实变函数论试题03

1． 非可数的无限集为c势集 2． 开集的余集为闭集。 3． 若m*E=0，则E为可数集

4． 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 5． 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积 二、将正确答案填在空格内（共16分,每小题4分）

1． 可数集之并是可数集。

A.任意多个 B. c势个 C.无穷多个 D.至多可数个 2. 闭集之并是闭集。

A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3． 可数个开集之交是

A.开集 B.闭集 C. F型集 D. G型集 4． 若 |f| 在E上可积，则

A.f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限 三、述有界变差函数定义、Fatou引理、叶果落夫定理（共9分,每小题3分） 四、证明下列集合等式（共10分,每小题5分）：

_(1)lim S-

nSlimn=

n(S-Sn)

1(2) E[fa]=n1E[f>a-n]

五、证明：至多可数个可测之并是可测集。举例说明无限个可测集之并不一定是可测集。（六、（12分）证明：设f(x)在E上可积，且fn(x)（n=1，2，3，……）在E上可测，

12分） fn(x)=

f(x) xE[|f|n]0 xE[|f|n]

nEfdx 则Efndx七、计算下列各题：（共18分,每小题6分）

lim1．n[0,1]1n2x2sin(nx)dx=?

nxx 2．设

f(x)=sinx xn3．设f(x)=2n

x为[0,1]中有理数为[0,1]中无理数 求[0f(x),1]dx=?

x(11f(x)2n,n] n=1,2,…, 求[0,1]dx=?