现代设计理论与方法第3章习题解答

第三章 优化设计部分习题解答

1、优化设计问题的数学模型由哪几个部份组成?其一般的表达形式是什么?

答：一般由设计变量，目标函数和约束条件组成。其一般表达式为：

minf(x),xRns..tgj(x)0j1,2,,mhk(x)0k1,2,,l2、判断下列目标函数是否有极值点。

(1)F(X)x1x2(2)F(X)x221x2(3)F(X)x213x1x24x226

F(X)0x20解：（1）x0X*10 X*处的Hessen矩阵为：

F(X)F(X)H(X*)x21x1x2F(X)F(X)01x2x1x22xx102010

**H(X)10 其二阶代数主子式

故知目标函数没有极值点。

（2）同理，无极值点

*T*X[0,0],F(X)6 （3）存在极值点，

3f(x)3x8x9的一个搜索区间，初始点x00，初始步长h00.1。3、确定函数

解：可依照进退法搜索的思路进行，

（1）第一步搜索

x00,f(x0)f19

x1x0h00.1,f2f(x1)8.203

f1f2

（2）第二步搜索

令h02h00.2， x3x0h00.2,f3f(x3)7.424

x2x3,f2f3，此时令

x10.1,f1f28.203x20.2,f2f37.424

（3）第三步搜索

令h02h00.4， x3x1h00.5,f3f(x3)5.375

x2x3,f2f3，此时令

x1x20.2,f1f27.424x2x30.5,f2f35.375

（4）第四步搜索

令h02h00.8， x3x1h01,f3f(x3)4

x2x3,f2f3，此时令

x1x20.5,f1f25.375x2x31,f2f34

（5）第五步搜索

令h02h01.6， x3x1h02.1,f3f(x3)19.983

x2x3,f2f3，

故初始搜索区间为

[x1,x3][0.5,2.1]

32f(x)8x2x7x3的最优解，初始搜索4、按二次插值法框图步骤，计算函数

区间[0,2]，迭代精度0.01。

解：1.确定初始区间

初始区间[a,b][0,2] 另有一中间点x21。

2. 用二次插值法逼近极小点

相邻三点的函数值:

x10,x21,x32;f13,f22,f345

代入公式：

2222221(xx)f(xx)f(xx)f3*23131212xp2(x2x3)f1(x3x1)f2(x1x2)f3

得：

x*0.523,fx*0.063pp

由于：

x*x2,fx*f2pp，新区间为：[a,b][a,x2][0,1]

x*x20.4770.01p，故应继续迭代。

3.新区间，相邻三点的函数值:

x10,x20.523,x31;f13,f20.063,f32

代入公式：

2222221(xx)f(xx)f(xx)f3*23131212xp2(x2x3)f1(x3x1)f2(x1x2)f3

得：

x*0.549,fx*0.122pp

由于：

x*x2,fx*f2pp，新区间为：[a,b][x2,x3][0.523,1]

x*x20.0260.01p，故继续迭代。

4.新区间，相邻三点的函数值:

x10.523,x20.549,x31;f10.063,f20.122,f32

代入公式：

2222221(xx)f(xx)f(xx)f3*23131212xp2(x2x3)f1(x3x1)f2(x1x2)f3

得：

x*0.613,fx*0.2pp

由于：

x*x2,fx*f2pp，新区间为：[a,b][x2,x3][0.549,1]

x*x20.0640.01p，故继续迭代。

5.新区间，相邻三点的函数值:

x10.549,x20.613,x31;f10.122,f20.2,f32

代入公式：

2222221(xx)f(xx)f(xx)f3*23131212xp2(x2x3)f1(x3x1)f2(x1x2)f3

得：

x*0.621,fx*0.202pp

由于：

x*x2,fx*f2pp，新区间为：[a,b][x2,x3][0.621,1]

x*x20.0080.01p，故继续迭代。

故最优点

x*0.621,fx*0.202pp。

32f(x)8x2x7x3的最优解，5、试用黄金分割法计算函数初始搜索区间[0,2]，

迭代精度0.01。

解：1.初始区间：[a,b][x1,x2][0,2]，新点：

x1a0.382(ba)0.764,f10.052， x2a0.618(ba)1.236,f26.398

由于x1x2,f1f2，新区间：[a,b][a,x2][0,1.236]，ba1.2360.01 2. 初始区间：[a,b][0,1.236]，新点：

x2x10.764,f2f10.052

x1a0.382(ba)0.472,f10.092

由于x1x2,f1f2，新区间：[a,b][x1,b][0.274,1.236]，ba0.7640.01 3 初始区间：[a,b][274,1.236]，新点：

x1x20.764,f1f20.052

x2a0.618(ba)0.944,f21.34

由于x1x2,f1f2，新区间：[a,b][a,x2][0.472,0.944]，ba0.4720.01 4 初始区间：[a,b][0.472,0.944]，新点：

x2x10.764,f2f10.052

x1a0.382(ba)0.652,f10.197

由于x1x2,f1f2，新区间：[a,b][a,x2][0.472,0.764]，ba0.2920.01，继续迭代。

依次经过多次迭代后，可得

x*0.631,fx*0.2034pp

3222TF(X)2x4xx2xx6xxx6X[1,2,1]123121326、目标函数。求：①在点TX[1,2,1]处的梯度矢量；②在点处沿S方向的方向导数。已知方向S的其中两个方向余

弦为cos10.7,cos20.2。并说明沿该方向搜索时，函数是增加还是减少?

解：（1）

6x122x26x324F(X)8x22x111711142x312x1x3xx22x31

（2）由cos10.7,cos20.2得cos30.686

fSx11x22x31fx1fcos1x11x2x2x312fcos2x11x3x2x312x11x22x31cos3[4,17,14]T[0.7,0.2,0.686][2.8,3.4,9.6]TFF(X)•[4,17,14]T[2.8,3.4,9.6]203.40S（3）

故函数值是增加的。

22(k)TF(X)6010x4xxxxxS[10,4]121212。9、目标函数已知沿方向搜索到

X(k1)[7,3]T，试求此点下一次迭代的共轭梯度方向S(k1)。

102x1x21f(x)42xx17x7211x3k12解：

10f(x)4

kkf(x)f(x)kk1222902.5116

S(k1)f(xk1)kS(k)110292.81846.8

8、写出用内点法、外点法和混合法求解问题A的罚函数形式。

mins..tg1(X)x12x20g2(X)x10

F(X)x1x2k2k(x,r)xxrln(xx)rln(x1) 1221解：内点法：

k22k2(x,r)xxrmax(0,xx)rmax(0,x1) 1212外点法：

(x,r)x1x2rkln(x2x12)rkxDln(x1)xD11222max(0,x1x2)kmax(0,x1)krr混合法：

xDxD9、试比较约束优化和无约束优化之间的区间和联系。

答：无约束优化对于设计变量没有限制，搜索空间内的点都是可行解，而约束优化则有限制条件，只有在可行域内的点才是可行解。无约束优化是约束优化的基础，通过罚函数的方法可以将约束优化问题化为无约束优化问题求解。