数列经典试题(含答案)(精编文档).doc

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强力推荐人教版数学高中必修5习题

第二章 数列

1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )．

A．667

B．668

C．669

D．670

2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋

a5＝( )．

A．33

B．72

C．84

D．189

3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )． A．a1a8＞a4a5

B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a5

44．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为1的等差数列，则

｜m－n｜等于( )．

A．1

B．3

4 C．1

2 D． 3

85．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ).

A．81 B．120 C．168 D．192 6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前

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n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )．

A．4 005

B．4 006

C．4 007

D．4 008

7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝( )． A．－4

B．－6

C．－8

a3

S5 D． －10

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5＝5，则S9＝( )．

9A．1 B．－1 C．2 D．1

29．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2a1的值是( )．

b2A．1

2 B．－1

2 C．－1或1

222n D．1

410．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝( )．

A．38

B．20

C．10

D．9

二、填空题 11．设f(x)＝

12x2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－

5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为 .

12．已知等比数列{an}中，

(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝ ． (2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝ ． (3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝ .

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13．在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积

32为 ．

14．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 .

15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ . 16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝ ；当n＞4时，f(n)＝ ．

三、解答题

17．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.

(2)已知1，1，1成等差数列，求证bc，ca，ab也成等差数列.

abcabc

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18．设{an}是公比为 q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列． (1)求q的值；

(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．

19．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n2Sn(n＝1，2，3…)．

n求证：数列{Sn}是等比数列．

n

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20．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.

第二章 数列 参考答案

一、选择题 1．C

解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．

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2．C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力． 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21， 即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7． 解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)， ∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84． 3．B．

解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C． 又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，

∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8． 4．C 解析：

解法1：设a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，a4＝1＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中

4444两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，

∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，

∴d＝1，a1＝1，a4＝7是一个方程的两个根，a1＝3，a3＝5是另一个方程的两

24444个根．

∴

7，15分别为1616m或n，

∴｜m－n｜＝1，故选C．

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解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4

＝n．

由等差数列的性质：若

4＋s＝p＋q，则a＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2

4444必为第四项，则x2＝7，于是可得等差数列为1，3，5，7，

∴m＝7，n＝15，

1616∴｜m－n｜＝1．

25．B

解析：∵a2＝9，a5＝243，a5＝q3＝243＝27，

a29 ∴q＝3，a1q＝9，a1＝3， 6．B 解析：

解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.

∴S4 006＝

4006(a1＋a4006)23－35∴S4＝

1－3＝240＝120．

2＝

4006(a2003＋a2004)2＞0，

∴S4 007＝4007·(a1＋a4 007)＝4007·2a2 004＜0，

22故4 006为Sn＞0的最大自然数. 选B． 解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2

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004

＜0，同解法1的

(第6题)

分析得a2 003＞0，a2 004＜0，

∴S2 003为Sn中的最大值．

∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， ∴40072在对称轴的右侧．

根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4 006．

7．B

解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6， 又由a1，a3，a4成等比数列， ∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8， ∴a2＝－8＋2＝－6． 8．A 9(a1a9)解析：∵S92S＝

55(a＝9a55a＝9·5＝1，∴选A．

1a5)35929．A

解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，∴d＝－1，q2＝2， ∴a2a1d1b＝

2＝2q2．

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4 007，4

10．C

解析：∵{an}为等差数列，∴a＝an－1＋an＋1，∴a＝2an，

2n2n又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列， 而an＝

S2n1，即2n12n－1＝38＝19，

2∴n＝10． 二、填空题 11．32．

解析：∵f(x)＝∴f(1－x)＝

12x2，

2222xx121x2＝

1＝

1x2222x1，

12x222x∴f(x)＋f(1－x)＝

22x＋

12x222x＝＝

1(22x)22＝222x．

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)， 则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)， ∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝312．（1）32；（2）4；（3）32． 解析：（1）由a3·a5＝a，得a4＝2，

242，

2．

∴a2·a3·a4·a5·a6＝a＝32．

54a1a232412q（2）， 29(aa)q3621【最新整理，下载后即可编辑】

∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4． （3）S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2S8＝a1＋a2＋＋a8＝S4＋S4q4q4＝2，

∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q16＝32． 13．216．

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与8，27同号，由等比中项的中间数为

3282732插入的三个数之积为8×27＝6，

32×6＝216．

14．26．

解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10， ∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，

∴S13＝13(a1＋a13)＝13(a4＋a10)＝134＝26．

22215．－49．

解析：∵d＝a6－a5＝－5， ∴a4＋a5＋…＋a10 ＝7(a4＋a10)

2＝7(a5－d＋a5＋5d)

2＝7(a5＋2d) ＝－49．

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16．5，1(n＋1)(n－2)．

2解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．

由f(3)＝2，

f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5， f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，

……

f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，

相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝1(n＋1)(n－2)．

2三、解答题

17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．

证明：（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5(n∈N*)．

首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)， ∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6． （2）∵1，1，1成等差数列，

abc ∴2＝1＋1化简得2ac＝b(a＋c)．

bac【最新整理，下载后即可编辑】

b＋c＋a＋b＝bc＋c2＋a2＋abb(a＋c)＋a2＋c2ac＝

(a＋c)2＝(a＋c)2＋cac＝

acacb(a＋c)＝2·ab，

2∴b＋c，c＋a，a＋babc也成等差数列．

18．解：（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q， ∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0， ∴q＝1或－12．

（2）若q＝1，则

Sn＝2n＋n(n－1)n2＋3n2＝2．

当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝(n－1)(n＋2)2＞0，故Sn＞bn．

若

q＝－11)2，则

Sn＝2n＋n(n－

(－12)＝－n2＋9n24．

当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝(n－1)(10－n)4，

故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，bn．

19．证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1) Sn， 所以Sn＋1＝2Snn＋1n．

故{Snn}是以2为公比的等比数列．

20．证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4 a1q6＝a1＋3a1q3， 变形得(4q3＋1)(q3－1)＝0，

Sn ＜【最新整理，下载后即可编辑】

∴q3＝－1或q3＝1(舍)．

4

a1(1q6)由S6＝1q312a1(1q)12S31q1q3＝

12

＝

1； 16

S12S6S6＝S－1＝

12S6a1(1q12)1qa1(1q6)1q－1＝1＋q6－1＝1；

16 得

S612S3＝S12S6．

S6 ∴12S3，S6，S12－S6成等比数列．

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