高中数学圆的基本知识与分类练习

一．根本学问之关于圆的方程

1. 圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：(xa)2(yb)2r2(r0).特别地， 当ab0时，圆心在原点的圆的方程为：x2y2r2. 2. 圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0.

DE圆心为点,，半径r22D2E24F，

23. 二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，表示圆的方程的充要条件是：

①x项y项的系数一样且不为0，即AC0；②没有xy项，即B0；③D2E24AF0.

22xarcos2224. 圆C：(xa)(yb)r的参数方程为(为参数). ybrsin222xrcos(为参数).

特别地，xyr的参数方程为yrsin5. 圆系方程：过圆C1：x2y2D1xE1yF10及圆C2：x2y2D2xE2yF20 交点的圆系方程是x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20(不含圆C2),

当1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 二．根本学问之关于直线及圆的位置关系

1. 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r，圆心C到直线l的间隔 为d,那么直线及圆的位置关系满意以下关系：

位置关系 相切 相交 相离

几何特征 dr dr dr

代数特征 △0 △0 △0 2. 直线截圆所得弦长的计算方法：

①利用弦长计算公式：设直线ykxb及圆相交于Ax1,y1，Bx2,y2两点， 那么弦ABx1x2y1y2221k222△xa；

②利用垂径定理和勾股定理：AB2rd(其中r为圆的半径，d直线到圆心的间隔 ). 3. 圆及圆的位置关系：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆的位置关系满意以下关系：

位置关系 几何特征 代数特征

三．分类例题练习

外离 外切 相交 内切 内含 dRr 无实数解 dRr 一组实数解 RrdRr 两组实数解 dRr 一组实数解 0dRr 无实数解 1. 关于圆的方程：

例1：求满意以下各条件圆的方程：

(1)以A(4,9)，B(6,3)为直径的圆； (2)及x,y轴均相切且过点(1,8)的圆；

(3)求经过A(5,2)，B(3,2)两点，圆心在直线2xy3上的圆的方程；

22(4)求及圆xy5外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程.

解：〔1〕xy10x12y510

〔2〕(x13)(y13)169或(x5)(y5)25 〔3〕(x2)(y1)10 〔4〕(x3)(y6)20 2. 关于点和圆的位置

例2：(1)点P( 5a1 , 12a )在圆(x1)y169的内部,求a的取值范围.

(2)直线x2y2k0及直线2x3yk0的交点在圆xy25上，求k的值. (3)直线axby10及圆O:xy1相交，问点(a,b)的圆O位置关系如何？ 解：(1)1a1； (2)k1； (3)圆外

3. 圆上的点的用法

例3：(1)实数x、y满意方程xy4x10.分别求

2222222222222222y22，yx，及xy的最大值和最小值. x22(2)平面上两点A1,0、B1,0，在圆C：x3y44上取一点P，

22求使APBP获得最小值时点P的坐标.

(3)圆xy2x4y30上到直线xy10的间隔 为2的点共有 个. (4)求圆xy2x2y10上的动点Q到直线3x4y80间隔 的最小值.

222222y33;x912解：(1)62yx62;； (2)20，P(,)； (3)3个； (4) 2. 5522743xy7434. 关于直线和圆的位置

22例4：(1)求圆xy4x0在点P(1,3)处的切线方程.

(2)求过点P2,3的圆xy4的切线方程.

22(3)直线l过点，当直线l及圆xy2x有两个交点时，其斜率k的取值范围. （2，0）(4)直线l：yxb及曲线C：y1x2有两个公共点，求b的取值范围. (5)直线l：2mxy8m30和圆C:xy6x12y200；

2222①mR时，证明l及C总相交； ②m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长. 解：(1) x3y20； (2) x2或5x12y260； (3)22k； 44 (4) 1b2； (5) ①直线l：2mxy8m30恒过的点(4,3)在圆C之内，故对mR有l及C总相交；； ②215 5. 关于圆及圆的位置

例5：(1)推断两圆x2y26x4y120和22x16cos(为参数)的位置关系.

y26sin22(2) 圆⊙C1：xy2x2y80及⊙C2：xy2x10y240相交于A,B两点，①求

公共弦AB所在的直线方程；②求圆心在直线yx上，且经过A,B两点的圆的方程； ③求经过A,B两点且面积最小的圆的方程.

解：〔1〕相交

(2) ①公共弦AB所在的直线方程为：x2y40；

②圆心在直线yx上，且经过A,B两点的圆的方程为：(x3)(y3)10； ③经过A,B两点且面积最小的圆的方程为：(x2)(y1)5.

6. 关于对称问题

例6：(1)求圆(x2)y5关于原点0,0对称的圆的方程.

222222(2)求圆xy2x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程.

(3)点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，反射光线及圆C:xy4x4y70 相切，求光线l所在直线方程. (4)直线y2222mx及圆x2y2mxny40交于M、N两点，且M、N关于直线xy0 2对称，求弦MN的长.

2222解：〔1〕(x2)y5； 〔2〕(x7)(y1)1

〔3〕3x4y30和4x3y30；〔4〕m2,n2,弦长为 4 7.关于轨迹

例7：(1)O为原点，定点Q(4,0)，点P是圆xy4上一动点.

①求线段PQ中点的轨迹方程；②设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程. (2)过圆O:xy4及y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上随意一点，再过M作圆的

另一切线，切点为Q，当点M在直线l上挪动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程.

(3)圆M:x(y2)1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，

求动弦AB的中点P的轨迹方程.

222222(4)过圆xy4内一点A(1,1)作一弦交圆于B、C两点,过点B、C分别作圆的切线PB、PC，

两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

解：〔1〕①线段PQ中点的轨迹方程为：(x2)y1； ②设POQ的平分线交PQ于R，R点的轨迹方程为(x)y〔2〕x(y2)4，去掉及y轴的交点. 〔3〕xy22222222432216： 973y30 (y2) 22〔4〕xy40

具体答案图片版：留意解法不唯一