应用概率统计综合作业一

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．已知随机事件A的概率P（A）0.5，事件B的概率P（B）0.6，条件概率P（B｜A）0.8，则事件AB的概率P（AB） 0.7 ．

2．设在三次独立试验中，随机事件A在每次试验中出现的概率为，则A至少出现一次的概率为 19/27 ．

3．设随机事件A，B及其和事件AB的概率分别是0.4，0.3和0.6，则积事件AB的概率P（AB） 0.3 ．

4．一批产品共有10个正品和两个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1/5 ．

5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有一件是不合格品，则另1件也是不合格品的概率为 0.2 ． 6．设随机变量X～N（3,2），且P(3X5)0.3，则P(X1) 0.2 ．

7．设随机变量X绝对值不大于1，且P(X-1)P(-1X1) 7/16 ．

11，P(X1)，则84138．设随机变量X的密度函数为f(x)察中事件X2x，0x10，其他，以表示对X的三次独立重复观

1出现的次数，则P2 9/64 ． 29．设随机变量X的概率分布为P(X1)0.2，P(X2)0.3，P(X3)0.5，则随机变量X的分布函数F(x) f（x）=0.2 （x=1)

0.3 （x=2) 0.5（x=3)

0 (x不为1、2、3之中的任一个） ．

10．设随机变量X的密度函数为f(x)1，求随机变量12(1x)3X的密度函

数fY(y) 3/π[1+(1?y)3]. ． 二、选择题（每小题2分，共20分）

1．同时抛掷3枚均匀对称的硬币，则恰有2枚正面向上的概率为（ D ） （A）0.5 （B）0.25 （C）0.125 （D）0.375

2．某人独立地投入三次篮球，每次投中的概率为0.3，则其最可能失败（没投中）的次数为（ A ）

（A）2 （B）2或3 （C）3 （D）1

3．当随机事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列各式中正确的是（B ） （A）P(C)P(A)P(B)1 （B）P(C)P(A)P(B)1 （C）P(C)P(AB) （D）P(C)P(AB)

4．设0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)P(A|B)1，则（B ） （A）事件A和B互不相容 （B）事件A和B互相对立 （C）事件A和B互不独立 （D）事件A和B相互独立

5．设A与B是两个随机事件，且0P(A)1，P(B)0，P(B|A)P(B|A)，则必有（ C ）

（A）P(A|B)P(A|B) （B）P(A|B)P(A|B) （C）P(AB)P(A)P(B) （D）P(AB)P(A)P(B)

6．设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有（B ）

1dx （B）F(-a)（A）F(-a)10f(x)2adx f(x)0a（C）F(-a)F(a) （D）F(-a)2F(a)1

7．设随机变量X服从正态分布N（,2），则随着的增大，概率PX为（ C ）

（A）单调增大 （B）单调减少 （C）保持不变 （D）增减不定

42）和N（,52），记8．设两个随机变量X和分别服从正态分布N（,P1PX4，P2PX5，则（ A）

（A）对任意实数，都有P1P2 （B）对任意实数，都有P1P2 （C）只对的个别值，才有P1P2 （D）对任意实数，都有P1P2 9．设随机变量X服从正态分布N（0,，则P(X1)（ B ） 4）（A）1120ex28dx114dx （B）e （C）e2 （D）20421x1112ex22dx

0，x0,10x5,则P(3X5)（ C ） 10．设随机变量X的分布函数为F(x)x2,255x,1,（A）

4916 （B） （C） （D）1 252525三、（10分）摆地摊的某赌主拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里，并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋口摸出5个棋子，中彩情况如下：

摸棋子 彩金 5个白 20元 4个白 2元 3个白 其他 纪念品（价值5角） 同乐一次（无任何奖品） 试计算：

①获得20元彩金的概率； ②获得2元彩金的概率； ③获得纪念品的概率；

④按摸彩1000次统计，赌主可望净赚多少钱？

解：1.

2.

3.

1000-692=308元．

4. 净赚大哟为

Ax2e2x,x0,四、（10分）已知连续型随机变量X的密度函数为f(x)试求：

x0,0,，P(0X2);（3）X的分布函数。 （1）常数A；（2）P(X2)解答：

(1)由于∫+∞?∞f(x)dx=1，即 ∫0?∞kexdx+∫2014dx=k+12=1 ∴k=12

(2)由于F(x)=P(X?x)=∫x?∞f(x)dx，因此 当x<0时,F(x)=∫x?∞12exdx=12ex；

当0?x<2时,F(x)=∫0?∞12exdx+∫x014dx=12+14x； 当2?x时,F(x)=∫0?∞12exdx+∫2014dx=1 ∴F(x)=?????????????12ex12+14x1,x<0,0?x<2,x?2

(3)由于连续型随即变量在任意点处的概率都为0,因此P{X=1}=0 而P{1五、（10分）设10件产品中有5件一级品，3件二级品，2件次品，无放回地抽取，每次取一件，求在取得二级品之前取得一级品的概率。 解：

先取得一级品的概率为 5÷10=1/2

那么当取出一级品 再取得二级品的概率就为 3÷（10-1）=1/3

所以在取二级品之前取得一级品的概率为 1/2×1/3=1/6

六、（10分）某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩X在60分至84分之间的概率。

（（） 1）0.841，（1.5）0.933，（2）0.977）解答：

因为F(96)=∮[(96-72)/x]=1-0.023=0.9770=∮（2） 所以x=12

成绩在60至84分之间的概

率:F(84)-F(60)=∮[(84-72)/12]-∮[(60-72)/12]=∮（1）-∮（-1）=2∮（1）-1=2×0.8413-1=0.6826

七、（10分）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出2分。试求：

（1）先抽出的一份是女生表的概率p；

（2）若后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。

解答：

设事件：Hi={抽到的报名表示i区考生的}(i=1,2,3)； 事件：Hj={第j次抽到的报名表是男生报名表}(j=1,2,3). 事件：A={第一次抽到的报名表示女生的} 事件：B={第二次抽到的报名表示男生的} 显然有，抽到三个区的概率是相等的，即：

P(H1)=P(H2)=P(H3)=13

P(A|H1)=310； P(A|H2)=715 P(A|H3)=525=15

(1)根据全概率公式有：

P(A)=P(A|H1)P(H1)+P(A|H2)P(H2)+P(A|H3)P(H3)=13×310+13×715+13

×15=2990

(2)根据全概率公式，第二次抽到男生的概率为：

P(B)=p(B|H1)×P(H1)+p(B|H2)×P(H2)+p(B|H3)×P(H3)

显然：p(B|H1)=710；

p(B|H2)=815； p(B|H3)=2025=45

故：

P(B)=p(B|H1)×P(H1)+p(B|H2)×P(H2)+p(B|H3)×P(H3)=710×13+815

×13+45×13=6190

第一次抽到女生，第二次抽到男生的概率为：

P(AB)=P(AB|H1)×P(H1)+p(AB|H2)×P(H2)+p(AB|H3)×P(H3)

而

P(AB|H1)=310×79=730；

P(AB|H2)=715×814=415； P(AB|H3)=525×2024=16

故：

P(AB)=P(AB|H1)×P(H1)+p(AB|H2)×P(H2)+p(AB|H3)×P(H3)=730×13+

415×13+16×13=29 根据条件概率公式有：

p(A|B)=P(AB)p(B)=29÷6190=2061

即：p=2061

故第一份抽到的是女生的概率为2990,在第二份抽到是男生的前提下,第一次抽到是女生的概率p为2061.

八、（10分）假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布，（1）求相继两次故障之间间隔时间T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障工作8小时的概率q。

解答：

(1)由泊松过程的定义,时间间隔分布为参数是λ的指数分布.即 P(T0

(2)P(N(16)=0|N(8)=0)=P(N(16)=0)/P(N(8)=0)=exp(-16λ)/exp(-8λ) =exp(-8λ)