2010江苏省专转本高等数学真题

高等数学

注意事项：

1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚。 2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效。 3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.设当x0时，函数f(x)xsinx与g(x)axn是等价无穷小，则常数a,n的值为( A. a16,n3 B. a13,n3 C. a112,n4 D. a16,n4 2.曲线yx23x4x25x6的渐近线共有( )

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3.设函数(x)2tx2ecostdt，则函数(x)的导数(x)等于( )

A. 2xex2cosx2 B. 2xex2cosx2 C. 2xexcosx D. ex2cosx2

4.下列级数收敛的是( )

A. n B.

2n1 1(1)n2 C. n1n1n1nnn1n D. n2 n12n5.二次积分1y10dy1f(x,y)dx交换积分次序后得( )

A. 1x10dx1f(x,y)dy B. 2x11dx0f(x,y)dy C.

2x11dx1f(x,y)dy D.

211dxx1f(x,y)dy

6.设f(x)x33x，则在区间(0,1)内( )

A. 函数f(x)单调增加且其图形是凹的 B. 函数f(x)单调增加且其图形是凸的 C. 函数f(x)单调减少且其图形是凹的 D. 函数f(x)单调减少且其图形是凸的 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7. lim(x1xx1)x ) 8. 若f(0)1，则limx0f(x)f(x)

xx31dx的值为 9. 定积分21x1110. 设a(1,2,3),b(2,5,k)，若a与b垂直，则常数k

11. 设函数zlnx24y，则dzx1y0 (1)nn12. 幂级数x的收敛域为

nn0三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限lim(x0112)

xtanxx

14、设函数yy(x)由方程ye

15、求不定积分xarctanxdx

16、计算定积分

xydyd2y2x所确定，求,2

dxdx40x3dx 2x1x2t17、求通过点(1,1,1)，且与直线y32t垂直，又与平面2xz50平行的直线的方

z53t程。

2z18、设zyf(xy,e)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求

xy2x

19、计算二重积分区域。

20、已知函数yex和ye2x是二阶常系数齐次线性微分方程y\"py'qy0的两个解，试确定常数p,q的值，并求微分方程y\"py'qyex的通解。

四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当x1时，e

x1xdxdy，其中D是由曲线xD1y2，直线yx及x轴所围成的闭

121x 22(x),x0,22、 设f(x)x其中函数(x)在x0处具有二阶连续导数，且

x0,1,(0)0,'(0)1，证明：函数f(x)在x0处连续且可导。

五、综合题（每小题10分，共20分）

23、设由抛物线yx2(x0)，直线ya2(0a1)与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V1(a)，由抛物线yx2(x0)，直线ya2(0a1)与直线x1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V2(a)，另

V(a)V1(a)V2(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。

f'(x)24、设函数f(x)满足方程f(x)f(x)2e，且f(0)2，记由曲线y与直线

f(x)'xy1,xt(t0)及y轴所围平面图形的面积为A(t)，试求limA(t)

t