数值分析第二次作业
学院：电子工程学院
基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组
求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为[2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947/895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244].
要求：1）Gauss_Sedel迭代法；
2）最速下降法；
3）共轭梯度法；
4）将结果进行分析对比。
解：根据题目要求，编写了对应算法的matlab程序，求解结果如下：（求解精度为10e-4，最大迭代次数1000）
1、 方程的解：如下图1所示
图1 三种方法求解的结果对比
图2 Gause_Sedel算法收敛特性
图3 最速下降法收敛特性
图3 共轭梯度法收敛特性
从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共轭梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.000454秒，而且求出解的精度最高；Gauss_Sedel方法需要465次迭代，耗时0.006779秒，求解精度最差；最速下降法需要398次迭代，耗时0.007595秒，求解精度与共轭梯度算法差不多，因此两者求出的解也几乎相同。从中可以
得出结论，共轭梯度算法无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上几乎与共轭梯度算法持平，但求解速度更慢。Gauss_Sedel方法在求解精度和速度两方面都最差。
具体的解为:
Gauss_Sedel迭代法: (共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5)
X=[0.995328360833192 1.01431732497804 1.05286123930011
0.934006974137998 0.931493373808838 0.966508138403066
1.00661848511341 1.03799789809258 1.05180690303654 1.062158499485721.04857676431223 1.02856199041113 1.01999170162638
0.971831831519515 0.952526166634813 0.916996019179182].
最速下降法: (共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5)
X=[0.998835379744322 1.01507463472900 0.982589093720185 0.980191460759243 0.991245169713628 1.00378022225329
1.01350884374478 1.01928337905816 1.02085909665194 1.019303141970281.01444777381651 1.00704058989297 0.9983844522508090.987399404644377 0.975767814970912 0.963209150871750].
共轭梯度法: (共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5)
X=[ 0.996472751179456 1.02707840189049 0.977623373409853
0.973206695321590 0.986133032967607 1.00128902564234
1.01322158496914 1.02047386502293 1.02300905060565 1.021630150839751.01678089454399 1.00920310863874 0.9997724060551550.988443827498859 0.976094192496949 0.962844741655005].
Matlab程序
主程序:
clc;clear;
%% 本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析并比较，也可推广至任意n维的矩阵方程 %%
A=hilb(16); %生成希尔伯特系数矩阵
b=[2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;1669/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244]; %右端向量
M=1000; %最大迭代次数
err=1.0e-4; %求解精度
[x,n,xx,cc,jingdu]=yakebi_diedai(A,b,err,M); % 雅克比算法求解
tic;
[x1,n1,xx1,cc1,jingdu1]=gauss_seidel(A,b,err,M); % gauss_seidel算法求解
toc;
tic;
[x2,n2,xx2,jingdu2]=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M); % 最速下降法求解
toc;
tic;
[x3,flag,jingdu3,n3]=bicg(A,b,err); % matlab内置双共轭梯度算法求解
toc;
tic;
[x4,xx4,n4,jingdu4]=con_grad(A,b,err,M); % 教材共轭梯度算法求解
toc;
%% 计算相应结果，用于作图 %%
num=[1:16]';
jie=[num,x1,x2,x4]; % 三者的解对比
% 三者的收敛情况对比
num1=[1:n1]';
fit1=[num1,jingdu1'];
num2=[1:n2]';
fit2=[num2,jingdu2'];
num4=[1:n4]';
fit4=[num4,jingdu4'];
子函数1(Gause_Sedel算法):
function [x,n,xx,cc,jingdu] = gauss_seidel(A,b,err,M)
% 利用迭代方法求解矩阵方程 这里是高斯赛尔得迭代方法
% A 为系数矩阵 b 为右端向量 err为精度大小 返回求解所得向量x及迭代次数
% M 为最大迭代次数 cc 迭代矩阵普半径 jingdu 求解过程的精度 n 所需迭代次数 xx 存储求解过程中每次迭代产生的解
for ii=1:length(b)
if A(ii,ii)==0
x='error';
break;
end
end
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
B=(D-L)\\U;
cc=vrho(B); %迭代矩阵普半径
FG=(D-L)\\b;
x0=zeros(length(b),1);
x=B*x0+FG;
k=0;
xx(:,1)=x;
while norm(A*x-b)>err
x0=x;
x=B*x0+FG;
k=k+1;
xx(:,k+1)=x;
if k>=M
disp('迭代次数太多可能不收敛！');
break;
end
n=k;
jingdu(k)=norm(A*x-b);
end
end
子函数2(最速下降算法):
function [x,n,xx,jingdu]=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M)
% 利用迭代方法求解矩阵方程 这里是最速下降迭代方法
% A 为系数矩阵 b 为右端向量 err为精度大小 返回求解所得向量x及迭代次数
% % M 为最大迭代次数 jingdu 求解过程的精度 n 所需迭代次数 xx 存储求解过程中每次迭代产生的解
x0=zeros(length(b),1);
r0=b-A*x0;
t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);
x=x0+t0*r0;
r=b-A*x;
xx(:,1)=x;
k=0;
while norm(r)>eps
r=r;
x=x;
t=r'*r/(r'*A*r);
x=x+t*r;
r=b-A*x;
k=k+1;
xx(:,k+1)=x;
if k>=M
disp('迭代次数太多可能不收敛！');
break;
end
n=k;
jingdu(k)=norm(r);
end
end
子函31(共轭梯度法):
function [x,xx,n,jingdu]=con_grad(A,b,eps,M)
% 利用迭代方法求解矩阵方程 这里是共轭梯度迭代方法
% A 为系数矩阵 b 为右端向量 err为精度大小 返回求解所得向量x及迭代次数
% M 为最大迭代次数 jingdu 求解过程的精度 n 所需迭代次数 xx 存储求解过程中每次迭代产生的解
x0=zeros(length(b),1);
r0=b-A*x0;
p0=r0;
% t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);
% x=x0+t0*r0;
% r=b-A*x;
% xx(:,1)=x;
k=0;
x=x0;
r=r0;
p=p0;
while norm(r)>eps
x=x;
r=r;
p=p;
afa=r'*r/(p'*A*p);
x1=x+afa*p;
r1=r-afa*A*p;
beta=r1'*r1/(r'*r);
p1=r1+beta*p;
x=x1;
r=r1;
p=p1;
k=k+1;
xx(:,k)=x;
if k>=M
disp('迭代次数太多可能不收敛！');
break;
end
n=k;
jingdu(k)=norm(r);
end
end
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