0ikN上述矩阵的第一列和第二列只相差一个常数因子a1，它们线性相关。[NTN]为奇异矩阵，b0不能辨识a1和b0。

2）解决办法

解决这个问题的办法有两种：

①增加调节器的阶次，将u(k)改为u(k)a1y(k1)； b0②将b0固定不参加辨识，只辨识a1。 ⑪增加调节器的阶次将u(k)a1y(k1)代入（2.4-7）式，得到： b0k1a1k12y(i)y(i1)y(i)b0ikNikN

[NTN]2ak1a1k121y(i1)y(i)y(i1)b0ikNb0ikN它为非奇异矩阵，可以求出的估计值a1和b0。因此，在控制规律为u(k)条件下，参数a1和b0可辨识了。 ⑫固定b0，只辨识a1

a1y(k1)的b021

将（2.4-5）式变为 y(k)b0u(k1)a1y(k1)(k) 令[a1]，N[y(k1),y(k2),,y(kN)]T

YN[y(k)b0u(k1),y(k1)b0u(k2),,y(kN1)b0u(kN)]T

这样，NN由

y(k)bu(k1)01k1(k)a1[NTN]1NTYNy2(i)[y(k1),,y(kN)]y(k1)b0u(k2)ikNy(kN1)bu(kN)0TikNk1y2(i)

可求得参数的a1估计值a1。

可以证明在闭环条件下，调节器的阶次nrns（对象的阶次）时，对象的参数可以辨

识，否则对象的参数不可辨识。在上例中，ns=1，nr=0，所以参数不可辨识。

通常采用固定一个参数的办法，b0不参加辨识，这样足可以避免由于辨识误差b0太小

或趋于0，但u(k)过大，造成控制作用剧烈波动或执行机构动作过大。 4.自校正控制器（STC）

当要求对象输出y(k)跟踪期望值时y(kd)k(z)(k)，仍然采用最小方差控制，并引入自校正输出得到自校正控制器。

⑪预报方程

此时，最优预报y(kd/k)0，为期望值y(kd)则：

y(kd)F(z1)(kd)G(z1)y(k)H(z1)u(k)C*(z1)y*((kd)/k) （2.4-8）上式为预报方程，两边乘以zd1*，得到控制器参数辨识方程：

y(k)F(z1)(k)G(z1)y(kd)H(z1)u(kd)C*(z1)y*(k/(kd)) （2.4-9）（2.4-8）式称为预报方程又称为控制器参数辨识方程。

设参数向量为：

[g0,g1,gn;h1,h2,,hn;c1,c2,,cn]Tghc(ngnhnc)1

数据向量：

(kd)[y(kd),y(kd1),,y(kdng),u(kd1),u(kd2),,u(kdnh);y*((k1)/(k1d)),y*((k2)/(k2d)),,y*((knc)/(kncd))]T预报方程（2.4-8）可写成：

y(k)T(kd)F(z1)(k)b0u(kd)

⑫控制器参数估计

利用增广最小二乘法求控制器的参数，计算公式如下：

(k)(k1)K(k)[y(k)b0u(kd)(kd)(k1) (2.4-10a)

K(k)P(k1)(kd)[1(kd)P(k1)(kd)]1 (2.4-10b) P(k)[IK(k)(kd)]P(k1) (2.4-10c)

式中，

TTT(kd)[y(kd),y(kd1),,y(kdng);u(kd1),u(kd1),,u(kdnh);y*(k1),y*(k2),,y*(knc)]T

因为，最优预报值y*((k1)/(k1d)),y*((k2)/(k2d))等是不可能计算出来的。只能用它们的估计值来代替。它们用下列通式来表示：

y((k)(kd)(kd) （2.4-10d）

注意:y*((k1)/(k1d))y*(k1)(kd1)(kd1)

TTTy*((k2)/(k2d))y*(k2)(kd2)(kd2)

表明在估计参数值的同时也计算出最优预报值的估计值。 ⑬自校正控制器控制规律（STC）

由预报方程（2.4-8）式，令最优预报值为输出期望值得到：

TG(z1)y(k)H(z1)u(k)C(z1)y*((kd)/k)y*(kd)

用参数向量和数据向量的估计值代入上式，得到：

TT1u(k)[y*(kd)(k)(k)b0ncg1[y*(kd)ci(k)y*(kdi)gi(k)y(ki) （2.4-11） b0i1i0nhi(k)u(ki)i1nh自校正控制器控制规律计算与自校正调节器控制规律计算不同之处（STC与STR不同之处）

在于：

①y*((kd)/k)0，实际运行时难于准确计算，而是用估计值来替代，通式为

y*(k1)(kd)(kd)，其中(kd)就是向量(kd)中的，

y*((k1)/(k1d))用估计量y*(k1)来代替。

②输出期望值y*(kd)0，而是y*(kd)R(z)(k)。

③参数向量扩展了C1,C2,,Cn，利用增广最小二乘法参数估计来估计控制器的参数。 1Tc⑭STC计算步骤

①置初始值(0)0，P(0)105~106I； ②预采样形成数据向量(kd)； ③采样y(k)；

④用（2.4-10a）~（2.4-10d）计算参数估计值(k)； ⑤用（2.4-11）式计算u(k)

⑥递推一步，(k1)k,k(k1)，返回③。

注意：在第二歩预采样形成(kd)时，用输出期望值来替代最优预报值。

§2.5广义最小方差自校正控制器（Generalized Minimal Variance STC）

1. 广义最小方差控制器

由于最小方差控制规律（控制器）的极点包含有对象的0点，对于非最小相位对象，控制器将有不稳定极点，使控制量无界（不稳定）。因此这种控制规律不适用于非最小相位对象。为了将这种控制规律推广到非最小相位对象，在目标函数中引入对控制量的限制，保证控制量始终有界。使对象的输出稳定。这就是广义最小方差控制器。

1）对象数学模型

对象仍然采用CARMA模型描述，

A(z1)y(k)zdB(z1)u(k)C(z1)(k) （2.5-1）

式中A(z)1a1z11anaznc

B(z1)b0b1z1bnbznb C(z1)1C1Z1CncZnc

d——对象的总延迟时间d1，

(k)——对象噪声信号，E{(k)}0,E{2(k)}2。

2）目标函数设目标函数为：

JE{[P(z1)y(kd)R(z1)(k)Q(z1)u(k)]2} （2.5-2）

式中(k)——参考输入，经输入模型得到输出期望值yr(kd)R(z1)(k)。P(z)和

*1Q(z1)——加权多项式。

令(kd)P(z)y(kd)——广义输出

1*(kd)R(z1)(k)Q(z1)u(k)——广义理想输出

e(kd)(kd)y*(kd)P(z1)y(kd)R(z1)(k)Q(z1)u(k)称为广义

输出误差。

（2.5-2）式可写为：

JE{[e(kd)]} （2.5-3）

这样就可以利用求最小方差控制律的方法，求出广义输出(kd)的最优预报

2*(kd/k)，并令它等于广义理想输出y*(kd)，就可得到使广义输出误差方差最小的

控制规律，称为广义最小方差控制规律。

3）求解控制规律

⑪引入Diophatine方程

C(z1)P(z1)A(z1)F(z1)zdG(z1) （2.5-4）

式中F(z1)1fzii1d1i，G(z1)gzii1ngi

degFd1,degGmax{na1,npncd}

（2.5-1）式F(z1)，引用（2.5-4）式，得到

zd[P(z1)C(z1)zdG(z1)]y(k)zdB(z1)F(z1)u(k)F(z1)C(z1)(k)zd C(z1)P(z1)y(kd)G(z1)y(k)F(z1)B(z1)u(k)F(z1)C(z1)(kd)

两边除以C(z)，并代入P(z1)y(kd)(kd)，得到

1(kd)1[G(z1)y(k)F(z1)B(z1)u(k)]F(z1)(kd) 1C(z)可以看出最优预报表达式为：

*(kd/k)1111[G(z)y(k)B(z)F(z)u(k)] （2.5-5） 1C(z)(kd)*(kd/k)F(z1)(kd) （2.5-6）

令(kd/k)(kd)，求得广义最小方差控制规律

**G(z1)y(k)B(z1)F(z1)u(k)R(z1)C(z1)(k)C(z1)Q(z1)u(k)

整理后得到：

H(z1)u(k)E(z1)(k)G(z1)y(k) （2.5-7）

式中

H(z1)B(z1)F(z1)C(z1)Q(z1)h0h1z1hnhznh,nhmax{nbd1,ncng}E(z1)C(z1)R(z1)

说明：

①控制器的极点由H(z)得零点决定，可以通过选择Q(z)多项式来改变，而最小

111111方差控制器的H(z)B(z)F(z)由B(z)得零点决定。

②广义输出最优预报值和最小方差最优预报值形式一样，但是F(z)和G(z)不尽相

111同，两者的Diophatine方程不同，只有P(z)1时，两者才相同。

③广义最小方差控制规律中，令P(z1)1,Q(z1)0，则广义最小方差控制器和最

小方差控制器的控制控制规律一样。令(k)常数，R（z1)1则和调节器的工作方式一样。

2. 广义最小方差控制器闭环系统框图和特性分析

1）系统框图

由（2.5-1）式和（2.5-6）式，可画出闭环系统框图如图2.5-1所示

(k)C(z1)A(z1)(k)yr(kd)E(z)11H(z1)u(k)zdB(z1)A(z1)y(k)G(z1)图2.5-1 广义最小方差控制器闭环系统框图

它和最小方差控制器闭环系统的结构一样只是控制器中H(z)换成H(z)而已。 2）闭环特性分析

将（2.5-6）式代入（2.5-1）式得到闭环系统输入输出方程

11Hy(k)zdB(z1)[E(z1)(k)G(z1)y(k)]C(z1)H(z1)(k)

整理后得到（省略z变量符号）输出方程：

1(ABFACQzdBG)y(k)zdBCR(k)CH(k)

y(k)[P(z1)B(z1)A(z1)Q(z1)]zdB(z1)R(z1)(k)H(z1)(k)

zdB(z1)R(z1)F(z1)B(z1)C(z1)Q(z1) y(k)(k)(k)（2.5-8）11111111P(z)B(z)Q(z)A(z)P(z)B(z)Q(z)A(z)将（2.5-1）代入（2.5-6）得到控制（调节）器方程（输入方程）

Hu(k)[(k)G1d[zBu(k)C(k)] A(AHzdGB)u(k)AE(k)CG(k)

利用PCAFzdG得到

A(z1)R(z1)G(z1) u(k)(k)(k) （2.5-9）11111111P(z)B(z)Q(z)A(z)P(z)B(z)Q(z)A(z)说明：

①闭环系统的特征方程为：P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)0 （2.5-10）可以看出特征根可以改变Q(z1)来移动表明即使是非最小相位对象，甚至不稳定对象，也可以通过广义最小方差控制使它们稳定工作。

②令P(z1)1,Q(z1)（2.5-9）式变为

1B(z1)A(z1)0，[B(z1)A(z1)]0

当0，则闭环系统的特征根为B(z1)的零点；当，则闭环系统的特征根为A(z1)的零点。

表明当由0，闭环系统的极点由对象的零点迁移到对象的极点。对于非最小相位的稳定对象，当改变的值，闭环系统在单位圆外的极点就逐渐迁移到单位圆内来。当P(z1)1,Q(z1)0，则和最小方差控制器的情况一样。 3. 广义最小方差自校正控制器计算公式

1）预报方程（控制参数辨识方程）

令C(z)1C*(z)111Czii1nci,(k + d)时刻广义输出为

(kd)G(z1)y(k)F(z1)B(z1)u(k)C*(z1)*(kd/k)F(z1)(kd)两

边乘以zd，得到：

(k)G(z1)y(kd)F(z1)B(z1)u(kd)C*(z1)*(k/(kd))F(z1)(k) （2.5-10）令参数向量为：

[g0,g1,,gn;h1,h2,,hn;C1,C2,,Cn]T

ghc 数据向量为：

(kd)[y(kd),y(kd1),,y(kdng);u(kd1),u(kd2),,u(kdnh);*(k1/k1d),*(k2/k2d),,*(knc/kdnc)]T（2.5-9）式可写为：

(k)T(kd)F(z1)(k)b0u(kd) （2.5-11）

利用最小二乘法估计参数向量，得到下列计算公式：

(k)(k1)K(k)[(k)(kd)(k1)b0u(kd) （2.5-12a）

R(k)P(k1)(kd)[(kd)P(k1)(kd)]1 （2.5-12b）

P(k)TT1[IK(k)(kd)]P(k1) （2.5-12c）

T式中(kd)为(kd)的估计量，是将数据向量中的最优预报值*(k1/k1d)， · ·,用相应时刻的估计量来替代其通式为： *(k2/k2d),·

(k)(kd)(kd) （2.5-12d）

例如：(k1/k1d)(k1)(kd1)(kd1)

2）广义最小方差自校正控制规律

将由（2.5-12a）计算出的参数估计量代入92.5-6)式，得到

*TTb0u(k)(k)(k)R(z1)(k)Q(z1)u(k)

u(k)1b0Q(z1)3）广义最小方差自校正控制算法计算步骤

①置初始值(0)0，P(0)10~10s。设定P(z),R(z)和Q(z)。 ②预采样形成数据向量(kd)； ③采样y(k)和(k)； ④计算K(k),(k)和P(k)； ⑤按（2.5-13）式计算(k)； ⑥计算最优预报值的估计值(k)；

⑦递推一步，(k1)k,k(k1)，返回③。 4. 加权多项式P(z)，Q(z)和R(z)的选择

1）选择原则

由闭环系统特性分析可知，P(z)和Q(z)多项式既影响系统的稳定性（2.5-9）式，也影响系统稳态误差（2.5-7）式，参考输入(k)与系统输出之间的传递函数稳态值是1。因此

11T[R(z)(k)(k)(k)] （2.5-13）

1T56111111选择原则为：

①设P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)0,|z|1成立

y(k)zdBR② R(1)[A(z1)Q(z1)/B(z1)P(z1)]z1（2.5-14）(k)kPBAQz12）选择方法

有两种选择方法：①离线选择法；②在线选择法前两者用于广义最小方差自校正控制器，离线试凑P(z1)和Q(z1)，后者前用于极点配置广义自校正控制器。

现介绍离线试凑P(z1)和Q(z1)的两种方法。 ⑪采用积分器选择法

令P(z1)R(z1)，Q(z1)(1z1)这样就可以保证稳态跟踪误差期望值0。即

zdB(1)R(1)1只要选择满足P(z1)B(z1)(1z1)A(z1)0，|z|1为

P(1)B(1)Q(1)A(1)了简化设计，一般取P(z1)R(z1)1。

⑫不采用积分器

将（2.5-14）式改写为用辨识参数表示：

R(z1)A(z1)F(z1)Q(z1)/B(z1)F(z1)P(z1)[P(z)C(z)zG(z)]Q(z)/H(z)P(z)11d1111对于阶跃输入

R(z1)R，将z1代入公式，得到R[P(1)C(1)G(1)]Q(1)/H(1)P(1)选择P(z1)1，Q(z1)。

离线选择，使其满足：B(z)A(z)0 ||1 在线选择R(z)使其满足：R[C(1)G(1)]/H(1)1

其中，多项式C(z)，G(z)和H(z)的参数通过在线辨识得到。

一般来说，加入积分器来消除稳态误差的方法鲁棒性较强。而后一种方法受参数波动影响较大。但是前一种方法可能改变闭环系统的极点位置，有些系统使极点趋近单位圆，是输出不稳定。而后种方法在参数确定的情况下，闭环极点位置不太受影响。

11111130

§2.6自校正前馈控制器（Self-Turning Feed Forward Controller）

对于具有可测干扰的系统，采用前馈控制可有效地抑制干扰对输出的影响。检测蒸汽流量作为可测干扰，作为前馈控制信号。来控制给水量。使水位稳定在期望位置。

当可测干扰与输出之间通道的参数未知，则可引入自校正技术，与前馈控制结合起来。构成自校正前馈控制器。 1. 对象的数学模型

设对象由下列描述：

A(z1)y(k)zdB(z1)u(k)zd2B2(z1)V(k)C(z1)(k) （2.6-1）

式中：A(z1),B(z1)和C(z1)多项式和（2.5-1）式中的相同；

V(k)——可测性干扰，它与输出之间的通道用B2(z1)。多项式描述其延迟时间为

d2，并且d2d；

(k)——不可测性干扰，设为白噪声。

2. 目标函数

JE{[P(z1)y(kd)R(z1)(k)S(z1)V(kdd2)Q(z1)u(k)]2}（2.6-2）式中P(z),R(z)和Q(z)与（2.5-2）式中定义相同，为加权多项式。

通过选择S(z)可实现对B2(z)V(k)项的动静态补偿。定义广义输出：(kd)P(z)y(kd)

广义理想输出：(kd)R(z)(k)Q(z)u(k)S(z)V(kdd2) 广义输出误差：

*111111111e(kd)(kd)*(kd)P(z)y(kd)R(z)(k)S(z)V(kdd2)Q(z)u(k)21111

这样将目标函数改写为：JE{e(kd)}将问题变为输出为(kd)的系统的最小方差控制问题。 3. 求控制规律

由Diophatine方程：C(z1)P(z1)A(z1)F(z1)zdG(z1)

degFd1，degG2max{(na1),(npncd)}

1）广义输出最优预报法：有（2.6-1）式乘以F(z1)得到:

(PCzdG)y(k)zdFBu(k)zd2FB2V(k)FC(K)

整理后得到：

(kd)1C[Gy(k)Hu(k)FB2V(kdd2)]F(kd) 令广义输出最优预报值为：

*(kd/k)[G(z1)y(k)H(z1)u(k)FB12V(kdd2)]C 令*(kd/k)*(kd)，经整理后得到：

u(k)1H(z1)[E(z1)(k)G(z1)y(k)D(z1)V(kdd2)] 式中：H(z1)F(z1)B(z1)C(z1)Q(z1)H(z1)C(z1)Q(z1)；

H(z1)F(z1)B(z1)；

D(z1)F(z1)B1111112(z)C(z)S(z)D(z)C(z)S(z)；

D(z1)F(z1)B12(z)；

E(z1)C(z1)R(z1)。

4. 广义最小方差前馈控制器结构框图和闭环特性分析

1）结构框图

广义最小方差前馈控制器结构框图如图2.6-1所示。

2.6-3）2.6-4）2.6-5）32

（（（

V(k)(k)zd2z(d2d)D(z)1B2(z1)A(z1)C(z1)A(z1)(k)E(z)1yr(kd)1H(z1)u(k)zdB(z1)A(z1)y(k)G(z1)图2.6-1 广义最小方差前馈控制闭环系统框图

从图可以看出：对象输出受到两种干扰信号的影响，①不可测干扰信号(k)，②可测干扰信号V(k)它们都作用在输出端，前者用反馈信号G(z1)y(k)来补偿。后者用前馈信号z(d2d)D(z1)V(k)来补偿。只要适当选择D(z1)就可使它引起的干扰

zd2B2(z1)/A(z1)V(k)完全被抵消。

2）闭环特性分析

将（2.6-5）式代入（2.6-1）式得到：

Ay(k)zdB{1[E(k)Gy(k)DV(kdd2)]}zd2B2V(k)C(k) HAHy(k)zdGBy(k)zdBE(k)BDV(kd2)HB2V(kd2)HC(k)

(AFBACQzdGB)y(k)zdBCR(k)(BFB2CQB2BFB2CBS)V(kd2)HC(k)C(PBQA)y(k)zdBCR(k)C(QB2BS)V(kd2)CH(k)

两边除以C，得到闭环系统输出方程：

Q(z1)B2(z1)B(z1)S(z1)zdB(z1)R(z1)y(k)(k)V(kd2)P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)F(z1)B(z1)C(z1)Q(z1)(k)1111P(z)B(z)Q(z)A(z)

将（2.6-1）式代入（2.6-5）式，得到闭环系统输入方程：

(2.66)H(z1)u(k)E(k)G整理后得到：

1d[zBu(k)zd2B2u(k)C(k)]DV(kd2) AP(z1)B2(z1)A(z1)S(z1)A(z1)R(z1)u(k)(k)V(kdd2)P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)G(z1)(k)P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)说明：

①闭环系统极点由P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)确定，只要选择P(z1)和Q(z)保证P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)0且|z|1。即闭环系统的极点都在单位圆内，闭环系统就能稳定。

②由（2.6-6）式可知，必须选择Q(z)B2(z)B(z)S(z)0完全补偿可测干扰

11111(2.67)V(k)的影响，若在目标函数中不引入可测干扰的加权项，S(z1)0，则必须选择

Q(z1)0。对于最小相位对象采用最小方差控制，在调解器方式或控制器方式都可实现

对可测干扰的动静态补偿，但是对于非最小相位对象，为了保证闭环系统的稳定运行，

Q(z1)0。为了实现对可测干扰的静态全补偿，可引入积分器项，使Q(1)0.而对动态

补偿不起作用。另外，为了实现可测干扰的动静态补偿，必须在目标函数中引入

(z1)V(kdd2)项，实现前馈控制。

5. 自校正前馈控制器

当（2.6-1）式参数未知或时变时，需要在线辨识参数。 1）参数辨识方程：

(k)G(z1)y(kd)H(z1)u(kd)D(z1)V(kd2)C*(z1)*(kd/k)F(z1)(k)

(2.68)34

定义参数向量

[g0,g1,,gn;h1,h2,,hn;d0,d1,,dn;c1,c2,,cn]T

ghdc数据向量：

(kd)[y(kd),,y(kdng);u(kd1),,u(kdnh);V(kd2),V(kd21),,V(kd2nd);*(k1/kd1), *(k2/kd2),,*(knc/kdnc)]T（2.6-8）式可写成参数辨识方程：

(k)T(kd)F(z1)(k)b0u(kd) （2.6-9）

由于*(k1/kd1),,*(knc/kdnc)不可能准确计算只能采用估计值。计算估计值通式为：

y(k)(kd)(kd)；

y(k1/k1d)y(k1)(kd1)(kd1)；

因此，（2.6-9）式中的数据向量的分量(k1/kd1),,(knc/kdnc)用

**T*Ty*(k1),,y*(kdnc)代替得到数据向量的估计值。

(kd)[y(kd),,y(kdng);u(kd1),,u(kdn);V(kd2),,V(kd2nd);y*(k1),,y*(knc)]T2）控制规律方程

由



*(kd/k)G(z1)y(k)H(z1)u(k1)h0u(k)D(z1)V(kdd2)C*(z1)*(kd/k)*(kd)R(z1)(k)Q(z1)(k)S(z1)V(kdd2)写成向量的形式为：

b0u(k)T(k)R(z1)(k)Q(z1)u(k)S(z1)V(kdd2) （2.6-10）

可以求出控制规律。 3）自校正前馈控制规律

根据（2.6-9）式参数辨识方程采用增广最小二乘递推算法得到参数估计计算公式：

(k)(k1)K(k)[(k)(kd)(k1)b0u(kd)] （2.6-11a）

K(k)P(k1)(kd)[1(kd)P(k1)(kd)]1 (2.6-11b) P(k)P(k1)K(k)(kd)P(k1) (2.6-11c) y(k)(kd)(kd) (2.6-11d)

将参数向量和数据向量估计值代入（2.5-10）式，得到自校正前馈控制规律：

*TTTT[b0Q(z)]u(k)R(z)(k)S(z)V(kdd2)(k)(k) （2.6-12）

4）自校正前馈控制算法计算步骤

①置初始值(0)0，P(0)105~106，d，d2，P(z1)和Q(z)； ②预采样形成数据向量(kd)；

③采样y(k)，V(k)，(k)，形成数据向量(k)； ④按（2.6-11）式求估计参数(k)； ⑤按（2.6-12）式计算控制规律u(k)；

111T11⑥用估计参数法按Q(z)D(z)H(z)S(z)0校正S(z)；

1111⑦递推一步，(k1)k,k(k1)，返回③歩。

2.7具有极点配置的广义最小方差自校正控制器

对于非最小相位对象采用广义最小方差控制规律，选择加权多项式P(Z-1) ,Q(Z-1)和 R(Z-1)多项式有两种方法，离线选择和在线选择。通过把闭环极点配置到期望的位置来决定P(Z-1)和Q(Z-1)，保证系统具有期望的动态特性和稳定性。把基于极点配置的方法和基于最优控制和广义最小方差控制结合起来再加入自校正技术，就构成具有极点配置的广义最小方差自校正控制算法（控制器）。 1.广义最小方差控制

参阅2.5

为了保证闭环系统稳定离线选择P(Z-1) 和Q(Z-1)保证：

P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)0 |z|1

需要知道参数A(Z-1)和B(Z-1)系数，有一定的空难。 2.极点配置方程

设期望闭环极点由多项式T(Z-1)决定，得到极点配置方程：

P(z1)B(z1)Q(z1)A(z1)T(z1)--------------（2.6-1）

设degPna1，degQnb1，则degTnanb1

T(z1)t0t1z1tnznt

多项式T(Z 1)的阶次nt决定闭环系统极点数，因为A(Z 1)和B(Z 1)可得，因此（2.6-1）有解。

为了在线计算P(Z 1)和Q(Z 1)多项式将（2.6-1）式中的对象参考数A(Z 1)和B(Z 1)改为控制器的参数。

（2.6-1）式F(z1)，利用diophantine方程得到：

P(z1)B(z1)F(z1)Q(z1)A(z1)F(z1)F(z1)T(z1)

P(z1)[H(z1)C(z1)Q(z1)]Q(z1)[P(z1)C(z1)zdG(z1)]F(z1)T(z1) P(z1)H(z1)zdG(z1)Q(z1)F(z1)T(z1)------------（2.6-2）

式中 degHmaxn(,ncnb1)，degGmax(na1,nancd1)，bd1ngnb1，npna1。

且式中，H(z1)和G(z)多项式的系数将由在线辨识得到，T(z)是设定的。因此未知多项式为F(z)，P(z)，Q(z)。未知系数的个数为

11111d1npnq1npnqdnanbd2，利用两边系数相等（同此项）可能得

到的方程数为max{npnh,ngnqd,ntd1}

max{na1max[nbd1,nbnc1],nbd1max[na1,nancd1],nanbd2}分析（2.6-2）式有解的条件：

（1）若dnc

上式max{na1nbd1,nbd1na1,nanbd2}

nanbd2

表示方程的个数和未知数（待定系数）个数相等，（2.6-2）式有解。

（2）若dnc，则degHnbnc1，degGnancd1方程式的个数为：

max(nanbnc2,nancd1nb1d,nanbd2)

即，nanbnc2大于未知数

所以无解。

3.极点配置广义最小方差自校正控制算法

（1）在（2.6-2）式极点配置方程中，H(z1)和G(z1)事通过辨识出来的参数，为此将预报方程和最优预报法改写

G(z1)y(k)F(z1)B(z1)u(k)由 P(z)y(kd)F(z1)(kd) 1C(z)1两边同加Q(z1)u(k)R(z1)(k)，经整理得到

G(z1)y(k)F(z1)u(k)E(z1)(k)1e(kd)F(z)(kd) 1C(z)式中，H(z1)F(z1)B(z1)C(z1)Q(z1)，E(z1)C(z1)R(z1) 这样就把控制器工作方式换成调节器工作方式，

e(kd)e*(式中，

kd)F(z1)(kd)----------（2.6-3） kkdG(z1)y(k)H(z1)u(k)E(z1)(k) e()kC(z1)**令e(kd)0，得到 kG(z1)y(k)H(z1)u(k)E(z1)(k)0---------（2.6-4）

求得： u(k)111[E(z)(k)G(z)y(k)] 1H(z)和（2.5-7）的表达式完全相同。

*将e(kd)G(z1)y(k)H(z1)u(k)E(z1)(k) 代入（2.6-3）式， k得到：

e(k)G(z1)y(kd)H(z1)u(kd)E(z1)(kd)F(z1)(k)

T(kd)F(z1)(k)---------（2.6-5）

式中，

(kd)[y(kd),y(kdng);u(kd),u(kdnh);(kd),,(kdne)]T[g0,,gn;h0,,hn;e0,en]T

ghe（2）利用最小二乘估计递推算法辨识参数，计算公式如下：

(k)(k1)u(k)[e(k)T(kd)(k1)h0u(kd)]-----（2.6-6a）

K(k)P(k1)(kd)[1T(kd)P(k1)(kd)]1-----（2.6-6b） P(k)P(k1)K(k)T(kd)P(k1) ------（2.6-6c）

将估计参数G(z1)和H(z1)代入（2.6-2）式，可求出P(z1)和Q(z)。（3）控制算法计算步骤：

①初始化(0)0，P(0)105~106I，d； ②预采样形成(k1)； ③采样y(k)，(k)；

④计算e(k)P(z1)y(k)Q(z1)u(kd)R(z1)(kd)； ⑤按（2.6-6a）~（2.6-6c）计算(k)0； ⑥计算控制作用T(k)(k)0；

⑦由下列方程求P(z)和(z)（接（2.6-2）式）； ⑧递推一步(k1)k，k(k1)返回③。

2.8自校正PID控制器

经典控制策略PID控制具有较强的鲁棒性。广泛地应用于各种工业过程控制中。但是对于参数未知或慢时变的对象PID参数难于选择，即使选择好了但对象参数变化了而不能获得满意的控制效果。自校正PID控制器能够在线整定和校正PID参数，因此具有很强的鲁棒性。 1. PID算式

（1）模拟量PID算式

模拟量PID调节器的理想算式为：

111U(t)Kp[e(t)1TIt0e(t)dtTDde(t)]-------（2.7-1） dt式中：e(t)----------调节器输入信号，一般为设定值与实际输出之差，e(t)yry(e)。

u(t)----------调节器输出信号，一般为对象的输入信号。 Kp-----------调节器的放大系数。

TI和TD----------调节器的积分时间和微分时间。（2）离散化PID算式

当采样周期TD与对象的惯性时间常数相比较相对很小时，用一阶差分代替一阶微分，用矩形累加代替积分得到:

Tu(k)Kp{e(k)0TIe(i)i1k1i1kTD[e(k)e(k1)]}--------(2.7-2) T0利用后向差分写成递推算式：

Tu(k1)Kp{e(k1)0TIe(i)TD[e(k1)e(k2)]} T0T0Te(k)D[e(k)2e(k1)e(k2)]} TIT0u(k)u(k1)Kp{e(k)e(k1)u(k)u(k1)p0e(k)p1e(k1)p2e(k2)--------（2.7-3）

式中， p0KPKIKD KIKPT0 TITD T0 p1KP2KD KDKP p2KD (3)PID控制器的一般形式

引入z多项式，（2.7-3）式可以写成H(z1)1z1

1H(z1)u(k)G(z1)e(k) H(z1)u(k)u(k)u(k1)------（2.7-4）

式中，H(z1)1z1 G(z1)p0p1z1p2z2

G(z1)e(k)p0e(k)p1e(k1)

设e(k)为增量形成值用y(k)表示，相当于最小方差调节器的控制形成。令e(k)y*(k)y(k)，就可得到控制器的一般形式

H(z1)u(k)z1G(z1)y*(k)G(z1)y(k)---------（2.7-5）

它和最小方差控制器规律形成类似，y*(k)~(k) G(z1)~E(z1) H(z1)取为

1z1。

2.具有极点配置的PID控制器（1）被控对象

设被控对象为确定性二阶系统，由下式描述

A(z1)y(k)z1B(z1)u(k)-----------（2.7-6）

其中，A(z1)1a1z1a2z2，B(z1)b0b1z1

由（2.7-5）式的控制规律可知H(z1)和G(z1)多项式的阶次分别为nh1，ng2将（2.7-5）式代入（2.7-6）式，得到

[A(z1)H(z1)z1B(z1)G(z1)]y(k)z1G(z1)B(z1)y*(k1)-----------（2.7-7）

（2）极点配置方程

设闭环特征多项式为T(z1)，它的0点就是理想的闭环极点。则有：A(z1)H(z1)z1B(z1)G(z1)T(z1)----------（2.7-8）选择：H(z1)(1z1)(1h1z1) G(z1)g0g1z1g2z2 代入上式，得到：

(1a1z1a2z2)(1h1z1)(1z1)z1(b0b1z1)(g0g1z1g2z2)

t0t1z1tnezne------------（2.7-9）

式中，t01，nt4 未知数为h1，g0，g1，g2

选择ne2，则闭环系统为二阶系统，可以由连续系统的标准特征多项式

2(s22nsn)中的和n来直接决定T(z1)的系数

t12exp(nTs)cos(nTs12)

t2exp(2nTs)

式中，Ts---------采样周期。

3.自校正PID控制器

对于（2.7-6）式描述的对象。其参数未知或缓慢时变，则采用自校正控制算法，下面

介绍采用显示方法来实现。

首先估计对象的参数A(z1)和B(z1)的系数。设参数向量：

[a1,a2,b0,b]T

数据向量：

(k1)[y(k1),y(k2),u(k1),u(k2)]T

采用递推最小二乘法估计参数

(k)(k1)K(k)[y(k)(k1)(k1)]----------（2.7-10a）

K(k)p(k1)(k1)[T(k1)p(k1)(k1)]1---------（2.7-10b） p(k)[Ik(k)T(k1)]p(k1)1T----------（2.7-10c）

2.9小结 1.分类

（1）接自校正控制系统采用的控制策略分类。可分为三大类：

①基于最优控制策略；例如，最小方差和广义最小方差自校正控制系统。 ②基于经典控制策略；例如，具有极点配置和PID自校正控制。

③基于经典控制和最优控制相结合的控制策略。例如，具有极点配置的广义自校正控制系统。

（2）按自校正控制算法实现方式来分类。可分为两类：

①隐式（直接）自校正控制算法，它直接辨识控制器（调节器）的参数。它省去控制规律设计计算。避免求解Diophantine方程，算法鲁棒性好。

②显式（间接）自校正控制算法，它估计辨识对象的参数。然后将其估计值当成真实参数去计算控制器的参数。当对象延时大时，可以减少辨识参数的个数。将算法稳定性条件和对象的参数联系起来。 2.自校正控制系统的共同点（1）适用范围

它是应用于具有不确定性的对象控制技术，包括对象模型不确定性（阶次和参数未知或时变），运行环境不确定性（噪声的统计特性不确定性）。（2）需要在线辨识参数

各种自校正控制系统都包括参数辨识部分，以便克服对象（被控过程）模型和运行环境的不确定性，被辨识的参数可能是对象的参数，也可能是控制器的参数。通常利用递推最小二乘方法来辨识参数。它计算量少，易于在线进行。它分为增长记忆算法和估计消记忆算法。（3）预报模型和参数辨识方程

对于隐式算法通常用闭环系统的预测模型作为参数辨识方程，由下列方程表示：

y(k)T(kd)(k)或y(k)T(kd)F(z1)(k)

其中，(kd)---------数据向量。一般为k时刻以前的输入和输出数据，其维数由辨识参数决定。

--------辨识参数向量，为了避免出现闭环系统参数不可辨识性出现，通常留一个参数

不参加辨识，而作为可调整参数。例如b0,h0,h等。

(k)--------模型误差。预报模型的误差。

一般采用隐式算法，避免计算控制器的参数。为了简化起见一般为41，(kd)也为41。

（4）所有自校正控制系统都是采用确定等效控制技术

确定等效控制技术：先按被控制参数已知来设计控制规律（即假设不确定性不存在）。例如，最小方差控制规律，PID控制规律的计算。然后用对象的参数估计来取代控制规律中的对象参数，这种方法称为确定等效控制。其前提是①分离原理：自校正控制器的两部分参数估计和控制规律计算两部分可分离开来。可以证明自校正控制规律最终可以收敛到已知参数的控制规律（最小方差，广义最小方差等）。②模型误差为有限谱密度平稳随机信号。（5）具有自校正特性

它是指自校正控制规律最终会收敛到（当k足够大以后）对应的确定性对象的最优控制规律。由于不断在线辨识对象（或控制器）的参数，因此随着对象参数的变化，它会修改控制器的参数达到时变参数对应的最优控制规律。 3.不同形式的自校正控制的控制性能的差别

干扰（扰动）分为两种：①随性扰动：一般是高频无规律的扰动；

②确定性扰动：一般是指阶跃输入，突加负载；

对于克服随机扰动，最小方差和广义最小方差控制具有较好的效果。而PID控制差一些。

对于克服确定性扰动，则PID控制响应快些，超调量较小振荡次数少。而最小方差和广义最小分类控制的动态特性不太好。

极点配置（0极点配置）控制方案比较灵活，对两类干扰都可以有较好的控制效果。但是计算量比较大些。

第三章自校正预测控制系统

(Self-tuning predictive control systems)

3.1 概述

预测控制是20年代末—80年代初逐步发展起来的一类新型的计算机控制算法，主要有模型算法控制(MAC-model algorithm control),动态系统矩阵控制(DMC-dynamic matrix control),广义预测控制(GPC-generalized predictive control),内模控制(IMC-internal model control)等。预测控制的基本思想是利用内部模型（预测模型）预测被控过程未来输出及其与期望值之间的差，然后根据某种优化指标计算当前应加入的控制量，使未来的输出量可能跟踪给定的参考轨线。而经典控制例如PID控制则是用过去和当前的信息来确定当前的控制作用。不能预测被控制过程未来的输出及其变化趋势，特别是党被控对象有纯延迟时，这一缺陷就尤为明显。

预测控制额三个基本特征： (1)预测模型(又称内部模型) (2)滚动优化 (3)反馈修正 1.预测模型

这是一个描述被控对象动态行为并有预测功能的数学模型。它能根据系统的历史(过去)的信息(输入和输出)和待选定的未来的输入，来预测对象的未来的输出。通常采用两种类型的数学模型

(1)CAMRMA或(CARIMA)模型，成为参数模型。 (2)脉冲响应(或阶跃模型)模型，称为非参数模型。

后者的优点是不需要确定对象的阶次和时间延迟等参数，便于用实验方法直接建模，前者的优点是参数较少，计算量较少。

只要具有预测功能且易于建模的信息集合都可以作为预测模型。上述两类模型可以相互转化。第二章参数辨识模型也是预测模型(预极模型)，它只预测一步，未用到未来的输入。本章着重讲非参数模型。 2.滚动优化

预测控制是一种基于优化的控制算法，它不是采用全局优化目标，而是采用直线反复进行的“滚动式”有限时域优化策略，得到的解是全局次优解，但对于对象参数时变，有随机干扰和模型失配等因素的影响能及时得到补偿，有利于在复杂的工业环境中实现有效的优化控制。

3．反馈修正

由于实际对象存在非线性，参数时变，模型失配和随机干扰等因素影响，使预测模型输出和对象的实际输出之间存在偏差，用实际法的偏差对模型预测的未来输出进行修正，并按修正过后的输出进行滚动优化，计算出控制规律。这样使预测控制能有效克服对象存在的不确定性，提高了系统的鲁棒性。

上述三个特性与经典控制系统中的模型、控制和反馈三个基本要素是一致的。

3.2 自校正内模控制器(STIMC)

(Self-Tuning Internal Model Controller)

它是一种对被控过程数学模型精确度要求较低的一种控制算法。 1．内模控制器原理 (1) 内模控制器的基本结构

IMC基本结构框图如图3.2-1所示

v(k)W(k)Gp(z1)yr(k)+Xu(k)Gc(z1)-G(z1)+-XXyf(k)ˆ(z1)G- +e(k)

ym(k)Gf(z1)图3.2-1 IMC结构框图

图中 G(Z1)——被控对象

ˆ(Z1)——对象的数学模型(内部模型) GGc(Z1)——内模控制器

Gr(Z1)——参考输入滤波器(柔化器)

Gf(Z1)——反馈滤波器

Y(k)和Ym(k)——分别为对象的实测输出和内部模型输出。 W(k)和Yr(k)——输入设定值和输入参考轨线 U(k)——对象的输入(控制作用) V(k)——外部干扰信号

内部模型是对被控对象的近似描述，它可以通过离线或者在线实验测得。当内模和对象完全

ˆ(Z1)=G(Z)，则误差信号e(k)= Y(k)- Ym(k)= V(k)。因为控制作用同时匹配时，G1作用到对象和内模。

(2) 内部模型

对于一个渐进稳定的线性系统，其脉冲响应了它的动态行为。已知其脉冲响应如图3.2-2所示，由卷积方式可直接预测其未来的输出。即

tY(k)g()u(t)d

离散化，取tk1,i,i1,2,……,N积分写成求和的形式，得到

y(k1)g(i)u(k1i)

i1N g1(1)u(k)g2(2)u(k1)……+gN(N)u(kN1)V(k1)

g(z1)u(k)V(k1) (化成z1多项式形式)

gTU(k)V(k1) （化为向量形式）

1 y(k)z1g(z1)u(k)v(k) G(z1)Z1g(z ) （3.2-1）

Y(t)g4g3 g2g1gNt/Ts01234图3.2-2 对象脉冲响应曲线

式中 g(z1)g1g2z1……gNzN(1)

g[g1,g2,…,gN]T

U(k)[u(k),u(k1),…u(kN1)]T

y(k1)——对象在k1时刻的实际输出 u(i)——t1时刻作用对象的控制作用 v(k1)——k1时刻的干扰

ˆ来表示，作为模型的脉冲响应，这实际量测到的或通过参数估计得到的脉冲响应用向量g样模型的预测输出为

ˆTU(k)gˆ(z1)u(k) (3.2-2) ym(k1)g46

式中 gˆ[gˆ1,gˆ2……gˆN]T gˆ(z1)gˆ11gˆ2z……gˆ(N1)Nz ym(k1)——(k+1)时刻预测模型的输出值

y1m(k)zgˆ(z1)u(k) Gˆ(z1)z1ˆg(z1 )如果系统有时间延迟，则预测模型方程应为

yzlm(k1)ˆg(1z)u( k ) 式中 l——对象的纯延迟时间 dl1

(3)IMC的特性

1.IMC闭环系统方程

设 G1f(z)1，由图3.2-1 可知 u(k)Gcz(1)y{rk()Gz[1(Gˆ)z1u(k)]v(k) 式中 G(z1)z1g(z1——对象开环脉冲传递函数) Gˆ(z1)z1gˆ(z1)——模型脉冲传递函数 v(k)——系统干扰信号

经过化简整理后，得到系统的输入方程和输出方程如下：输入方程：u(k)Gc(z1)1G11)v(k)]c(z)[G(z)Gˆ(z1)][yr(k输出方程：将u(k)代入（3.2-1）式得到

y(k)G1c(z)G(z1)1Gk)]v(k) c(z1)[G(z1)Gˆ(z1)][yr(k)v(闭环系统和控制器的稳定条件是：

1ˆG(z1[G(z1)G(z1)]0 c)1111ˆG(z)G1[G(z)G(z1)]0 c(z)G(z1)特征根位于Z平面的单位圆内。 2.IMC系统的三个基本特性 ① 特性1:理想控制器特性当控制器按下式设计

3.2-3） (3.2-4)

(3.2-5)

(3.2-6) (3.2-7) 47

（()} ˆ1(z1) Gc(z1)G而且IMC系统闭环稳定，则由输出方程(3.2-5)式可知y(k)yr(k)

表明系统对于任何干扰v(k)的影响都能消除，实现对参考输出的无偏差跟踪。 ②特性2：稳态误差为0的特性

ˆ(1)，即控制器的静态增益为模型静态增益的倒数，则对于渐进常若选择Gc(1)G1值输入，稳态误差(yry)0

由(3.2-5)式可以求出IMC系统的误差函数为

E(k)yr(k)y(k)yr(k)ˆ(z1)]1Gc(z)[G(z)G11Gc(z1)G(z1)[yr(k)v(k)]v(k)

[1ˆ(z1)]1Gc(z)[G(z)G11Gc(z1)G(z1)][yr(k)v(k)]

ˆ(z1)1Gc(z1)G[yr(k)v(k)] 111ˆ1G(z)[G(z)G(z)]cˆ(z1)1Gc(z1)G limE(k)lim[yr(k)v(k)]0 111kˆ1Gc(z)[G(z)G(z)]z1k这表明闭环系统具有对误差的积分作用，不需要在控制器设计时引入积分银子，就能保证系统稳态误差为0。这可以将IMC结构图改画为图3.2-3 设Gf(z)1，则系统的等效控制器为C(z)

11Gc(z1) (3.2-6) C(z)1ˆ11G(z)G(z)1cˆ(z1)z1gˆ(z1)，Gc(z)将G11代入公式，化简后得到： 1ˆ(z)gC(z1)1 (3.2-8) ˆ(z1)(1z1)g1它表明IMC等效控制器C(z)中有积分因子，所以闭环系统具有稳态误差为0的特性。

v(k)yr(k)+X+-X-Gc(z1)G(z1)+-X y(k)ˆ(z1)G

图3.2-3 IMC等效结构图

③特性3：对偶稳定性

ˆ(z1)G(z1)，而且对象G(z1)和控制器G(z1)都是稳定的，则IMC若模型精确，即Gc系统闭环也是稳定的。

由IMC的反馈信号yf(k)可以看出

ˆ(z1)]u(k)v(k)v(k) yf(k)y(k)ym(k)[G(z1)G表明反馈信号就是干扰信号，即输出没有反馈，此时系统相当于开环运行，因此稳定性由控

制器和对象的稳定性确定，只要控制器和对象都是稳定的，则IMC闭环系统就是稳定的。

3.3.内模控制器设计

ˆ(z)可得到理想的输出响应，称为理想控制器，但是理想由特性1可知，令Gc(z)G111控制器特性是难于实现的，这是由于下列三个原因：

ˆ(z)，则G(z1)中有超前因子，在物理上难于实现①若对象有延迟环节，取Gc(z)Gc11（要用到未来的信息）。

ˆ(z)，ˆ(z1)中有位于单位圆外的零点，若取G(z)G②若对象为非最小相位系统，Gc111则控制器自身不稳定，闭环系统也可能不稳定。

③用理想控制器构成的系统对误差较为敏感。

1)基本设计思想

IMC设计思想是将设计分为两步：

①先设计一个稳定的理想控制器(稳态误差为零)。

②然后在反馈和输入回路中引入反馈滤波器Gf(z)和输入滤波器Gr(z1)，通过调整

1Gf(z1)的参数f和Gr(z1)的参数r来获得期望的动态特性和鲁棒性。

(1)第一步：设计一个稳定的理想控制器(稳态误差为零)

ˆ(z1)分解为两部分若模型为非最小相位系统，则将G49

ˆ(z1)Gˆ(z1)ˆ(z1) (3.2-9) GGˆ(z)——包含滞后因子和不稳定零点的部分。式中：G1ˆ(z1)——模型的最小相位部分。 Gˆ(z)Gˆ(z)f(z) (3.2-10) 令Gc1111ˆ(1) 即f(1)ˆ(1)1 这样可以保证闭环系统的式中 f(z1)——可实现因子 f(1)GG1零稳态误差特性。选取 f(z)111z1 (0) (3.2-5)

f(1)11ˆ(1) 或f(z1)11，(1) (3.2-7)  ,1Gˆ(1)1ˆ(1)1z1GGˆ(1)为模型不稳定部分的静态增益式中 Gˆ(1)1，则 f(z)若取G11，的大小根据具体情况决定。 11z将(3.2-10)式代入(3.2-5)，得到闭环系统输出方程为：

ˆ1(z1)G(z1)ˆ1(z1)f(z1)G1f(z1)Gy(k)y(k)v(k)r1ˆ11111ˆ1111ˆˆ1f(z)G(z)[G(z)G(z)]1f(z)G(z)[G(z)G(z)]„„ (3.2-11) 上式中：

ˆ1(z1)G(z1)f(z1)G1ˆ1ˆ(z1)]1f(z)G(z1)[G(z1)Gˆ1(z1)G(z1)f(z1)Gˆ1(z1)G(z1)f(z1)Gˆ1(z1)Gˆ(z1)]1f(z1)Gˆ1(z1)G(z1)f(z1)Gˆ(1)1)1(f(1)G1ˆ1111ˆ1111f(z)G(z)G(z)f(z)G(z)G(z)]z1ˆ(z1)1f(z1)Gˆ(1)1) 0(f(1)G1ˆ11111ˆ1f(z)G(z)[G(z)G(z)]z1因此对于节约输入和扰动，系统能实现稳态无扰跟踪，即y()yr()

ˆ(z1)G(z1)，由(3.2-11)可知当模型匹配时，G50

ˆ(z1)y(k)[1f(z1)Gˆ(z1)]v(k) y(k)f(z1)Grˆ(z1)Gˆ(z1)ˆ(z1) G(z1)GGˆ(z)决定，其中Gˆ(z)是系统上式表明：当模型匹配时，系统的动态特性由f(z1)和G11固定的，f(z1)是控制器可实现因子，调整可以改变输出响应特性。

2) 设计输入和反馈滤波器

为了提高IMC系统的动态品质和鲁棒性，柔化控制作用，在反馈回路和输入回路分别引入低通滤波器Gf(z)和Gr(z1) ① 反馈滤波器

反馈滤波器Gf(z)取下列式子

11Gf(z1)1f1fz1

式中 f——滤波系数 0f1 这样 Gf(z)1 保证稳态反馈系数为1。

加入反馈滤波器后，闭环系统的输入，输出和误差方程分别为：

1u(k)ˆ(z)]1Gf(z)Gc(z)[G(z)G1111Gc(z1)[yr(k)Gf(z1)v(k)] (3.2-12)

ˆ(z1)1Gf(z1)Gc(z1)GGc(z1)G(z1)y(k)yr(k)v(k)11111111ˆˆ1Gf(z)Gc(z)[G(z)G(z)]1Gf(z)Gc(z)[G(z)G(z)] (3.2-13)

ˆ(z1)1Gc(z1)G(z1)[1Gf(z1)]Gf(z1)Gc(z1)GE(k)yr(k)ˆ(z1)]1G(z1)G(z1)[G(z1)Gfcˆ(z1)1Gf(z1)Gc(z1)Gv(k) (3.2-14) 1111ˆ1G(z)G(z)[G(z)G(z)]fc控制器和闭环系统的特征方程分别为：

1ˆ(z1)]0 (3.2-15) Gf(z1)[G(z1)G1Gc(z)Gf(z1)1ˆ(z1)]0 (3.2-16) [G(z1)G111Gc(z)G(z)G(z)很明显通过选取适合的f可以改变上述特征方程根的位置，从而保证系统稳定，并且有较

好的动态品质和鲁棒性。同时反馈滤波器对模型失配产生的误差和参数波动产生的额误差有补偿作用。[反馈信号是y(k)ym(k)] ②输入滤波器

其主要作用是减少突加输出量的冲击，起柔化和平滑作用。经过Gr(z1)的输入参考轨线形式一般为

yr(ki)ry(ki1)(1r)i1,2,……,p (3.2-9)

yr(k)y(k) 0f1

式中

——输入设定值，reTsTr,

Tr——参考轨线时间常数， Ts——采样周期。

加入滤波器后，参考输入信号方程为：

yr(ki)1r1G(z) (3.2-17) r11rz式中 Gr(z1)1r Gr(1)1 11rz按(3.2-18)式画出的参考轨线如图3.2-4所示

过去未来y(t)yr(t)y(t)tkT

k1……kN2图3.2-4 参考轨线

2) 有不稳定0点非参考数型内模控制器的实用设计方法

ˆ(z)和ˆ(z)中会有不稳定0点，ˆ(z)阶次较高(N=20~50),要分解为稳定部分G若g由于g111ˆ(z)较困难。为了简化设计，通常采用下列四种方法：不稳定部分G1①按近似脉冲响应模型设计。

②按等效比例控制器设计。 ③安优化性能指标设计。

④将非参数模型转化为参数模型设计。

它们的共同点是将脉冲响应模型进行改造，使设计便于进行。 (1)按等效比例控制器设计

令IMC系统的等效控制器为比例控制器，即令C(z1)k 则Gc(z1)11ˆ1G(z)k (3.2-18)

1上式表明：这种设计方法相当于将对象脉冲响应改造为含有常数项的近似模型G(z)

ˆ1ˆ(z1)1zdgˆ(z1)gˆ1zd……gˆNz(Nd1) Gkk这种办法是将高频段扩展。因为脉冲响应曲线起始段相当于高频响应，后面段相当于低频响

应。

从(3.2-18)式可以看出IMC控制器就是按改造后的脉冲响应的倒数，即Gc(z)G(z)来设计，其等效的控制器是比例控制器是可以实现的。 (2)将非参数模型转换成参数模型设计

参数模型的优点是阶次较低易于分解。两种模型的等价转换如下：

1ˆ1zdˆ(z1)Bˆ(z1) zdg1ˆ(z)Azdˆbˆz1bˆz2……bˆznbb012nbˆ1z1……aˆnazna1aˆ ˆ1bg0ˆ1gˆ2z1……gˆNz(N1)) (3.2-19) zd(g整理后领两边同次项系数相等，得到

ˆaˆgˆ2bˆ1gˆ1 bˆ2aˆ1gˆ1 g11ˆaˆgˆ3bˆ1gˆ2aˆ2gˆ1 bˆ3aˆ1gˆ2aˆ2gˆ1 g22 

ˆaˆgˆk1bˆk1i bˆk1aˆigˆk1i (3.2-20) gˆigkki1i1kkˆ0(ˆi0(当ina) 这里 b，a当knb)k由上式可求出等价的被控对象参数模型

ˆ(z1) ˆ(z1)y(k)zdBˆ(z1)u(k)的传递函数为GA53

ˆ(z1)Bˆ(z1)zdB1ˆˆ(z1)Gˆ(z1) G(z)Gˆ(z1)Aˆ(z1)Bˆ(z)其中： G 1ˆA(z)1ˆbˆz1bˆz2……bˆznb) ˆ(z1)zdBˆ(z1)zd(bG012nb则IMC控制器为：

ˆ(z1)A1ˆ(z)f(z) Gc(z)G (3.2-21) 11ˆB(z)1z1111ˆ(z1)f(z1)要求G其中

z1ˆ 1 可实现因子的参数为1bii0nbˆ(z1)的最高次项的次数 nb是Bˆ是Bˆ(z1)的各次项系数，i0,1,….nb biˆ(z1)有关，ˆ(z1)的信息，ˆ1直接包含B说明：①只有脉冲响应函数第一个点g其他各点才与Aˆ(z1)的不稳定0点主要由脉冲响应函数的第1~2个采样点决定(gˆ1和gˆ2)，因此将非表明Bˆ1和gˆ2，就能将其改造为最小相最小相位系统的脉冲响应函数截断高频段的1~2个采样点g位系统。如图3.2-5的(a)和(b)所示

ˆ中包含ˆ1gˆ2，g(a)中由于g有非最小相位部分。

ˆ(t)g1ˆ2gˆ之后，gˆ10，则(b)中截断g 变为最小相位系统，说明截断高频段时，可以将非最小相位对象改造成为最小相位对象。 ②脉冲响应模型是一个非最小化模型，当knanb1，

ˆ1gˆNgt/Tsldˆ(z1)和脉冲响应对多项式A图3.2-5(a)ˆ(z1)和Bˆ(z1)提供的信息是多余的，ˆ(z1)ˆ1，gˆ2，ˆnanb1，仅需要g„，个数据即可确定AgB的全部系数。

ˆ(t)g1 ˆ1gˆNgt/Tsld1图3.2-5(b)③加入反馈和输入滤波网络Gf(z)和Gr(z1)

1

在设计了稳定的理想控制器以后，加入反馈和输入滤波网络Gf(z)和Gr(z1)以后的控制规律为：

1u(k)Gc(z1)[y(k)Gf(z1)e(k)] (3.2-22)

式中 yr(k1)1r，e(k)y(k)ym(k)

1rz1Gc(z1)ˆ1ˆ(z1)Gˆ1(z1)f(z1) G1其中G(z)为经过改造后的模型的脉冲响应函数。

3)开环不稳定对象IMC的设计

先用内环反馈构成一个稳定的广义对象，然后再按照稳定的对象进行设计。设对象由下列离散差分方程描述：

A(z1)y(k)zdB(z1)B(z1)u(k)Z(k) (3.2-23)

其中 A(z)——开环不稳定极点(其0点在单位圆外) B(z1)——不稳定0点多项式 B(z1)——稳定0点多项式 Z(k)——干扰信号

(3.2-23)式描述的对象是一个不稳定的非最小相位系统，属于难于控制的对象。

155

由图3.2-6给出IMC结构框图，其中

1，P和G(z1)构成广义对象Ge(z1) QBGe(k)yr(k)+X-Gc(z)1+u(k)Xv(k)G(z)1-1Q(z1)B(z1)+X- y(k)P(z1)ˆ(z1)Ge- X+Gf(z1)图3.2-6 广义对象IMC系统结构框图

由图3.2-6可以看出广义对象的输入为：

U(k)Q(z1)B(z1)u(k)P(z1)y(k) (3.2-24)

式中

P(z1)pizii0np1，Q(z)1gizi1ngng(3.2-24)代入(3.2-23)式，得到

[A(z1)Q(z1)zdB(z1)P(z1)]y(k)zdB(z1)U(k)Q(z1)Z(k) (3.2-25)

进行广义对象的极点配置，令A(z1)Q(z1)zdB(z1)P(z1)Am(z1) (3.2-26) 式中 Am(z1)——期望的极点多项式(广义对象) Am(0)1 degPnpna，1degQngnbd1

设定Am(z1)，已知A(z)和B(z1)B(z1)B(z1)，可以利用两边同次项系数相等，求出P(z)和Q(z)的各次项系数。进行极点配置后，广义对象可以写成：

111Am(z1)y(k)zdB(z1)V(k)Q(z1)(k) (3.2-27)

式中 V(k)Q(z)/1——广义对象的干扰信号 (k)式 (3.2-27)表示广义对象为稳定的非最小相位对象，可根据上述的设计方法(对于非最小相位的稳定对象的设计方法)，设计IMC，广义对象模型的脉冲传递函数为：

d1zB(z)1ˆ(z)ˆ(z1)ˆ(z1) GzdB(z1)GGeeeAm(z1)Am(z1)1ˆ(z1)式中 Ge1Am(z1)ˆ(z)zB(z) ，Ge1d1则控制器的传递函数(接上述设计方法)为：

ˆ1(z1)f(z1) (3.2-28) Gc(z1)Ge广义对象的控制规律为：(设Gf(z)1)

1Gc(z1)U(k)[yr(k)y(k)] (3.2-29) 1ˆ11G(z)G(z)ce实际对象的控制规律

u(k)1[U(k)P(z1)y(k)] (3.1-23) 11Q(z)B(z)Gc(z1)11[y(k)y(k)]P(z)y(k) r1ˆ1Q(z1)B(z1)1G(z)G(z)ceˆ(z1)]G(z1)P(z1)[1Gc(z1)Gec yr(k)111ˆ1111ˆ1Q(z)B(z)[1Gc(z)Ge(z)]Q(z)B(z)[1Gc(z)Ge(z)]Gc(z1) (3.2-30)

(3)输入输出方程： ①输入方程：

zdB(z1)Q(z)将y(k)u(k)(k) 代入 11Am(z)Am(z)u(k)1[U(k)P(z1)y(k)]11Q(z)B(z)zdP(z1)B(z1)1P(z1)Q(z1)[U(k)U(k)(k)]1111Q(z)B(z)Am(z)Am(z)1A(z)Q(z)P(z)[U(k)(k)]1111Q(z)B(z)Am(z)Am(z)111[A(z)U(k)P(z)(k)]11Am(z)B(z)111

将U(k)

ˆ(z1)]1Gc(z)[Ge(z)Ge11Gc(z1)[yr(k)y(k)]代入上式，得到

输入方程：

ˆ(z1)]G(z1)}(k)A(z1)Gc(z1)yr(k){P(z1)[1Gc(z1)Gecu(k)11111111ˆ(z)]}A(z)B(z){1G(z)[G(z1)Gˆ(z1)]}Am(z)B(z){1Gc(z)[Ge(z)Gemcee其中第二项分子为:

ˆ(z1)(k) (3.2-31) Gc(z1)A(z1)(k)P(z1)(1Gc(z1)Ge(z1)Gc(z1)Geˆ)(k)GAQ(k)PGG(k) P(1GcGecceAmdzPBAQˆ)(k)G(k)(P(1GcG) ecAmAmˆ)G](k) [P(1GcGec②输出方程：

将(3.2-29)代入(3.2-27)式，得到

y(k)GeGcQ[yr(k)y(k)] ˆAm1GcGe整理之后得到的输出方程为：

ˆ(z1)]Gc(z1)Ge(z1)Q(z1)[1Gc(z1)Gey(k)y(k)(k)r1111111ˆˆ1Gc(z)[Ge(z)Ge(z)]Am(z){1Gc(z)[Ge(z)Ge(z)]} (3.2-32)

zdB(z1)ˆ1ˆˆ(z1) Ge(z)Ge(z1)Ge1Am(z)ˆ(z1)其中 Ge111ˆ(z1)zdB(z1) ，Ge1Am(z)1111ˆ(z)f(z)A(z)f(z) 令Gc(z)Gemd1zB(z)1d1ˆ(z)A(z)f(z)Gc(z)Gf(z)zB(z)1 em1z1Am(z)1111(f(z1)11)) 1ˆB(1)1z当z1，(3.2-32)式第一项系数为1，第二项系数为0 因此y(k)kyr(k)k

3.自校正内模控制器

当内部模型与实际对象模型失配时，IMC系统的动态特性和控制质量变坏，为此引入自校正技术。

在线估计参数可采用两种模型:①脉冲响应模型，②离散差分模型

脉冲响应模型又称为非参数模型，其参数较多，计算量大，计算时间长。离散差分方程模型又称为参数模型，估计参数较少，计算量少些，便于自适应递推计算。因此先辨识离散差分模型的参数，再用(3.2-18)式转换为脉冲响应模型的参数。设对象的离散差分模型为：

y(k)a1y(k1)a2y(k2)…anay(kna)b0u(kd)b1u(kd1)…bnbu(kdnb)(k)

ˆ(k)(k) T(k1)式中被估计参数向量

ˆ(k)[a,a,…，a;b,b,…，b]T 12n01nabT(k1)[y(k1),…，y(kna);u(kd),u(kd1),…，u(kdnb)]T

递推最小二乘法参数估计计算公式如下：

ˆ(k)ˆ(k1)(k)[y(k)T(k1)ˆ(k1)]1K(k)P(k1)(k1)[T(k1)P(k1)(k1)]1P(k)1[I1(k)T(k1)]P(k1) (3.2-33) 2) STIMC计算步骤

①置初始值：(0),P(0),;na,nb,d;N,r,f; ②预采样：形成数据向量(kd)； ③采样：y(k)；yr(k)1r 11rzˆ(z1)和Bˆ(z1)； ④按(3.2-33)式估计离散差分方程的参数Aˆ(z1)和Bˆ(z1)的0点稳定性 ⑤检验Aˆi(i1,2,…,N) ⑥按(3.2-20)式计算脉冲响应函数的参数g⑦计算预测模型输出误差e(k)y(k)yr(k) ⑧计算参考输入轨线yr(k)ryr(k1)(1r)

⑨按IMC设计计算控制器参数Gc(z1) (按式(3.2-18),(3.2-21))

⑩计算控制规律u(k) (按式(3.2-22),(3.2-18))

11递推一步，(k1)k,k(k1)，返回③ ○

3.3自校正模型算法控制器（STMAC）

模型算法控制器（MAC）是以脉冲响应作为内部模型的预测控制器。用过去和未来的输入信息预测未来的输出，经过实测误差修正后再与参考轨线比较，应用二次型性能指标进行滚动优化。然后计算出当前时刻应加于系统的控制作用，完成整个控制循环。 1.多步预测模型

（1）对象的真实模型为：

y(k1)g1u(k)g2u(k1)gNu(kN1)(k1)

g(z1)u(k)(k1)---------------（3.3-1）式中，g(z1)gN1)1g2z1g(Nz

y(k1)和(k1)---------分别为(k1)时刻的对象的输出和不可预测干扰。

（2）预测模型（一步预测模型）

y(k1)g1)gM1u(k)g2y(kNu(k1N)

g(z1)u(k)-------------（3.3-2）

式中，g(z1)g(N1)1g2z1gNz （3）多步预测模型

ygM(k1)(z1)u(ki1) (i1,2,,N2)------------（3.3-3）

NNgiiu(kij)gju(kij)ij)

j1j1jgju(ki1式中，N2--------预测时域长度；

Nu-------控制时域长度；

N-------脉冲响应截取长度。 NuN2N 将（3.3-3）式展开写成：

y(k1)gM1u(k)

y(k2)ggM1u(k1)2u(k)



yM(kNu)g1u(kNu1)gNuu(k) yM(kNu1)g2u(kNu1)gNu1u(k)



yM(kN21)gNyM(kN2)gN2Nuu(kNu1)gN2Nu1u(kNu2)gN21u(k)

2Nu u(kN1)gu(kN2)guN2Nu2uN2u(k)1待求控制量（未知）产生的预测输出

g2u(k1)gNu(kN1) g3u(k1)gNu(kN2)



gNU1u(k1)gNu(kNNu) gNU2u(k1)gNu(kNNu1)



gN2u(k1)gNu(kNN21) gN21u(k1)gNu(kNN2)

已知控制量产生的预测输出

yM(ki)ⅠⅡ---------（3.3-4）

说明，多步预测模型输出包括两部分：

①已知的控制量（k时刻以前的）所产生的输出部分，相当于模型输出的初始化。每行输入从（k+1）时刻开始，到[k-（N-i）]时刻上，每行的项数为（N-i）项。第一行（N-1）项，最后一行（N-N2）项。

②由待求的控制量（现时和未来的）所产生的输出部分。因为控制时域长度为Nu，未来的控制量项数最多只有Nu项，从控制量u(k)时刻k到时刻（k+Nu-1）。每行的项数为i，当iNu。

③由于u（k）项的系数下标为i，而当iNu时，左边可能是Nu项，所以u[k(Nu1)]为Ni项。i1,,N2。第一行为N1项，最后一行NNi项。将（3.3-4）式写成矩阵向量形式：

YM(k1)GU(k)FU0(k1)-------（3.3-5）

式中，YM(k1)[yM(k1),yM(k2),,yM(kN2)]N21预测模型输出向量

T U(k)[u(k),u(k1),,u(kNu1)]TNu1待求控制向量

U(k1)[u(kN1),u(kN2),,u(k1)](N1)1已知控制向量

0Tg1g2gNuGgN1UgN21gN20g10g2gN21 gN2(Nu1)N2Nu00g1g2gN0F0gN1gN0gNg3g4gN22g2g3gN21

N2(N1)2.多步预测模型反馈修正

在实际系统中，由于预测模型失配，模型输出yM(k)和实际输出y(k)不一定相等。

e(k)y(k)yM(k)0，为了提高精度用e(k)进行修正，修正后的预测模型为：

Yp(k)YM(k1)H[y(k)yM(k)]GU(k)FU0(k1)He(k)--------（3.3-6）式中， Yp(k1)[yp(k1),yp(k2),,yp(kN2)]N21 e(k)y(k)yM(k)

H[h1,h2,,hN2]TN2（一般令h1=1）

3.求最优控制规律（滚动优化）

（1）目标函数

设目标函数为，在预测时域中误差平方和最小控制量之和为最小

TJpqi[yp(ki)yr(ki)]j[u(kj1)]2---------（3.3-7）

2i1j1N2Nu式中， N2---------多步预测时间长度 Nu---------控制时域长度

yr(ki)--------期望输出轨线（输入参考轨线）

gi和j---------输出误差和控制量的加权系数。

将（3.3-7）式写成向量形式：

Jp[Yp(k1)Yr(k1)]TQ[Yp(k1)Yr(k1)]UT(k)U(k)[GU(k)FU0(k1)He(k)Yr(k1)]TQ[GU(k)FU0(k1)He(k)Yr(k1)]UT(k)U(k)-------（3.3-8）

（2）求最优控制规律

由JP对U(k)求偏导数，令其为0，得到

dJpdU(k)GT2Q[GU(k)FU0(k1)He(k)Yr(k1)]2U(k)0

GTQGU(k)U(k)GTQ[Yr(k1)FU0(k1)He(k)]

所以，U(k)(GTQG)1GTQ[Yr(k1)FU0(k1)He(k)]--------（3.3-9）式中，(GQG)为NuNu维矩阵，（3.3-9）或一次可计算出从k到kNu1时刻的Nu个控制量。（3）滚动优化

按（3.3-9）式算出Nu个控制量后可实现开环控制，虽然它比单步控制量效果好些。但是经过Nu以后由于干扰等因素的影响，而仅是在（k+1）时刻以后各步，都可能会偏离期望输出较远。为了及时纠正这种误差，利用闭环控制，按（3.3-9）式递推一步。计算：

T1(k1)k称为滚动优化，为了求出u(k)可取向量[1,0,0,,0]1NuU(k)[1,0,,0]

U(k)[1,0,,0][(GTQG)1GTQ]NuN2

式中，UT[d1,d2,,dN2][1,0,,0][GTQG]1GTQ--------(3.3-10) 4.系统的IMC结构

将（3.3-9）式中的已知项FU0(k1)改写为：

gN00FU(k1)0

gN1gNgN10g3g4gNgN22g2u(kN1)z(N1)u(kN2)(N2)g3zu(k)1gN21u(k1)zN2(N1)gNzN1gN1zN2g2z1N21N3gzgzgNN13zu(k)F(z1)u(k)

1gzNN2gzNN21gN1N21zN1N2-----（3.3-11）

式中，

gNzN1gN1zN2g2z1N21N3gzgzgNN13z1F(z)1gzNN2gzNN21gzNN1N12N21将（3.3-11）式代入（3.3-10）式，得到：

N1jgz1jf1(z1)j1N21jf2(z)g2jzj1f(z1)NN2N2jgN2jzj1u(k)DT[Yr(k1)F(z1)u(k)He(k)]

移项合并，对U作归一化处理后有

Tu(k)式

1[Dr(z1)yr(kN2)Hfe(k)]---------（3.3-12） 1F(z)中

，

F(z1)1DTF(z1)1(d1g2d2g3dN2gN21)z1(d1gN2d2gN1d3gN)zN3(d1gN1d2gN)zN2d1gNzN11f1z1f2z2fNz(N1) ---------（3.3-13）

N2fidjgij i1,2,,N1;gij0(当jN)

j1Dr(z1)dN2dN21d1zN21----------（3.3-14）

Hfhfdjhj----------（3.3-15） dsdi

j1j1N2N2很明显（3.3-12）式具有IMC的结构，其结构框图如图3.3-1所示。

V(k)yr(kN2)Gr(z)1Dr(z)1yr(k)ef(k)u(k)1F(z1)G(z)G(z1)1y(k)y(k)e(k)Gf(z1)Hf(z1)图3.3-1 MAC控制系统的IMC结构

控制器的传递函数为：GC(z1)1 --------（3.3-16） 1F(z)1在上面的讨论中，为了简化起见，虚框内的Gf(z)和Gr(z1)在（3.3-12）式中未包括进去，实际设计时要考虑。由于MAC具有IMC结构，在分析MAC闭环系统的动静态特性时，可直接引用IMC的有关理论，简化MAC系统的分析与计算。（4）MAC参数选择 1)N2的选择

一般将N2选得>nb，(B(z)的阶次)，或接近过程的上升时间。预测长度应将受当前控制影响较大的所有响应都包括进去。太长对进一步改善动态性能作用不大。 2)Nu的选择

对于开环稳定的系统Nu=1。使控制矩阵(GQG)变为标量，可减少计算时间。并得到较好的控制效果，Nu可得到较快的响应时间。 3)误差数矩阵Q的选择

T11Qdiag(g1,g2,,gN2)，权系数决定了相应误差项在目标函数中所占的比重，对稳

定有直接的影响，应根据实际情况来选择。一般g1g2gN2。 4)空置矩阵的的选择

diag(1,2,,N)，通常12N，—U(k)—系统响应变慢—稳

uu定性。通常取值较小，即设很小，仍有明显的压制控制量的作用。

Maurath建议QI，0，Nu1，N2选为阶跃响应达到稳定值一半时的采样周

期数。 4.闭环特性

由IMC闭环系统输出方程（3.2-13）式

y(k)GcGDr yr(kN2)(k)-------（3.3-17）

1GfHfGc(GG)1GfHfGc(GG)1GfHfGcG将（3.3-15）和（3.3-16）式，取Gf(z1)1f1fz1代入（3.3-17）式，

y(k)1yr(kN2)

(1fz)F(z)(1f)hf[G(z)G(z)]11111(1fz1)G(z1)Dr(z1)1(1fz)F(z)(1f)hfG(z)(k)--------（3.3-18） (1fz1)F(z1)(1f)hf[G(z1)G(z1)]说明：①当模型完全匹配时，闭环系统输出方程为：

1(1fz)F(z)(1f)hfG(z)G(z)1y(k)D(z)y(kN)(k)rr2F(z1)(1fz1)F(z1)(1f)hf[G(z1)G(z1)]111闭环系统稳定时由特征方程F(z1)0的根确定，所以只要控制器稳定闭环系统总是稳定的，而满足对强稳定性的特性。

②当模型失配时，特征方程为：

(1fz1)F(z1)(1f)Hf[G(z1)G(z1)]0

1和模型匹配时相比，增加了失配项(1f)Hf[G(z)G(z)]，可调项反馈网络中的参

1数f来保证闭环系统稳定性。

③即使模型完全匹配，由于F(1)G(1) F(1)1[1d1(g2g3gN)d2(g3g4gN)dN2(gN21gN)]dsN G(1)gig1g2gN

i1不满足Gc(1)G(1)条件，系统稳态误差不为0，这是MAC不足之处。

5.自校正模型算法控制器（STMAC）

当对象参数未知和时变时，利用在线辨识参数修正预测模型参数，达到自校正效果，将自校正技术引入MAC算法，得到STMAC算法。该算法参数辨识用离散差分模型，转化为脉冲响应模型，再计算控制量。

STMAC算法步骤如下：

①初始化：(0)0，p(0)105~106I，na,nb,d,; N,N2,Nu; Q,,H;

f,r；

②预采样：形成数据向量(kd)； ③采样y(k),；

11④用递推最小二乘法估计模型参数：A(z)和B(z)；

⑤转化成脉冲响应模型参数：yr(kN2)ryr(kN21)(1r)

gi(i1,2,,N)；

⑥计算预测模型输出误差e(k)y(k)yM(k)； ⑦计算参考输入Yr(k1)；

⑧计算(GTQG)1GTQ和D，Dr(z1)，Hf； ⑨按（3.3-10）式计算控制量：

Tu(k)1[Dr(z1)yr(kN2)Gf(z1)Hfe(k)]; 11F(z)⑩递推一步(k1)k，k(k1)，返回③。 5.对控制量进行滤波

只执行当前一步u(k)的闭环控制策略，未充分利用多步预测中所包含的u(k1)，

u(k2),,u(kNu1)中的有用的信息。为了克服测量误差干扰和饱和等因素的影响

充分利用有用信息，提高控制效果，采用具有滤波平滑作用的控制量加权平均的方法，克服虚假设计。

u(k)r(i)u(k/ki1)i1Nur(i)i1Nu------------（3.3-19）

当前的控制量为此时的和过去对当前预测控制量的加权平均值，式中，

r(i)--------------控制量加权系数

Nu-------------控制时域长度

实践表明：进行滤波后，控制量比较平稳，系统的动态性能和鲁棒性得到进一步改善。

3.4广义预测自校正控制器（GPSTC） 1.CARIMA模型

在CARIMA模型基础上，噪声信号预加了积分环节描述阶跃扰动非平稳噪声信号，差分方程变为：

A(z1)y(k)B(z1)u(k1)C(z1)(k)/---------(3.4-1)

式中，1z1积分因子，两边乘以，得到：

Ay(k)B(z1)u(k1)C(z1)(k) 写成：

A(z1)y(k)B(z1)u(k1)C(z1)(k)---------（3.4-2）n式中，A(z1)A(z1)1a1aiiz，aiaiai1，1ina i1 A(z1)1a11zannaaz，anaana

B(z1)b1n0b1zbnbbz

（3.4-2）式描述具有平稳随机干扰噪声，采用控制增量，由积分作用的对象。

第四章模型参考自适应控制系统

4.1 稳定型概念及基本定理

在研究线性系统时，由系统特征方程的根可以判定系统的稳定性：

特征根实部

但对于非线性系统，难于求出特征根，微分方程难于求解，不能用特征根来判断系统稳定性。模型参考自适应控制系统是非线性系统，不能用研究线性系统稳定性方法来研究其稳定性。用直接法不需要解微分方程就可以判断其稳定性。

1. 稳定性定义 1）

平衡点

设被控系统由向量微分方程描述

式中

状态向量

若状态空间中某一点（某一状态）满足

则称为系统的一个平衡点。只要无外力作用，则系统永远处于该平衡状态。

对于线性系统，若为非奇异矩阵，则系统只有一个平衡点对于非线性系统，可能存在一个或多个平衡点。

(4.1-1)

向量函数

通常假定平衡点为原点 2） 3）

邻域范数

4）

稳定性定义

定义4.1-1（稳定性）

如果对于给定的初始时刻，只要，就总有，也就是说只要不越出邻域，则就不会越出邻域，则称平衡点在意义下是稳定的。

如图4.1-1所示，其中为向量的范数

图4.1-1稳定性示意图

——以为球心的超球体的半径，就是以为球心，为半径的超球体。

一般来说，是和的函数，记为。若邻域, 和无关，对于任意稳定条件不变，则称平衡状态是一致稳定的。定义4.1-2（渐近稳定性）

若满足下列条件，则称系统平衡状

态是渐近稳定的：

1) 平衡状态(点)是意义下稳定的;

图4.1-2渐近稳定性示意图

2) 存在一个实数，使得只要就有其中是系统的解。

表明只要初始状态在邻域内，则从出发的解当，最终收敛于(平衡点)，渐近稳定性的解示意图如图4.1-2所示

定义4.1-3(全局渐近稳定性)

若平衡状态对所有(n维实数向量空间)都具有渐进稳定性，则称是全局渐进稳定的。

定义4.1-4(不稳定性)

图4.1-3不稳定平衡点示意图

若对于一个实数，总找不到一个实数，使时，有，，则称平衡状态为不稳定平衡状态。也就是说，从平衡点的邻域出发的系统轨线，不管多小，均离开区域，如图4.1-3所示。

2．稳定性定理 1) 函数

一个状态变量的标量函数满足 1 ○2 ○

则称为函数说明：

i. 函数是正定的

若称为半正定的

若称为半负定的若称为负定的

ii. 二次型函数是一类重要的函数，它是系统能量的度量。在平衡点

时能量为0，离开平衡点则系统具有一定的能量（位能，动能等等）。在平衡点附近（的邻域），则子系统就是稳定的。因此，可以由函数来判定系统平衡点的稳定性。

iii. 构成二次型的实矩阵是对称矩阵，由准则可以判断（即）的正定

性。

若矩阵的所有顺序主子式都大于0，即

则是正定的。

若是奇异矩阵，且它的所有顺序主子式非负，则是半正定的。 2) 连续时间系统的定理

对于系统有平衡点即，若存在一个函数，它具有下列性质 i. 和梯度连续（的连续函数） ii. 正定 iii. 为负定 iv.

则这个平衡点为全局渐近稳定的。说明：

i. 满足i.~iii.条件，则这个平衡点是小范围渐进稳定的

ii. 若条件iii.改为半负定，则这个稳定点是稳定的，但不是渐进稳定

的

3) 求取合适的函数对于线性定常系统

它的平衡状态，渐进稳定的充要条件是对于任意给定的对称正定矩阵，存在一个对称正定矩阵，它是矩阵方程

的唯一解。并且就是系统的函数证：取，∵ ∴是正定函数

由于是正定的，∴是负定的，可见是渐进稳定的

举例：已知系统的运动方程为

其中判断平衡点是否为稳定平衡点解：将微分方程改写成状态方程形式：令

则选择为

由此可见，对于任意，，∵当，时，而当时，∴负半定，该平衡点，即，是稳定的。

在应用定理时，如果一时找不到适当的函数来满足稳定条件，并不意味着系统不稳定。

4.2 用可调节系统状态变量设计MRAC系统 1. 设计问题的提法 1) 数学模型参考模型的状态方程

被控对象的状态方程

(4.2-2)

(4.2-1)

其中和——模型的系数矩阵和输入矩阵，分别为和

和 ——对象的系数矩阵和输入矩阵，分别为和，其中的矩阵元素

和是对象受干扰影响的时变参数不能直接测量。

参考模型前馈调节器被控对象反馈调节器自适应机构图4.2-1 并联MRAC系统框图

引入可调前馈调节器和反馈调节器，如图4.2-1所示，这样就可以组成一个可调系统方程：

代入(4.2-2)式得到：

2) MRAC系统设计问题的提法

设系统广义误差向量为

将(4.2-1)和(4.2-3)代入(4.2-4)，得到：

式(4.2-5)为广义误差方程，调节，调节

MRAC设计任务是用稳定性理论求调整和的自适应规律，以达到状态收敛和参数收敛。即：

(4.2-3)

(4.2-4)

(4.2-5)

2. 求自适应律

1) 改写广义状态误差方程

设，时，可调系统达到与参考模型完全匹配，即：

将(4.2-5）式改写为：

式中

2) 构造设二次型函数为

式中都是对称正定矩阵对(4.2-8)式两边求导数

由于, (转置矩阵的迹相等) 将(4.2-6)式代入上式，得到

由于, (标量相等，标量转置仍为标量) 上式又因为

(4.2-6) (4.2-7)

(4.2-8)

最后得到：

(4.2-9)

上式中第一项为稳定矩阵，根据稳定性定理，可以选择，保证成立，其中为正定矩阵。这样第一项为负定。若选择

则上式中第二和第三项都为0，为负定函数，保证MRAC系统是稳定的。因此得到参数自适应调节规律为：

和

举例：设有一系统的参考模型为式中可调系统方程为式中

(4.2-10)

(4.2-11)

求的自适应律

解：为简单起见选择，由(4.2-10)和(4.2-11)两式可得到：

图4.2-2 利用状态反馈的MRAC系统框图

4.3 利用对象的输入输出设计MRAC系统

需要获得对象状态的准确值对许多对象来说往往是难于实现的。

通常只能测量其输入和输出信息。

根据对象的输入和输出信息来设计MRAC系统有两种方法：

1) 直接法

直接利用对象的输入输出信息设计一个自适应规律，来调节（某一特定结构的）控制器的可调参数，使可调系统的传递函数和参考模型的传递函数完全匹配。 2) 间接法

利用对象的输入输出信息设计一个自适应观测器，实时地给出对象（未知参数）状态的估计值，然后利用这些估计值来设计自适应控制规律，使对象的输出能准确地跟踪参考模型输出，或使某一种性能指标优化。

1. 一阶系统可调增益自适应律的设计 1) 数学模型

参考模型和对象模型的传递函数分别为：

其结构框图如图4.3-1所示，可调系统为在对象的前向通道增加一个可调增益环节，这样模型与可调系统的参数误差为：

图4.3-1 可调增益一阶MRAC系统结构框图

2) 求自适应律 a) 求广义误差方程

输出误差为：，

将输入输出方程带入的广义误差方程，误差方程可以通过模型和可调增益系统对象的输入输出方程求得由,

得到

b) 构造函数

设函数为

对求导数得到

为保证，可令上式右边两项之和为0，得到

而，得到自适应律为：

, (4.3-1)

(4.3-2)

(4.3-3)

(4.3-4)

(4.3-5)

或

(4.3-6)

2. n阶系统可调增益自适应律的设计 1) 具有可调增益的MRAC开环系统框图

开环系统框图如图4.3-2所示。图中是对象的增益，它受到运行环境影响或时变。

干扰

图4.3-2 具有可调增益MRAC系统开环框图

当增益失配时，产生广义输出误差

误差系统的传递函数为

式中

2) 误差方程

广义误差方程为

将上式化为能观测规范性向量微分方程表达式

(4.3-7) (4.3-8) (4.3-9)

(4.3-10)

其中

(4.3-11)

Ee1e2enTeebn1rbn1rbn2re(n2)(n3)eb2rbn1rb3r(n1)(n2)ebrbrbrn121

0A0a01a1 1an11cn1ca1n1n1Ca21c2a1a2an11nnc1n1bn1bn2 b1b0n1

3) 构造函数设二次型函数

式中 —正定矩阵

4) 求自适应律对求导数得到：

(4.3-13)

(4.3-12)

—正实数

只要模型使得传递函数的分母多项式的0点(特征根)都具有负实部，则总可以找到矩阵满足 (为正定矩阵)，使得(4.3-10)第一项小于零。

选取第二、三两项之和为零，得到自适应律为：

或

(4.3-14)

这样保证，对于任意分段连续的输入量，都能保证MRAC系统是全局渐近稳定的。

为了使自适应律中不包含的导数项，令:

此时自适应律变为

式中

按照(4.3-15)式给出的MRAC系统框图，如图4.3-3所示。

图4.3-3 具有可调增益的MRAC系统

3. 举例考虑模型为对象为

(4.3-15)

求自适应律。解：广义误差方程为

其相应的能观性规范型状态方程为，，

若，，则是正实函数则可以求得

在保证和对称正定的条件下，设为对角矩阵，得到：其中：其中：

校核的正定性

由和所以自适应律为

4. 单输入-单输出自适应系统的自适应的设计

设可调系统包括对象，前馈和反馈调节器，其微分方程的各项系数都可能受干扰而变化。 1) 数学模型

参考模型的微分方程为：

可调系统的微分方程为：

其中—参考模型和对象的输出，—输入 2) 广义误差方程

设广义误差为

将(4.4-16)-(4.4-18)得到误差方程

其中

将(4.4-20)化为状态方程

令误差状态向量其中

误差状态方程为

(4.3-16)

(4.3-1)

(4.3-18)

(4.3-19)

(4.4-20)

(参数误差向量)

01A0am0am1 其中

3) 构造函数设二次型标量函数

式中 —维对称正定矩阵

4) 求自适应律求对的导数，得到 ] (4.3-23)

()



1

am(n1)

]

(4.4-21)

(4.3-22)

同理：

代入上式，得到：

(4.3-24)

只要 (为正定矩阵成立)

使(4.3-24)式后两项分别为0，得到自适应律如下：

或者



(4.3-25)

(4.3-26)

可以保证 V0，在上述自适应律控制下MRAC系统是全局渐进

稳定的。举例：

设二阶系统，其中，，参考模型微分方程为，求自适应律。

自适应机构图二阶MRAC单位框图

解：求广义误差方程

式中

写成状态方程形式

写成状态方程形式式中

设参数误差向量和广义误差向量分别为

取函数为

式中，则

使，为对称正定矩阵，则选择自适应律为

或者

，对任意分段连续且频带较宽的输入信号，稳定的。即

MRAC系统是全局渐进

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