3.2.1立体几何中的向量方法第1课时教学设计[1]

来源：乌哈旅游

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授课时间： 2010 年 12 月 27 日课题 3.2.1空间点、线、面及其位置关系的向量表示课型新授第几课时 1 课时教学目标（三维）通过类比平面内的点、线的位置可以由向量来确定，引导学生理解空间内的点、线、面的位置也可以由向量来表示，并进一步探究用空间向量的运算来表示空间线、面的位置关系。从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用。从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。教学重点与难点教学方法与手段使用教材的构想重点：理解并会求直线的方向向量和平面的法向量；能应用其运算结果准确反映线面的位置关系；难点: 直线的方向向量和平面的法向量可以唯一确定空间线、面位置的理解。借助导学案引导学生运用类比的方法理解空间线、面位置及其关系可以由向量来确定，通过合作、交流、展示实现教学目标。运用多媒体呈现空间向量表示空间线面的位置及其关系的结论和课堂巩固与小结。通过展示两道立体几何高考题的解答方法，激发学生对学习用空间向量知识解决空间线、面位置关系的兴趣。进一步引导其对如何用向量表示空间的点、线、面及其位置关系展开探究，形成用直线的方向向量和平面的法向量及其运算来表示空间线面位置关系的结论。并在对必修2线面位置关系的判定定理证明中体会空间向量对于解决立体几何中平行与垂直问题的作用。太原市教研科研中心研制第页（总页）

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教师行为学生行为思考回顾这样的问题，在前面的学习中如何解决？向量法的优势是什么？对照参考答案后，对学习应用空间向量解决它们的意义有所感受. 一、过程导学： 1.创设情境，导出新课同学们，在前面的学习中，我们已经接触过一些用空间向量知识证明线线垂直及求异面直线所成的角等立体几何问题。比如：考题（1）（2010辽宁理数）19（本小题满分12分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 再比如：考题（2）（2010北京理数）16（本小题共14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE1AB，N2⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。所以，我们还需要掌握运用空间向量知识解决线、面的其它位置关系以及求其它空间角等问题的方法。这节课，我们先重点研究空间线及面位置关系的向量表示. 太原市教研科研中心研制

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教师行为 2.类比理解，温故知新为了运用向量法解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？请阅读课本第102页---第103页探究上方的内容，思考下面的问题：学生行为 1.（1）坐标系内，确定点的横纵坐标（2）以坐标原点为起点，（1）在平面内，一个点及一条直线的位置如何该点为终点的向量（3）两点确定一条直线用向量确定？（4）直线上的一点及一个方向（倾斜角）（5）直线的一个方向向量（2）在空间内，一个点及一条直线的位置又如2.类比思考何用向量确定？ 3.思考：（3）在空间内，一个平面的位置该如何用向量（1）线动成面，两条相交确定？直线可以确定一个平面（2）一个点及两个定方向（3）一个点及一个定方向（4）空间中的任意一个平面，它的向量表示形4.两种式有几种？分别是什么？ 5.不唯一（5）直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？ 6.都有一个基点，且该点在（6）点、线、面的位置都可以由向量来确定，直线或平面上。其中的共同点是什么？太原市教研科研中心研制

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教师行为 3.生成概念，提升能力学生行为（1）点的位置向量在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P阅读课本第102页---第103页探究上方内容，完成的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位导学案上相应的填空。置向量。（2）直线的方向向量直线上一定点A，直线的方向向量a, 在直线l上取ABa,那么对于直线l上的任意一点P, 思考：一定存在实数t,使得APtAB.（1）直线的方向向量可以唯一确定其在空间的位置 练习:若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方吗？向向量为（）（2）它是唯一的吗？ A.（1,2,3） B.（1,3,2）（3）如何求一条直线的方C.(2,1,3) D.(3,2,1) 向向量。（3）平面的法向量若直线l平面，取直线l的方向向量a，则向量a 叫做平面的法向量。思考：（1）平面的法向量可以唯一确定其在空间的位置 练习：吗？（2）它是唯一的吗？已知，在平面ABC中有AB(1,0,1),AC(1,1,0)，（3）如何求一个平面的法求平面ABC的一个法向量。向量。太原市教研科研中心研制

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教师行为学生行为  空间中平行关系的向量表示类比平面向量自设直线l，m的方向向量分别为a,b,平面，的法向量分别是u,v,则的相应知识，主归纳空间中线、面平行、垂直及空间角对应的向量关系线线平行 l//ma//bakb,(kR); 式。并请同学展示其在导学案线面平行 l//auau0; 上的完成情况。 4.交流探究、展示结论（1）空间中的线线、线面、面面有哪些位置关系？（2）你能写出这些位置关系相对应的向量表示吗？面面平行 //u//vukv,(kR).  空间中垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a,b,平面，的法向量分别是u,v,则线线垂直 lmabab0; 线面垂直 la//uaku,(kR); 面面垂直 uvuv0; 太原市教研科研中心研制

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教师行为二、知识应用学生行为 1：根据下列条件，判断例相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别为a（2，-1，-2）,b（6，-3，-6）；（2）直线l的方向向量、平面的法向量分别是a(3，2,1),u(1,2,-1)；进行向量运（ 3）平面与的法向量分别为u(2,2,5),v(6,4,4).算，应用所学到的向量关系反映线面的位置关系。解：（1）b3a,l1//l2.(2)au0,au,l或l//.(3)uv0,. 练习：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1a（1，2，-2）,b（-2，3，2）； )直线l1，l2的方向向量分别为（ 2）直线l的方向向量、平面的法向量分别是a(1，4,-3),u(2,0,3)；（3）平面与的法向量分别为u(1,2,2),v(2,4,4). 解：（1）ab0,l1l2.(2)au0且aku(kR),a与u既不共线也不垂直，即l与a相交但不垂直.(3)v2u,//.太原市教研科研中心研制

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教师行为回顾面面平行的判定定理，并将文字语言，转化为符号语言，进而用向量法对其证明。因为l,m,且l,m相交，所以内任一直线的方向向量p可以表示为如下形式pxayb,x,yR. 因为pv(xayb)vxavybv0, 即平面的法线与平面内任一直线垂直。所以平面的法向量也是平面的法向量，即u//v. 因此，//. 练习：用向量的方法证明“直线与平面平行的判定定理”。模仿例2，对问题作出证明。三、反思小结 1.通过学习，同学们是否觉得直线的方向向量和平面的法向量对于应用向量法解决立体几何问题是非常重要的？你现在有信心尝试用新方根据提示，说出自己的法解决开头的哪两道高考题了吗？认识。 2.你们对“向量是躯体，运算是灵魂”和“没有运算的向量只能起到路标的作用”这两种说法有怎样的认识？太原市教研科研中心研制

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学生行为例2：用向量的方法证明“平面与平面平行的判定定理”。已知：直线l,m和平面，，其中l,m,l与m相交，l//,m//,求证：//. 证明：设相交直线l,m的方向向量分别为a,b,平面，的法向量分别为u,v.因为l//,m//,所以av,bv.所以av0,bv0. 课时教学设计尾页（试用）板书设计 3.2.1空间点、线、面及其位置关系的向量表示一、概念二、结论 1.空间线面平行关系的向量表示 1.位置向量 2. .空间线面垂直关系的向量表示 2.直线的方向向量三、应用 3.平面的法向量例四、小结作业设计的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向☆补充设计☆ 1.若n=(2,-3,1)是平面量的是（） A．（0，-3,1） B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 2.用向量的方法证明“平面与平面垂直的判定定理”。 3.尝试用向量法求解导入中的考题（2）的前两个小题. 教学后记太原市教研科研中心研制第页（总页）

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