线性代数必须熟记的结论

1. n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式；

2n

2. 代数余子式的性质： ①、A和a的大小无关；

ijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3. 代数余子式和余子式的关系：

4. 设n行列式D：

Mij(1)ijAijAij(1)ijMij

； ；

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D(1)11n(n1)2D将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则D232(1)n(n1)2D将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D443D；

D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)n(n1)2；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积； ④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)n(n1)2；

AOCBOBACAB⑤、拉普拉斯展开式：

、

1

CAOA(1)mnAB BOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

knkEA(1)Sk6. 对于n阶行列式A，恒有：，其中Snnkk1为k阶主子式； 7. 证明A0的方法： ①、AA； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)n； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵

1. A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）； r(A)n（是满秩矩阵）

A

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解；

A

与E等价；

2

A

可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵；

nA

ATAA

的行（列）向量组是R的一组基； 是R中某两组基的过渡矩阵；

nA

2. 对于n阶矩阵A：AA3. (A1**A*AAE 无条件恒成立；

(A*)T(AT)*)(A*)1(A1)T(AT)1(AB)*B*A*

(AB)TBTAT(AB)1B1A1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： 若

A1AA2As，则：

Ⅰ、AAⅡ、②、③、④、⑤、

1A2As；

As1OB1B1OA111A11A2；

A1AOOBOOOA1BOAA1ACOBO111；（主对角分块） ；（副对角分块） ；（拉普拉斯） ；（拉普拉斯）

3

A1CB1B1OB1A1AO11CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形

E是唯一确定的：FOrOOmn；

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若

(A,E)(E,X)r，则A可逆，且XA；

11②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：

(A,B)(E,A1B)c；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果

(A,b)(E,x)r，则A可逆，且xAb；

14. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

4

②、

12n，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘

iiA

的各列元素；

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：

1111111；

1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))111k11E(i())k，例如：

1k(k0)1；

1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))kk1111(k0)111E(ij(k))，如：

；

5. 矩阵秩的基本性质： ①、0r(ATmn)min(m,n)；

②、r(A)r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※） ⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

5

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n； 6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如

1ac01b001的矩阵：利用二项展开式；

n 二项展开式：(ab)nCaCabCa0nn1nn11mnnmbCmn11n1nabmmnmCbCnabnnnm0n；

注：Ⅰ、(ab)展开后有n1项； Ⅱ、Cmnn(n1)(nm1)n!123mm!(nm)!mnnmn0nCnCn1

m1nⅢ、组合的性质：CCCmn1CCmn Cr0nrn2nrr1rCnnCn1；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：

nr(A*)10r(A)nr(A)n1r(A)n1；

AX)A②、伴随矩阵的特征值：(AXX,A*AA1A*X；

③、A*AA1、A*An1

8. 关于A矩阵秩的描述：

6

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则： ①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10. 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： ①、

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2am1x1am2x2anmxnbna11a21am1a12a22am2；

②、

a1nx1b1a2nx2b2Axbamnxmbm（向量方程，A为mn矩阵，m个

方程，n个未知数） ③、a1a2x1xan2xnanxn（全部按列分块，其中（线性表出）

b1b2bn）；

④、axax11227

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1. m个n维列向量所组成的向量组A：,,,构成nm矩阵

12mA(1,2,,m)；

T1TT,2,,mm个n维行向量所组成的向量组B：构成mn矩阵

1TTB2Tm；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 次线性方程组） ②、向量的线性表出

AxbAx0有、无非零解；（齐

是否有解；（线性方程组） 是否有解；（矩阵方程）

③、向量组的相互线性表示

mnlnAXB3. 矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组

Ax0T和Bx0同解；(P例14)

1011014. r(AA)r(A)；(P例15)

5. n维向量线性相关的几何意义： ①、线性相关 ②、,线性相关

0,；

坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关 ,,共面； 6. 线性相关与无关的两套定理：

若,,,线性相关，则,,,,必线性相关；

12s12ss18

若,,,线性无关，则,,,必线性无关；（向量的个数加

12s12s1加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)； 向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B) 向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)

8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P,P,,P，使APPP；

12l12l①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

r②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；

c③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵A与B：

mnln①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

9

④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为系数矩阵；

T（转置）

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、ABx0 只有零解Bx0只有零解； ②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解； 12. 设向量组B(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)Knr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：

（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法） 注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

Q的列向量线性13. ①、对矩阵A，存在Q，AQE r(A)m、

mnnmm无关；（P）

87②、对矩阵A，存在P，PAE

mnnmnr(A)n、 P的行向量线性无关；

成立；（定

14.

1,2,,s线性相关

12s1122存在一组不全为0的数k,k,,k，使得kkkss0义）

x1x(1,2,,s)20xs有非零解，即Ax0有非零解；

10

r(1,2,,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

16. 若为Axb的一个解，,,,为Ax0的一个基础解系，则

*12nr*,1,2,,nr线性无关；

5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵AAE或AT1AT（定义），性质：

①、

1aiTaj0A的列向量都是单位向量，且两两正交，即

ij(i,j1,2,n)ij；

1②、若A为正交矩阵，则AAT也为正交阵，且A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a,a,,a)

12rb1a1；

[b1,a2]b1[b1,b1]b2a2



[b1,ar][b,a][b,a]b12rb2r1rbr1[b1,b1][b2,b2][br1,br1]brar;

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价

A经过初等变换得到B；

11

PAQB，P、Q可逆； ，A、B同型；

，其中可逆； ；

，（合同、相似的约束条件不

有相同的正、负惯性指数；

r(A)r(B)②、A与B合同

xTAxCTACB与xTBx③、A与B相似

P1APB5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C为正交矩阵，则CTACBAB同，相似的更严格）；

6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xAAATAx为正定：

；

的正惯性指数为n；

与E合同，即存在可逆矩阵C，使C的所有特征值均为正数； 的各阶顺序主子式均大于0；

；(必要条件)

TACE

Aaii0,A012