九年级数学直线与圆的位置关系例题讲解

九年级数学直线与圆的位置关系例题讲解

知识点、重点、难点

直线与圆有三种位置关系：相交，相切，相离．与圆相交的直线叫做圆的割线，与圆相切的直线叫做圆的切线。 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R.

直线与圆相离dr直线与圆无公共点。 直线与圆相切dr直线与圆有唯一公共点。

直线与圆相交dr直线与圆有两个公共点。

圆的切线垂直于过切点的半径，圆的切线与圆心的距离等于半径。

从圆外一点P引圆的两条切线长相等，且P与圆心的连线平分这两条切线所夹的角。 弦切角等于它所夹的弧上的圆周角。

圆幂定理：包括相交弦定理、切割线定理和切线长定理。

处理直线和圆的有关几何问题的基本方法是由位置关系确定线段或角之间的数量关系，反之也可由数量关系确定直线与圆的位置关系。

例题精讲

例1：如图，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD：DC =2：1，∠C = 45°，∠ADB = 60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线。

证明：如图，作△BCD的外接圆，设圆心为O，连结OB、OC、OD、OD交BC于E. 因为∠DCB是BD所对的圆周角，∠BOD是BD所对的圆心角， ∠BCD=45°，所以∠BOD＝90°. 又因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠DBC =∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°． 于是∠DOC＝30°，故∠BOC＝120°. 因为OB = OC，所以∠BCO =∠CBO=30°.

在△OEC中，因为∠EOC－∠ECO=30°，所以OE =EC.

在△BOE中，因为∠BOE = 90°，∠EBO = 30°，

所以BE =2OE=2EC.又AD = 2CD，所以

CECD1，于是AB∥OD，故∠ABO＝90°.所以AB是△BCDBEAD2的外接圆的切线。

例2：如图，在△ABC中AB = AC，过C作△ABC的外接圆的切线，交AB延长线于D.又过D作AC的垂线，E为垂足，求证：BD = 2CE.

证明一：如图，取CD的中点F，连结EF并延长交BD于G. 因为CT为切线，所以∠TCA =∠ABC，又∠FCE =∠TCA，于是∠FCE=∠ABC．又AB=AC，故∠ACB =∠ABC，所以∠FCE = ∠ACB．

在Rt△CDE中，F为斜边CD的中点，所以FE =FC，故∠FEC = ∠FCE． 由此可知∠ACB =∠FEC，于是有BC∥EG.而F为CD中点，故G为BD中点，即BD = 2BG.

由BC∥EG可得∠AGE =∠ABC=∠ACB=∠AEG，故AG = AE.而AB=AC，于是CE = BG.所以BD=2CE. 证明二：由切割线定理知CD = BD·AD = (AD－AB) ·AD =AD－AB·AD，于是AD－CD=AB·AD.

在Rt△ADE中，ADAEDE．在Rt△CDE中，

2222222CD2CE2DE2．

222222所以ADCDAECE，所以AB·AD=AECE=(AE＋CE)=

(AE－CE）=(AE＋CE)·AC.

又AB = AC，故AD=AE＋CE.又AD = AB＋BD，AE＋CE＝AC＋2CE，于是AB＋BD =AC＋2CE，故BD = 2CE.

例3：如图，PA、PB是⊙O的两条切线PEC是一条割线，D是AB与PC的交点．若PE=2，CD =1，求DE的长度。

解：连结AC、BC、BE、AE、PA为切线，故∠PAE =∠PCA，于是 △PAE∽△PCA.同理可得△PBE∽△PCB. 所以

AEAPPEPEBPBE,. ACCPAPBPCPBC设DEx,于是

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AEBEAPPEPE2.

ACBCCPBPCPx3因为ACBAEB180，

173AEBESABEED2.于是x.由此得所以x,即x23x20.而x0，解此方程得x2ACCBSABCCDx3DE173. 2例4：如图，锐角△ABC，以BC边为直径作⊙O交AB于G，过A作⊙O的切线AD，D为切点．在AB上截取AE = AD，过E作AB的垂线与AC的延长线交于F，求证：（1） AB·AC=AE·AF；（2）SABCSAEF.．

证明：（1）连结CG.因为BC是⊙O的直径，所以∠BGC = 90°.又因为EF⊥AB，所以

AGAC.又因为AD是⊙O的切线，AGB是⊙O的割AEAFAGAE22.于是线，所以ADAG·AB.又因为AD=AE，所以AEAG·AB，即

AEABAEAC.所以AE·AF = AC·AB； ABAF11（2）因为SABCABACsinBAC,SAEFAEAFsinBAC.又因为AB·AC=AE·AF，所以SABCSAEF.

22∠BEF=90°.故EF∥CG，于是

例5：如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E．BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.

（1）设AD是x°的弧，要使点E在线段BA的延长线上，求x的取值范围；

（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予以证明。

解：（1）如图，当E点由右趋向于A点时，D点趋向于OS与半圆交点，

此处OS⊥AB，△ADB成为等腰直角三角形。此时E点从右运动到A点时，AD为45°弧，即x=45.

当E点离开A到BA的延长线上时，离A点越远，D点就越接近A点，此时x就接近于0. D与A点重合时，x=0，故满足条件的x的取值范围是0≤x＜45°；

（2）由题设∠CDE = 90°，∠CAB=∠EBF=90°，∠ADB=90°，又AC为切线，得∠CAD=∠ABD.在四 边形ACDE中，∠C与∠DEB均为∠AED的补角，故∠DEB =∠C，于是 △ACD∽△EBD，得

ADACDBBE.又∠ABD =∠BFD，于是△ABD∽△BFD，得

ADABDBBF,故

ABAC.而AB=AC，BFBE则BE=BF.

例6：如左图，设凸四边形ABCD的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O在AB上，且与四边形的其余三边相切，求证：AD＋BC=AB.

证明：如右图，设“另一圆”的圆心为O，AD、BC的延长线交于M点，连结OC、OD、OM，于是OC、OD分别是∠DCB和∠CDA的平分线．设MC=a，

MD =b，CD =c，⊙O的半径为r，于是SCDMSDOMSCOMSDOC

11111brarcr(bac)r,SABM(MAMB)r. 22222第 2 页 共 3 页

因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以△MAB∽△MCD.故

MA aSMBABk（常数），于是MAak,MBbk,ABck，且ABMk2.

SCDMbcMAMBakbk故k2，即k2.由此可得abk(abc)ka

abcabckb－kc=MA＋MB－AB，所以AB = MA－b＋MB－a=(MA－MD)＋(MB－MC)，所以AB =AD＋BC.

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