《实变函数论》试卷五

《实变函数论》试卷五

一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”。 共5小题，每题3分，共5×3=15分）

1、设En=2, 则集合E={(x1,x2,L,xn,L)|xi?Ei,i（ ） 1,2,L}是可数集合。

2、Cantor 集是[0,1]中无处稠密的完备集合。 （ ） 3、设E是可测集，若对任何有理数r,{x?E|f(x)4、若EÌ¡p+qr}可测，则f在E上可测。

是可测集，则对任何xΡp（ ） ,Ex是¡q上的可测集合。

b5、若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则

òa|f¢(x)|dx³Vab(f)。 （ ）

二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)

1、Bernstein 关于两集合对等的定理 2、

n中开集的构造定理

3、Lusin定理 4、Fubini定理

三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）

设¤为全体有理数所成的集合，在E[0,1][0,1]上函数f定义如下：

f(x,y)求

(x,y),xsiny, xeln(1|xy|),(x,y).Ef(z)dz。

四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）

1、设E是G集且E(a,b)，证明：必存在一列单调下降包含于(a,b)的开集{Gk}k1，使得Ek1Gk。

n2、设E是¡中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列{fn(x)}在E上

几乎处处收敛于f(x),|f(x)|<+ ,a.e.于E，试用Egoroff定理证明存在一列可测集合Ek,k=1,2,L,使得在每个Ek上fn(x)一致收敛于f(x)，而

m(E\\?Ek)k=1¥0。

n3、设f(x),g(x)都是可测集EÌ¡上的非负可测函数且f(x)。证明函数F(x,t)=c[f(x),g(x))(t)是cA(x)表示集合A的特征函数（示性函数）

E´¡1上的可测函数。

4、设E是¡n中的可测集，f(x)是E上的Lebesgue可积函数。证明：

（1）若f(x)³0于E，则存在E上的非负简单函数列{sn(x)}使得

lim|f(x)sn(x)|dx0；

nE（2）存在E上的简单函数列{Sn(x)}使得limnE|f(x)S(x)|dx0。

n5、设mE，证明若在E上fnxf(x)，则lim6、设函数f(x)是¡n|fnxf(x)|dx0。

nE1|fxf(x)|n中的有界可测集E上的Lebesgue可积函数，且

0<òE|f(x)|x（1）F(r)=òEÇB(0,r)|f(x)|dx是[0,+ )上的连续函数，其中B(0,r)是以原点为中心以

1,i=1,2 2r为半径的开球。

（2）存在可测集E1,E2，使得E=E1UE2,E1IE2= 且

òEi|f(x)|dx<