常数变易法

演讲人：王伟

班 级：数学与应用数学2班 指导老师：段文英

演讲时间：2012年10月24日

目 录

1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 .................... 4 2、一阶非线性微分方程的常数变易法 ........................ 5

dyyyg()x .............................. 2.1 齐次方程dxx5 dyp(x)yQ(x)yn2.2 贝努力方程：dx ...................... 5

y2.3 形如yp(x)eQ(x)的微分方程…………………………………….7

目前，由于常微分方程应用的广泛性，人们基本满足于各类型方程的各自求解方法。基于此，常微分方程课程可以说是各类型的孤立技巧与方法的汇编，从内容联系上势必感到松散。因此，把握解常微分方程的方法，在学习此类课程时，不仅仅是记住一些解法，更重要的是强调思维方法的训练。由于常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,且常应用于一阶线性微分方程的求解，因此本文对这一部分的内容做一系统整理。在数变易法中，将常数换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解。

1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法

dyp(x)yQ(x) （1） dxdyp(x)y (2) 先解对应的其次线性微分方程dx为求解一阶非齐次线性微分方程用分离变量法可得（2）的通解：ycep(x)dx （其中c是任意常数） （3）

然后从这通解出发，把这通解中的任意常数c编译成的未知函数c(x)，得到

yc(x)e于是：yc(x)ep(x)dxp(x)dx （4）

c(x)p(x)ep(x)dx （5）

p(x)dx将（4）和（5）代入方程（1），得：

c(x)ep(x)dxc(x)p(x)ep(x)dxp(x)dxp(x)c(x)eQ(x)

即：c(x)ep(x)dxQ(x)，所以，c(x)eQ(x)

p(s)dx所以：c(x)eQ(x)dxc

所以，（1）的通解为：ye例1

p(x)dxp(s)dx(eQ(x)dxc) （其中c是任意常数）

dy2xy4x dx2dy2xy0的通解ycex。 dx 解：首先求线性齐次方程

再应用常数变易法求线性非齐次微分方程的通解，为此，在上式中把常数c变易成待

定函数c(x)，即令：yc(x)e22x2，代入原方程得：

2c(x)ex2xc(x)ex2xc(x)ex4x

化简得到：c(x)4xe，上式两边积分得：c(x)2ex2x2c

于是，原方程的通解为ycex2

22、一阶非线性微分方程的常数变易法

个别的一阶非线性微分方程，可用常数变易法求解，下面介绍四类一阶非线性微分方程的常数变易法。

dyyyg()x 2.1 齐次方程 dxx（6）

对这种方程的解法，在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程，然后根据可分离变量方程的解法去解，在这里我们可以直接用常数变易法求解。

根据常数变易法，先求出原方程“对应”的齐次方程：

dyy的通解：ycx dxx再令：yc(x)x （7） 代入（6），有:c(x)xc(x)c(x)gc(x)

即：

dc(x)dxdc(x)gc(x)，即：

dxxgc(x)x两边积分就可以求出c(x),然后再代入（7），便得原方程的通解。 例2：求方程xyyxtan解：将方程改写为

yx的通

dyyytan dxxxdyy的通解为：ycx dxxdc(x)xtanc(x)，即dx可以求得，它“对应”的齐次线性方程

再令：yc(x)x，代入原方程可得：

dc(x)dx

tanc(x)x两边积分得sinc(x)cx （其中c是任意常数） 代回原变量，得原方程的通解为sinylnxdy1yxex 例3：求解：dxycx （其中c是任意常数） x 解：方程

dyyx1的解为：ycx dx 令yc(x)x，代入到原方程可得：

dc(x)xec(x)lnx dx 即：ec(x)dc(x)x1lnxdx，此为可分离变量常微分方程，所以可求出：

1c(x)ln(cln2x)

2 代入原方程可求出：

1yxln(cln2x)

2dyp(x)yQ(x)yn2.2 贝努力方程：dx （8）

dyp(x)yQ(x)yn形如dx的方程称为伯努利方程,其中p(x),Q(x)为x的连续函数,(n

≠0,1),对于贝努力方程，在一般的教科书上都是先把它化为线性方程，然后根据线性方程的求解方法去解，在这里我们直接用常数变易法去求解。

根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程令：yc(x)ep(x)dxp(x)dxdyp(x)y的通解：yce dx 代入（8）得，

p(x)dxc(x)ep(x)dxc(x)p(x)enc(x)p(x)e

p(x)dxnp(x)dxQ(x)cn(x)e

即：c(x)Q(x)c(x)e(n1)p(x)dx cn(x)dc(x)Q(x)e(n1)p(x)dxdx dxc1n1解得：c(x)(1n)Q(x)e所以，（8）的通解为yep(x)dx(n1)p(x)dx

1n1(1n)Q(x)e(n1)p(x)dxdxc

利用此公式可求出任一伯努利方程的通解。 例4、求方程

dyy6xy2的通解。 dxx6，Q(x)x，n2 x解：可以判断，此方程为贝努力方程，这里p(x)原方程“对应”的齐次方程为令

dyy6，其通解为：ycx6， dxxyc(x)x6，代入原方程化简得：c(x)x6xc2(x)x12

即：

dc(x)dc(x)c2(x)x7，即：2x7dx dxc(x)1x8c 

c(x)8x6x2 所以原方程的通解为：c （其中c为任意常数）

y8yyp(x)eQ(x)的微分方程 （11） 2.3 形如

先求得（11）“对应”的方程yp(x)ey0的通解为：yln再令：ylnp(x)dxc

p(x)dxc(x)，代入原方程化简后得：

c(x)Q(x)c(x)Q(x)p(x)dx，由此解出c(x)后，便得（11）的通解为

Q(x)dxp(x)dxdxc ylnp(x)dxeQ(pdx)eyyp(x)eQ(x)的通解。 利用此公式可以求得y例5、求yecosx1的通解。 xyy解：先解方程yecosx0，它的解是esinxc或yln(sinxc)。可令

原方程的解为yln(sinxc(x))，代入方程得：

c(x)1

sinxc(x)x即 c(x)11c(x)sinx xx11xdx1xdxc(x)esinxedxcx1 sinxdxcx1(cosxc)xcosxc) （其中c为任意常数） 所以原方程的通解为yln(sinxxx



。