(数学建模)识别方法及其应用-讲座

一、多元统计的基本概念

（1） 随机向量： X(X1,,Xp)

总体，样本，观测值。。。

（2） 分布函数：F(x1,,xp)P{X1x1,,X 离散型，

连续型，密度函数

（3） 数字特征：

期 望 E(Xi)

方 差 D(Xi)

协方差矩阵 cov(X,Y)cov(Xi,Yj) 自协方差阵 cov(X,X)cov(Xi,Xj)

 相关矩阵 Rcov(Xi,Yj)D(Xi)D(Yj)pxp}

二、统计距离

（1） 欧氏距离

d(P,Q)(x1y1)(xnyn)2n(XY)(XY)

T（2） 点X与总体G的欧氏距离 d(X,G)(X)T(X)

缺点：距离的大小与度量有关

（3） 两点之间的马氏距离 d(P,Q)(XY)T1(XY) （4） 点X与总体G的马氏距离 d(X,G)(X)T1(X)

优点：距离的大小与变换无关

（5） 距离 的公里体系

特殊情形：欧洲各国文字的相似程度

距离定义：两种语言10个数量词的第一个字母不相同的个数。

三、距离判别—聚类分析

（1） 两总体G1和G2的情形， X是一个样本 若 d(X,G1)d(X,G2)，XG1 若 d(X,G1)d(X,G2)，XG2 若 d(X,G1)d(X,G2)，无法确定

一般可用判别函数：

W(X)d2(X,G1)d2(X,G2)

1马氏距离：W(X)(X1)T11(X1)(X2)T(X2) 2

注意： 1,2 表示期望

表示协方差矩阵

正态分布，假设检验

1,121

（2） 多总体G1,G2,,Gk的情形

判别函数：Wij(X)(Xi)Ti1(Xi)(Xj)Tj1(Xj)

判别准则：是否属于第i个样本

ifelseWij(X)0,Wik(X)0,alljiXGiinconclusive

（3） 贝叶斯判别---总体G1,G2,,Gk的情形

个总体G1,G2,,Gk的密度函数为p1(x),p2(x),,pk(x) k 个总体G1,G2,,Gk的先验分布为q1,q2,,qk

k样本Gi误判为Gj的损失为c(ji) 损失概率为p(ji)pDii(x)dx

kki平均损失为ECM(D1,,Dk)qc(ji1j1i)p(ji)

目的：ECM(D1,,Dk)最小， 确定划分 判别：若x落入Di， 则xGi，

（4） 费歇判别---总体G1,G2,,Gk的情形

思想：选取投影向量a.同一类别尽量聚拢, 不同类别尽量分开。

来源：多元方差分析，将数据投影到一个方向向量，

投影数据的组间距离、投影数据的组内距离， 对应矩阵B和E 目的：组间平方和SSGaTBa《==》 尽量大

组内平方和SSEaTEa《==》 尽量小

SSGSSEaBaaEaTT 达到最大值为方程BE0的最大特征值1

特征值1对应特征向量a1

注意：若1不能很好判断，可继续选取2对应特征向量a2

四、数学模型竞赛题解

MCM 1989问题A 蠓虫分类

生物学家试图对两类蠓虫(Af与

Apf)进行鉴别,依据的资料是蠓虫的触角和翅膀的长度,

已经测得9只Af和6只Apf的数据,(触角长度用x表示,翅膀长度用y表示)具体数据为: 表4-4 Af 类触角和翅膀长度

x 1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56 y 1.27 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08 表4-5 Apf 类触角和翅膀长度数据 x 1.14 1.18 1.20 1.26 1.28 1.30 y 1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96 现需要解决三个问题:

（1） 根据原始资料15 对数据,被称之为学习样本)制定一种方法,区分两类蠓虫; （2） 依据确立的方法,对题目提供的三个样本：(1.24,1.80)，(1.28,1.84)，

(1.40,2.04)加以识别;

（3） 设Af是宝贵的传粉益虫,Apf是某种疾病的载体,是否应该修改分类方法。

问题的转化： 两类蠓虫(Af与Apf)《==》 平面两个点集合（样本点）

改进：更加细致的分类

2000 A题 DNA序列分类

2000年6月,人类基因组计划中DNA全序列草图完成,预计2001年可以完成精确的全序列图,此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写成的“天书”是由4个字符A、T、C、G按一定顺序排成的长约30亿的序列,其中没有“断句”也没有标点符号,除了这4个字符表示4种碱基以外,人们对它包含的“内容”知之甚少,难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中。研究DNA全序列具有什么结构,由这4个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律,又是解读这部天书的基础,是生物信息学(Bioinformatics)最重要的课题之一。虽然人类对这部“天书”知之甚少,但也发现了DNA序列中的一些规律性和结构。例如,在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段,即由这4个字符组成的64种不同的3字符串,其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如,在不用于编码蛋白质的序列片段中,A和T的含量特别多,于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果。此外,利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性,等等。这些发现让人们相信,DNA序列中存在着局部的和全局性的结构,充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节,突出特征,然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。作为研究DNA序列的结构的尝试,提出以下对序列集合进行分类的问题:

下面有20个已知类别的人工制造的序列(见反面),其中序列标号1—10为A类,11—20为B类。

(1) tgacctcttgtcctgtatagcaacctatttggtaatgattccagcactcacagaaaagct (2) tgcacacatacacacacaccccacccctccccactaacaaatgcaagttggtaaacaaat (3) tccaaaaaggcataacaaaccttatatatatagacaaatatatattaaagttttttagtc (4) tgtactagaaagagcttcagacagaactgaccaccattccattgctcatcaatttcctgg (5) gacagcacctgagcgtgcgcttacgcgcgtacacacacatagacacgcactgcgatacaa (6) gtcctgatttgggagtccgtccttttaaaaacagccacatgctttcacgctctgagaccc (7) acccgtttctgtgagcagggggagggcaaggaaagccctggcctcagtccagccttttct (8) ctgcttccacctgctcaggctgtgtgctcttggttctgtcctgcacttgtgtgaattcca (9) aaactgtttttttaaaaaatggcccgcaccccaaatgtctccctgccccatactttgcaa (10) caagagaaaactttaggatgcttctcttttgggtggcggaggttgttaacttcaagaatt (11) tagaagaatcattgctccgacaaatccactgtctcctgagttttctttattcatgttaac

(12) aaggcaagagtcagagaaaagggagacttggtctgcttcccacatgcagctgagcggagg (13) ggccgtcacagcacagggtcacctgcagagctgaagccgctcctcaggctccccctccaa (14) gagggctggggcaaggtccctgggctgaggcctcccaggggggcctgggcaaggcttcct (15) tgggttctggatcccccctgcaatgctgccccatcctgcccccacccccacgtcattaaa (16) cacgatggagggtttttcggtcggttggttggttggtgttctaaatcaaggaaaatggtc (17) cgactggaccccttgtctctctctctacagactgcttcacggactctttgctgttgacga (18) tctcctggtagcatgaccttttggcctttgttaagacacacagcctttctgtatcaagcc (19) ccctgtctaacctacgacccagagtgactgacggctgtgta

(20) ctggctctctccataggcttttctgagaggaggaactatggcttagctgaggttagttct

(21) cagtatatgagtggccctgaataaagcctttctttccccaaacggctctaatgtcctgct (22) aatccagaaatcatcagtgcatggttactatgtgaaagcataatagcttgtggcctgcag (23) agacaagaggaaggttaacaagtaggggtcctttggtttgagatcttggagcaaattaag (24) gaagagccactaaagttaatggaattacactggatcctgtgacagacacttcatgcttca (25) tgggtcacatggtctgtttctgctcctctctgccctggttggtgtgggttttggtgttag (26) aactctccggtgggagatctgggactgggatattgtgttggaggacagatttgcttcaat (27) atcttttaagtgtaaatcttctcctctttctcccaggacactctggccttcagccaacag (28) gtaataccttttaatcctctttaggacacagattcagtttctccagtgagaggtgaagcc (29) agctggacttctgggttgggtggggacttggagaacttttctgtcttacaagaggtttct (30) aaatgcaccaatgagtgctctgtaaaaacacaccaatgagtgctctgtaaaaattgacac (31) tctgtggctcgctagatgtttgtaagatggaccaatcagcactctgtaaaatggaccaat (32) ccacactctgtaaaatggaccaatcagcactctttaaaatggaccaatcagcaggatacg (33) ggcggagacaaataagggaataaaagctggtcaccctagccagcacctgcaacctgctta (34) ggtccttttctatgctgtggaaggtctgttctttcactcttcacaataaatcttgtgctc (35) actctttggggccgtgccacctttaagagctataacactcactgcaagggtctgtggctt (36) cactcttgaagtcagccagaccctgaacctaccggaaggaacaaactcaggacacactag (37) aatgatggtagaggtgataaggcatgagacagaaataataggaaagactttggatccaaa (38) tttctgatcaggcaatttacaccaaaactcctcctctccacttagaaaaggcctgtgctc (39) tgcaggactattggctctgggagactcaggaacttgtttttcttcttcctgcagtgttct

(40) catctgagtccttcaaagagggggaaagaaacgttagtagacccaggttgaaaacaacac

请从中提取特征,构造分类方法,并用这些已知类别的序列,衡量你的方法是否足够好。然后用你认为满意的方法,对另外20个未标明类别的人工序列(标号21—40)进行分类,把结果用序号(按从小到大的顺序)标明它们的类别(无法分类的不写入):A类: B类。请详细描述你的方法,给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法,也要将方法名称准确注明。(2)在同样网址的数据文件Nal-model-dala中给出了182个自然DNA序列,它们都较长。用你的分类方法对它们进行分类,像(1)一样地给出分类结果。

准备工作

DNA序列的集合《====》空间的点集

DNA序列cctctaacctacgacccagaa 《==》（na, ng, nt, nc）四维向量， a, g, t, c 的频率。

（1）欧氏距离分类方法

（2）马氏距离分类方法

（3）Fisher分类方法

已经采用的分类方法

（1） 特征代码频率， （2） 概率分布， （3） 欧氏距离， （4） 马氏距离， （5） Fisher分类

（6） 神经网络，BP网络 （7） 特殊方法，几何Z曲线