对数函数基础运算法则及例题答案

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数，定义域为(0,)，值域为(,)． 对数的四则运算法则：

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN; Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2) loga(4)loganN1logaN n对数函数的图像及性质

a＞1 0＜a＜1 图 象 110101 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当x=1时，y=0 性 质 x(0,1)时 y0 x(1,)时 y0 在（0，+∞）上是增函数 x(0,1)时 y0 x(1,)时y0 在（0，+∞）上是减函数

例1．已知x =

9时，不等式 loga (x2 – x – 2)＞loga (–x2 +2x + 3)成立， 4求使此不等式成立的x的取值范围. 解：∵x =

99999使原不等式成立. ∴loga[()22]＞loga [1()223) 44444即loga

13391339＞loga. 而＜. 所以y = logax为减函数，故0＜a＜1. 16161616x2x20x1或x2∴原不等式可化为x22x30， 解得1x3.

25xx2x22x31x2故使不等式成立的x的取值范围是(2,例2．求证：函数f (x) =log2解：设0＜x1＜x2＜1， 则f (x2) – f (x1) = log2∵0＜x1＜x2＜1，∴

5) 2x在(0, 1)上是增函数. 1xx2xx(1x1)x1x1log21log22=log22.

x1x1x21x1(1x2)x112x21x1x1x1＞1，＞1. 则log22＞0，

1x2x11x2x1∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数

例3．已知f (x) = loga (a – ax) (a＞1).

（1）求f (x)的定义域和值域； （2）判证并证明f (x)的单调性. 解：（1）由a＞1，a – ax＞0，而a＞ax，则x＜1. 故f (x)的定义域为( -∞,1)， 而ax＜a，可知0＜a – ax＜a， 又a＞1. 则loga(a – ax)＜lgaa = 1. 取f (x)＜1，故函数f (x)的值域为(–∞, 1).

（2）设x1＞x2＞1，又a＞1， ∴ax1＞ax2，∴aax1＜a-ax2， ∴loga (a –ax1)＜loga (a –ax2)，

即f (x1)＜ f (x2)，故f (x)在(1, +∞)上为减函数.