考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形
一．选择题 (共5小题 )
1． (2021•湖州 )如图 ,AD ,CE分别是△ABC的中线和角平分线．假设AB =AC ,∠CAD =20° ,那么∠ACE的度数是 ( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB =2∠CAD =40° ,∠B =∠ACB = (180°﹣∠CAB ) =70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE =∠ACB =35°． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线 ,AB =AC ,∠CAD =20° , ∴∠CAB =2∠CAD =40° ,∠B =∠ACB = (180°﹣∠CAB ) =70°． ∵CE是△ABC的角平分线 , ∴∠ACE =∠ACB =35°． 应选：B．
2． (2021•宿迁 )假设实数m、n满足等式|m﹣2| +两条边的边长 ,那么△ABC的周长是 ( ) A．12 B．10 C．8
D．6
=0 ,且m、n恰好是等腰△ABC的
【分析】由等式 ,结合非负数的性质求m、n的值 ,再根据m、n分别作为等腰三角形的腰 ,分类求解．
【解答】解：∵|m﹣2| +∴m﹣2 =0 ,n﹣4 =0 , 解得m =2 ,n =4 ,
当m =2作腰时 ,三边为2 ,2 ,4 ,不符合三边关系定理；
当n =4作腰时 ,三边为2 ,4 ,4 ,符合三边关系定理 ,周长为：2 +4 +4 =10． 应选：B．
=0 ,
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3． (2021•扬州 )在Rt△ABC中 ,∠ACB =90° ,CD⊥AB于D ,CE平分∠ACD交AB于E ,那么以下结论一定成立的是 ( )
A．BC =EC B．EC =BE C．BC =BE D．AE =EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD =∠A ,根据角平分线的定义可得出∠ACE =∠DCE ,再结合∠BEC =∠A +∠ACE、∠BCE =∠BCD +∠DCE即可得出∠BEC =∠BCE ,利用等角对等边即可得出BC =BE ,此题得解． 【解答】解：∵∠ACB =90° ,CD⊥AB , ∴∠ACD +∠BCD =90° ,∠ACD +∠A =90° , ∴∠BCD =∠A． ∵CE平分∠ACD , ∴∠ACE =∠DCE．
又∵∠BEC =∠A +∠ACE ,∠BCE =∠BCD +∠DCE , ∴∠BEC =∠BCE , ∴BC =BE． 应选：C．
4． (2021•淄博 )如图 ,在Rt△ABC中 ,CM平分∠ACB交AB于点M ,过点M作MN∥BC交AC于点N ,且MN平分∠AMC ,假设AN =1 ,那么BC的长为 ( )
A．4 B．6 C． D．8
【分析】根据题意 ,可以求得∠B的度数 ,然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长 ,从而可以求得BC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中 ,CM平分∠ACB交AB于点M ,过点M作MN∥BC交AC于点N ,
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且MN平分∠AMC ,
∴∠AMN =∠NMC =∠B ,∠NCM =∠BCM =∠NMC , ∴∠ACB =2∠B ,NM =NC , ∴∠B =30° , ∵AN =1 , ∴MN =2 , ∴AC =AN +NC =3 , ∴BC =6 , 应选：B．
5． (2021•黄冈 )如图 ,在Rt△ABC中 ,∠ACB =90° ,CD为AB边上的高 ,CE为AB边上的中线 ,AD =2 ,CE =5 ,那么CD = ( )
A．2 B．3 C．4 D．2
【分析】根据直角三角形的性质得出AE =CE =5 ,进而得出DE =3 ,利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中 ,∠ACB =90° ,CE为AB边上的中线 ,CE =5 , ∴AE =CE =5 , ∵AD =2 , ∴DE =3 ,
∵CD为AB边上的高 , ∴在Rt△CDE中 ,CD =应选：C．
二．填空题 (共12小题 )
6． (2021•成都 )等腰三角形的一个底角为50° ,那么它的顶角的度数为 80° ． 【分析】此题给出了一个底角为50° ,利用等腰三角形的性质得另一底角的大小 ,然后利
,
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用三角形内角和可求顶角的大小． 【解答】解：∵等腰三角形底角相等 , ∴180°﹣50°×2 =80° , ∴顶角为80°． 故填80°．
7． (2021•长春 )如图 ,在△ABC中 ,AB =AC．以点C为圆心 ,以CB长为半径作圆弧 ,交AC的延长线于点D ,连结BD．假设∠A =32° ,那么∠CDB的大小为 37 度．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB =∠ABC =74° ,根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB =∠CBD =∠ACB =37°．
【解答】解：∵AB =AC ,∠A =32° , ∴∠ABC =∠ACB =74° , 又∵BC =DC ,
∴∠CDB =∠CBD =∠ACB =37°． 故答案为：37．
8． (2021•哈尔滨 )在△ABC中 ,AB =AC ,∠BAC =100° ,点D在BC边上 ,连接AD ,假设△ABD为直角三角形 ,那么∠ADC的度数为 130°或90° ．
【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数 ,然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中 ,AB =AC ,∠BAC =100° , ∴∠B =∠C =40° ,
∵点D在BC边上 ,△ABD为直角三角形 , ∴当∠BAD =90°时 ,那么∠ADB =50° , ∴∠ADC =130° ,
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当∠ADB =90°时 ,那么 ∠ADC =90° ,
故答案为：130°或90°．
9． (2021•吉林 )我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 \"特征值〞 ,记作k ,假设k = ,那么该等腰三角形的顶角为 36 度．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B =∠C ,根据三角形内角和定理和得出5∠A =180° ,求出即可．
【解答】解：
∵△ABC中 ,AB =AC , ∴∠B =∠C ,
∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 \"特征值〞 ,记作k ,假设k = ,
∴∠A：∠B =1：2 , 即5∠A =180° , ∴∠A =36° , 故答案为：36．
10． (2021•淮安 )假设一个等腰三角形的顶角等于50° ,那么它的底角等于 65 °． 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50° , 又∵等腰三角形的底角相等 ,
∴底角等于 (180°﹣50° )× =65°． 故答案为：65．
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11． (2021•娄底 )如图 ,△ABC中 ,AB =AC ,AD⊥BC于D点 ,DE⊥AB于点E ,BF⊥AC于点F ,DE =3cm ,那么BF = 6 cm．
【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC ,得出S△ABC =2S△ABD =2×AB•DE =AB•DE =3AB ,又S△ABC =AC•BF ,将AC =AB代入即可求出BF． 【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中 ,
,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC ,
∴S△ABC =2S△ABD =2×AB•DE =AB•DE =3AB , ∵S△ABC =AC•BF , ∴AC•BF =3AB , ∵AC =AB , ∴BF =3 , ∴BF =6． 故答案为6．
12． (2021•桂林 )如图 ,在△ABC中 ,∠A =36° ,AB =AC ,BD平分∠ABC ,那么图中等腰三角形的个数是 3 ．
【分析】首|先根据条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数 ,然后根据等腰三角形的
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判定：等角对等边解答 ,做题时要注意 ,从最|明显的找起 ,由易到难 ,不重不漏． 【解答】解：∵AB =AC ,∠A =36°∴△ABC是等腰三角形 , ∠ABC =∠ACB =
=72° ,
BD平分∠ABC ,∴∠EBD =∠DBC =36° ,
∴在△ABD中 ,∠A =∠ABD =36° ,AD =BD ,△ABD是等腰三角形 , 在△ABC中 ,∠C =∠ABC =72° ,AB =AC ,△ABC是等腰三角形 , 在△BDC中 ,∠C =∠BDC =72° ,BD =BC ,△BDC是等腰三角形 , 所以共有3个等腰三角形． 故答案为：3
13． (2021•徐州 )边长为a的正三角形的面积等于 【分析】根据正三角形的性质求解． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D , ∵AD⊥BC ∴BD =CD =a , ∴AD =
=
a , a =
a2．
．
面积那么是： a•
14． (2021•黑龙江 )如图 ,等边△ABC的边长是2 ,以BC边上的高AB1为边作等边三角形 ,得到第|一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形 ,得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形 ,得到第三个等边△AB3C3；… ,记△B1CB2的面积为S1 ,△B2C1B3的面积为S2 ,△B3C2B4的面积为S3 ,如此下去 ,那么Sn =
( )n ．
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【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高 ,利用三线合一得到B1为BC的中点 ,求出BB1的长 ,利用勾股定理求出AB1的长 ,进而求出第|一个等边三角形AB1C1的面积 ,同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积 ,依此类推 ,得到第n个等边三角形ABnCn的面积． 【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2 ,AB1⊥BC , ∴BB1 =1 ,AB =2 , 根据勾股定理得：AB1 =
,
× (
)2 =
( )1；
∴第|一个等边三角形AB1C1的面积为∵等边三角形AB1C1的边长为∴B1B2 =
,AB1 =
,
,AB2⊥B1C1 ,
根据勾股定理得：AB2 = , ∴第二个等边三角形AB2C2的面积为
× ( )2 =
( )2；
依此类推 ,第n个等边三角形ABnCn的面积为故答案为：
( )n．
( )n．
15． (2021•湘潭 )如图 ,在等边三角形ABC中 ,点D是边BC的中点 ,那么∠BAD = 30° ．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．
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【解答】解：∵△ABC是等边三角形 , ∴∠BAC =60° ,AB =AC． 又点D是边BC的中点 , ∴∠BAD =∠BAC =30°． 故答案是：30°．
16． (2021•天津 )如图 ,在边长为4的等边△ABC中 ,D ,E分别为AB ,BC的中点 ,EF⊥AC于点F ,G为EF的中点 ,连接DG ,那么DG的长为
．
【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE =2 ,且DE∥AC ,再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长． 【解答】解：连接DE ,
∵在边长为4的等边△ABC中 ,D ,E分别为AB ,BC的中点 , ∴DE是△ABC的中位线 ,
∴DE =2 ,且DE∥AC ,BD =BE =EC =2 , ∵EF⊥AC于点F ,∠C =60° , ∴∠FEC =30° ,∠DEF =∠EFC =90° , ∴FC =EC =1 , 故EF =
=
,
∵G为EF的中点 , ∴EG =∴DG =故答案为：
,
=．
．
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17． (2021•福建 )如图 ,Rt△ABC中 ,∠ACB =90° ,AB =6 ,D是AB的中点 ,那么CD = 3 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【解答】解：∵∠ACB =90° ,D为AB的中点 , ∴CD =AB =×6 =3． 故答案为：3．
三．解答题 (共2小题 )
18． (2021•绍兴 )数学课上 ,张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中 ,∠A =110° ,求∠B的度数． (答案：35° )
例2 等腰三角形ABC中 ,∠A =40° ,求∠B的度数 , (答案：40°或70°或100° ) 张老师启发同学们进行变式 ,小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形ABC中 ,∠A =80° ,求∠B的度数． (1 )请你解答以上的变式题．
(2 )解 (1 )后 ,小敏发现 ,∠A的度数不同 ,得到∠B的度数的个数也可能不同 ,如果在等腰三角形ABC中 ,设∠A =x° ,当∠B有三个不同的度数时 ,请你探索x的取值范围． 【分析】 (1 )由于等腰三角形的顶角和底角没有明确 ,因此要分类讨论； (2 )分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90 ,结合三角形内角和定理求解即可． 【解答】解： (1 )假设∠A为顶角 ,那么∠B = (180°﹣∠A )÷2 =50°； 假设∠A为底角 ,∠B为顶角 ,那么∠B =180°﹣2×80° =20°； 假设∠A为底角 ,∠B为底角 ,那么∠B =80°；
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故∠B =50°或20°或80°；
(2 )分两种情况：
①当90≤x＜180时 ,∠A只能为顶角 , ∴∠B的度数只有一个； ②当0＜x＜90时 ,
假设∠A为顶角 ,那么∠B = (
)°；
假设∠A为底角 ,∠B为顶角 ,那么∠B = (180﹣2x )°； 假设∠A为底角 ,∠B为底角 ,那么∠B =x°． 当
≠180﹣2x且180﹣2x≠x且
≠x ,
即x≠60时 ,∠B有三个不同的度数．
综上所述 ,可知当0＜x＜90且x≠60时 ,∠B有三个不同的度数．
19． (2021•徐州 ) (A类 )如图 ,四边形ABCD中 ,AB =BC ,AD =CD ,求证：∠A =∠C． (B类 )如图 ,四边形ABCD中 ,AB =BC ,∠A =∠C ,求证：AD =CD．
【分析】 (A类 )连接AC ,由AB =AC、AD =CD知∠BAC =∠BCA、∠DAC =∠DCA ,两等式相加即可得；
(B类 )由以上过程反之即可得． 【解答】证明： (A类 )连接AC ,
∵AB =AC ,AD =CD ,
∴∠BAC =∠BCA ,∠DAC =∠DCA ,
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∴∠BAC +∠DAC =∠BCA +∠DCA ,即∠A =∠C；
(B类 )∵AB =AC , ∴∠BAC =∠BCA ,
又∵∠A =∠C ,即∠BAC +∠DAC =∠BCA +∠DCA , ∴∠DAC =∠DCA , ∴AD =CD．
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